Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán: Chủ đề Hình học
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán: Chủ đề Hình học, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHỦ ĐỀ 5 HÌNH HỌC I. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng 1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã b2 = a. b’ c2 = a. c’ b2 + c2 = a2 h2 = b’. c’ a. h = b. c b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän - C¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän a ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: c¹nh kÒ c¹nh ®èi sina = cosa = tga = cotga = - Víi hai gãc a vµ b phô nhau ta cã sina = cosb cosa = sinb tga = cotgb cotga = tgb - Mét sè gãc ®Æc biÖt c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«sin gãc kÒ. Mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n tang gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«tang gãc kÒ d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c S = (h lµ ®êng cao øng víi c¹nh a) S = S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) S = (R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c) S = (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) 2. §êng trßn: a) Sù x¸c ®Þnh ®êng trßn. TÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn - §êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (víi R > 0) lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu ®iÓm O mét kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®êng trßn - Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn - §êng trßn cã t©m ®èi xøng, ®ã lµ t©m ®êng trßn. §êng trßn cã v« sè trôc ®èi xøng, ®ã lµ bÊt k× ®êng kÝnh nµo cña nã b) §êng kÝnh vµ d©y cung cña ®êng trßn. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y - Trong mét ®êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®êng kÝnh - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong mét ®êng trßn: Hai d©y b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m. Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n c) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: ®êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t nhau. øng víi mçi vÞ trÝ trªn, kho¶ng c¸ch d tõ t©m ®êng trßn ®Õn ®êng th¼ng vµ b¸n kÝnh R cña ®êng trßn cã c¸c liªn hÖ: d > R; d = R; d < R. Ta cã c¸c ®Þnh lÝ - NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - NÕu mét ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã th× ®êng th¼ng Êy lµ mét tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×: - §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm - Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn. Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ ngo¹i tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam gi¸c - §êng trßn ®i qua ba ®Ønh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia lµ ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c. T©m cña mçi ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc trong vµ mét trong hai ®êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi kh«ng kÒ víi nã f) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña hai ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau Do tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn, nÕu hai ®êng trßn c¾t nhau th× giao ®iÓm ®èi xøng víi nhau qua ®êng nèi t©m, nÕu hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau th× giao ®iÓm n»m trªn ®êng nèi t©m g) Gãc víi ®êng trßn: + Gãc ë t©m: Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®îc gäi lµ gãc ë t©m. Sè ®o cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã. Sè ®o cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cung nhá. Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800. + Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng trßn vµ hai c¹nh chøa d©y cung cña ®êng trßn ®ã. Cung bªn trong cña gãc gäi lµ cung bÞ ch¾n. Trong mét ®êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, AB lµ mét d©y cung. Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn: Mçi gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn ch¾n hai cung: mét cung n»m bªn trong gãc vµ cung kia n»m bªn trong gãc ®èi ®Ønh cña cung ®ã. Sè ®o cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn: Sè ®o gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n F Chó ý: Trong mét ®êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ngîc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. h) §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2pR = pd - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = pR2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. F C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc so le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau F C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr¬ng øng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn hoÆc hai ®êng b»ng nhau. TÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song F C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ë vÞ trÝ so le trong; ë vÞ trÝ so le ngoµi; ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, ... D¹ng 4: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc F C¸ch chøng minh: - Chóng cïng song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c. - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. - TÝnh chÊt 2 ®êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng D¹ng 5: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, ba ®êng th¼ng ®ång quy. F C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 1800 - Dùa vµo hai gãc ®èi ®Ønh - Dùa vµo hai ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®êng th¼ng kh¸c - Dùa vµo hai gãc b»ng nhau cã 1 c¹nh trïng nhau - Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 7: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng * Hai tam gi¸c thêng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g-g) - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp F C¸ch chøng minh: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc a. - Dùa vµo ph¬ng tÝch cña ®êng trßn II. