Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi cấp huyện môn: Toán 9 (Trường THCS Triệu Toán)

Phòng GD Thiệu Hoá
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
môn toán - Năm học: 2006 - 2007
(Thời gian làm bài: 150 phút)
A. Phần trắc nghiệm: 
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước đáp án đúng
Bài 1 (1 điểm): phép tính:
Có kết quả là:
A. ; B. 
C. ; D. ; E. Một kết qủa khác.
Bài 2 (1 điểm): Kết quả phân tích - - () thành nhân tử là:
A. () (+) ; B. ()()
C. () (-) ; D. () (-)
Bài 3 (1 điểm): Cho 2 hàm số: và 
Câu nào sau đây sai:
A. nghịch biến.
B. đồng biến. 
C. nghịch biến.
D. và đồng biến.
Bài 4 (1điểm): Giá trị của biểu thức:
P = + là:
A. ; B. ; C. ; D. Một kết quả khác.
Bài 5 (1điểm): Tam giác ABC vuông tại A, b = 8, c = , AHBC (H BC), M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Kết luận nào sau đây đúng nhất ?
A. SAHM = SHNC B. SAHM = 3SHNC
C. SAHM = 2SHNC D. Cả câu A, B, C đều sai.
Bài 6 (1điểm): Biết và có giá trị là
A. ; B. 
C. ; D. 
Bài 7 (1 điểm): Cho hình chóp tam giác đều cạnh 3 cm, cạnh bên bằng 3 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp bằng:
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. Một kết quả khác.
Bài 8 (1 điểm): Cho nửa đường tròn (0) đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy 2 điểm B và C. Biết: AB = BC = 2 cm, CD = 6cm. Bán kính đường tròn sẽ là:
A. B. C. 2 D. E. Kết quả khác.
B. Tự luận:
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức: A = 
a, Rút gọn A.
b, Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (4điểm): Giải phương trình:
A, 
B, 
Bài 3 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, góc B có số đo bằng 200. Vẽ phân giác trong BI, vẽ góc ACH có số đo bằng 30o về phía trong tam giác . Tính số đo góc CHI.
Bài 4 (1điểm): Cho các số thực dương a, b thoả mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Hãy tìm giá trị của biểu thức P = a2004 + b2004.
Đáp án và biểu điểm:
A. Phần trắc nghiệm:
Bài 1 (1điểm): E Bài 5 (1điểm): C
Bài 2 (1điểm): A Bài 6 (1điểm): C
Bài 3 (1điểm): A, D Bài 7 (1điểm): C
Bài 4 (1điểm): C Bài 8 (1điểm): D
B. Phần tự luận:
Bài 1 (4điểm): 
A, Rút gọn A (2 điểm)
 A = 
* Nếu thì A = (1 điểm)
* Nếu thì A = (1 điểm)
B, Tìm giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên (2 điểm)
 Xét A = - với 
 là ước của và 
 (1 điểm)
Xét A = và nếu là số vô tỉ thì A cũng là số vô tỉ nên không thoả mãn. Do đó đặt ( là số nguyên dương và )
Khi đó A = .
Từ đó ta thấy mà nên là ước của 
Vậy hoặc . Tương tự như vậy là ước của nên 
Vì nên chỉ cần thử: 
+ ; không phải là số nguyên.
+ mà nên thoả mãn khi đó (1 điểm)
Bài 2 (4 điểm): Giải phương trình
a. (2điểm): 
A, (1)
ĐKXĐ: (0,25 điểm)
Đặt 
thì phương trình (1) trở thành: .
Ta xét 3 trường hợp:
+ Nếu thì 
 vô lí (0,5 điểm)
+ Nếu 
 vô lí. (0,5 điểm)
+ Nếu 
 (0,5 điểm)
Vậy phương trình có 1 nghiệm (0,25 điểm)
B (2điểm) giải phương trình: + 
Đăt; thì (0,25 điểm)
phương trình cho tương đương (0,5 điểm)
Thay vào phương trình (1) ta được: (0,25 điểm)
Đặt thì phương trình trở thành:
 (0,25 điểm)
hay 
 hoặc (0,25 điểm)
Vì 
Vậy hoặc hoặc 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm hoặc (0,5 điểm)
Bài 4 (3 điểm): 
M
H
KC
B
C
A
I
Từ giả thiết suy ra <0 dựng đường phân giác của thì 
Trong tam giác vuông có nên từ đó (do là phân giác của ) (1)
Dựng tại lúc đó đồng dạng với 
 hay (2)
Do là phân giác của nên (3)
Từ (2) và (3) suy ra: 
Suy ra song song với (định lí Talét đảo)
Suy ra 
Câu 5 (1 điểm): 
Ta có a102+b102 = (a101+b101)(a+b) - ab(a100+b100)
Từ quy tắc và đằng thức trên ta có:
1 = a+b - ab hay (a-1)(b-1) = 0
Suy ra (a;b) = (1;1)
Do đó P = 2
* Lưu ý: Mọi cách làm khác nếu đúng đều cho điểm tối đa