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian 1. H×nh l¨ng trô: H×nh l¨ng trô lµ h×nh ®a diÖn cã hai mÆt song song gäi lµ ®¸y vµ c¸c c¹nh kh«ng thuéc hai ®¸y song song víi nhau. L¨ng trô ®Òu lµ l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu Sxq = p. l (p lµ chu vi thiÕt diÖn th¼ng, l lµ ®é dµi c¹nh bªn) L¨ng trô ®øng: Sxq = p. h (p lµ chu vi ®¸y, h lµ chiÒu cao) V = B. h (B lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) H×nh hép ch÷ nhËt: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c lµ c¸c kÝch thíc cña h×nh hép ch÷ nhËt) V = a. b. c C¸c ®êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = H×nh lËp ph¬ng: V = a3 (a lµ c¹nh) 2. H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung ®Ønh. H×nh chãp ®Òu lµ h×nh chãp cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu vµ c¸c mÆt bªn b»ng nhau. H×nh chãp côt lµ phÇn h×nh chãp n»m gi÷a ®¸y vµ thiÕt diÖn song song víi ®¸y. H×nh chãp côt tõ h×nh chãp ®Òu gäi lµ h×nh chãp côt ®Òu H×nh chãp ®Òu: Sxq = . n .a. d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a lµ ®é dµi c¹nh ®¸y; d lµ ®é dµi trung ®o¹n) Stp = Sxq + B (B lµ diÖn tÝch ®¸y) V = . B . h H×nh chãp côt ®Òu: Sxq = (n lµ sè c¹nh ®¸y; a, a’ c¹nh ®¸y; d trung ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn) V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn) V = (B, B’ lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) 3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2p. R. h (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2p. R. h + 2p. R2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = S. h = p. R2. h (S lµ diÖn tÝch ®¸y) 4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vu«ng cña nã. H×nh nãn côt lµ phÇn h×nh nãn gi÷a ®¸y vµ mét thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = p. R. l (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; l lµ ®êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = p. R. l + p. R2 - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = p(R1 + R2). l (R1; R2 lµ b¸n kÝnh hai ®¸y; l lµ ®êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = p(R1 + R2). l + p(R12 + R22) - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) 5. H×nh cÇu: - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4p. R2 (R lµ b¸n kÝnh) - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho DABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. Chứng minh:BEDC nội tiếp. Chứng minh:. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của góc. Chứng tỏ: AM2=AE. AB. Bài 2: Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1. Tứ giác ADBE là hình gì? 2. C/m DMBI nội tiếp. 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. 4. C/m MC. DB=MI. DC 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’) Bài 3: Cho DABC có =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. C/m BADC nội tiếp. BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của . C/m CA là phân giác của góc BCS. Hình 3 Bài 4: Cho DABC có = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. C/m ADCB nội tiếp. C/m ME là phân giác của góc AED. C/m: =. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. C/m AEDB nội tiếp. C/m DB. A’A=AD. A’C C/m:DE ^ AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. Bài 6: Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1 . C/m MFEC nội tiếp. 2 . C/m BM. EF=BA. EM 3. C/M DAMP DFMQ. 4 . C/m = 90o. Bài 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này. C/m DBFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD. C/m GEFB nội tiếp. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DBCD. Có nhận xét gì về I và F Bài 8: Cho DABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). C/m: BDCO nội tiếp. C/m: DC2 = DE. DF. C/m: DOIC nội tiếp. Chứng tỏ I là trung điểm FE. Bài 9: Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M¹A và M¹B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. C/m:NQ. NA=NH. NM C/m MN là phân giác của góc BMQ. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1 . Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. C/m OMHI nội tiếp. Tính góc OMI. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. C/m: MA là phân giác của góc CMD. C/m: EFBM nội tiếp. Chứng tỏ: AC2 = AE. AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp DCIM Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn. C/m HA là phân giác của góc BHC. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. CMR: MCDN nội tiếp. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. CMR: AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). C/m AHED nội tiếp Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M C/m: HA. DP=PA. DE C/m: QM = AB C/m: DE. DG = DF. DH C/m: E;F;G thẳng hàng. Bài 16: Cho tam giác ABC có =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK^BC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. C/m: Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN C/m: NMIC nội tiếp. Hình 16 Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn. Tia phân giác của góc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. C/m: MOBK nội tiếp. Tứ giác CKMH là hình vuông. C/m: H;O;K thẳng hàng. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a. Kẻ tia phân giác của góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC Và AB. AC = BH. BI 3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC ^ AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. Chứng minh AOHC nội tiếp. Chứng tỏ DCHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân. BM cắt OH tại N. Chứng minh DBNI và DAMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN. MC=IN. MA. H×nh 20 J K I F E D N O A B C M Bài 20: Cho D đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. Chứng tỏ DOMN cân. C/m :OMAN nội tiếp. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC2+DC2=3R2. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của AJ. Bài 21: Cho DABC (=1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành. C/m NM là phân giác của góc AND. Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. C/m INCQ là hình vuông. Chứng tỏ NQ//DB. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm. Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích theo a. C/m MFIE nội tiếp. Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. C/m MDNE nội tiếp. Chứng tỏ DBEN vuông cân. C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN. C/m BI=BC và DIE F vuông. 5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân Bài 24: Cho DABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. C/m AMHK nội tiếp. C/m JA. JH=JK. JM Từ C kẻ tia Cx ^với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D. Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn. Bài 25: Cho DABC (=1v),đường cao AH. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của DABC cắt DE tại I. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này. C/m: AM^DE. C/m AHOM là hình bình hành. Bài 26: Cho DABC có 2 góc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. Chứng minh AICH nội tiếp. C/m AI = AK C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. C/m CE;BF là các đường cao của DABC. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của DHFE chính là trực tâm của DABC. Bài 27: Cho DABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. C/m: C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn này. Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. C/m DI = BI Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. C/m NA. NB=NI. NC DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. C/m :IA2=IM. ID. Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của DAEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. C/m AECF nội tiếp. C/m: AF2=KF. CF C/m:EGFK là hình thoi. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi DCKE có giá trị không đổi. Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ ^ JK. Bài 30: Cho DABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O. So sánh và. CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC 4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của DABC. Bài 31: Cho (O) và sđ= 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của DABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gaëp nhau ở D. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. C/m: BI. KC=HI. KB C/m:MN là đường kính của (O) C/m ACBD là hình bình hành. C/m:OC // DH. Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. C/m BFN vuông cân. C/m:MEBA nội tiếp Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. C/m DFPE là tam giác vuông Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. Cm: CB là phân giác của góc ACE. C/m: AQEC nội tiếp. C/m: KA. KC=KB. KD C/m: QE//AD. Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. C/m:D nằm trên đường thẳng BF. C/m ADCF nội tiếp. C/m: CF. CN=CE. CM C/m:MN//AC. Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. C/m:ACBD là hình vuông. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM. Tính tích tích DAID theo R. Bài 36: Cho DABC (=1v). Kẻ AH^BC. Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. C/m: D OHO’ là tam giác vuông. C/m:HB. HO’=HA. HO C/m: DHOO’ DHBA. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. C/m DAMN vuông cân. Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. C/m:AIMD nội tiếp. C?m CM. CA=CI. CD. C/m ND=NC. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp DEIM. Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD theo R. Bài 38: Cho DABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. C/m AHPK nội tiếp. C/m HB. KP=HP. KC. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực của HK đi qua F. Bài 39: Cho hình bình hành ABCD ( > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB. C/m DEFC nội tiếp. C/m:CF2 = EF. GF. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OI^CD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG Chứng tỏ EOFG n
File đính kèm:
BT chung minh ve duong tron.doc
