Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2013 môn thi: Toán

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI	 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
	ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dành cho mọi thí sinh vào trường THPT Chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức 
Với . Chứng minh rằng giá trị của không phụ thuộc vào 
2. Cho các số thực thoả mãn . Chứng minh đẳng thức : 
Câu 2 (2 điểm) Cho Parabol và đường thẳng (Tham số )
1. Chứng minh rằng với mỗi , cắt tại 2 điểm phân biệt
2. Gọi là 2 giao điểm đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử là các số thực thoả mãn sao cho 2 phương trình có nghiệm chung và 2 phương trình có nghiệm chung . Tính 
Câu 4 (3 điểm) Cho không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại cắt tại. là giao điểm thứ 2 của với 
1. Chứng minh : 
2. Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng 
Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực thoả mãn
Chứng minh rằng Đáp án :
Câu 1:
a)
b)
Câu 2 
1. Ta có phương trình hoành độ : 
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với 
Vậy cắt tại 2 điểm phân biệt
2. Áp dụng định lý Viet:
Dâu = xảy ra khi 
Câu 3:
Gọi là nghiệm chung của phương trình (1) và (2)
Từ (1),(2)
Vì 
CMTT :
Nếu (vô lý) 
Ta có :
Từ (5), (6) 
Từ (1) , (3) 
Bài 4
a) Dễ dàng nhận thấy là các tứ giác nội tiếp 
b) Ta thấy : là các tứ giác nội tiếp vì 
là tứ giác nội tiếp 
Kẻ đường kính BL.
Ta có : ( chắn nửa đường tròn) mà 
( chắn nửa đường tròn) mà 
là hình bình hành.
Vì M là trung điểm AC là trung điểm LH
mà ( chắn nửa đường tròn) mà thẳng hàng 
hay thẳng hàng.
Bài 5:
Giả sử 
Ta có :
Vì 
Mà 
 Vậy 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI	 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
	ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dành cho thí sinh vào lớp thi vào lớp chuyên Toán và lớp chuyên Tin)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (2,5 điểm)
Các số thực thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức sau :
 i. 
 ii. 
 Chứng minh rằng : .
Các số thực dương thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức :
Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ thỏa mãn hệ phương trình 
Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương , ký hiệu là tổng của n số nguyên tố đầu tiên . Chứng minh rằng trong dãy số không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương .
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn , BD là đường phân giác của góc ABC. Đường thẳng BD cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Đường tròn đường kính DE cắt đường tròn tại điểm thứ hai F
Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm cạnh AC
Biết tam giác ABC vuông tại B, và bán kính của đường tròn bằng . Hãy tính bán kính của đường tròn bằng .
Câu 5 (1 điểm) Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là ba số nguyên tố. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC không thể là số nguyên.
Câu 6 (1 điểm) Giả sử là các số nguyên dương lớn hơn bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn Tồn tại hay không số nguyên dương sao cho tổng các số dư của các phép chia cho 22 số bằng 2012.
Câu 1
Ta có : 
Nếu thỏa mãn 2 điều kiện
Nếu 
Vì 
CMTT : 
Ta có : 
Dấu = xảy ra khi thay vào 2 điều kiện trên thì vô lý
Vậy 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxiki cho 2 dãy : và 
Ta có :
Vì 
Câu 2 :
Nếu không là nghiệm của phương trình
Nếu . Đặt ta có hệ phương trình mới 
Vậy 
Câu 3:
Ký hiệu là số nguyên tố thứ . Giả sử tồn tại 
Ta có : vì là số nguyên tố và 
(Vô lý)
Câu 4:
CM : FKCA là hình thang cân
Ta có : 
Mà là tứ giác nội tiếp là hình thang cân 
Ta lại có : (chắn cung DF)
Mà (chắn cung BF) 
Ta có : BD là phân giác vì 
Mà (chắn nửa đường tròn)
Câu 5: Gọi 3 cạnh của lần lượt là 
	Chu vi tam giác là 2p
Ta có : 
Nếu 
Nếu 
Nếu vô lý
Giả sử 
vì là 2 số nguyên tố mà 
Áp dụng BĐT tam giác : Ta lại có : 
Mâu thuẫn với điều giả sử ở trên.
Nếu không chia hết cho 16 
Vậy không là số nguyên
Câu 6.
Ta chứng minh không tồn tại thỏa mãn đề bài.
Giả sử ngược lại tồn tại số tự nhiên , ta luôn có tổng các số dư trong phép chia cho không thể vượt quá 407 – 11 = 396 và tổng các số dư trong phép chia cho không thể vượt quá 4.407 – 11 = 1617. Suy ra tổng các số dư trong phép chia cho không thể vượt quá 396 + 1617 = 2013. Kết hợp với giả thiết tổng các số dư bằng 2012. Suy ra khi chia cho 22 số trên thì có 21 phép chia có số dư lớn nhất và phép chia có số dư nhỏ hơn số chia 2 đơn vị.
Suy ra tồn tại sao cho thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó 1 trong 2 số + 1 ; + 2 chi hết cho và số còn lại chia hết cho . Suy ra điều này không đúng. Vậy không tồn tại thỏa mãn đề ra. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 
 	1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Câu II. 
1) Giả sử là các số thực khác 0 thỏa mãn 
 Chứng minh rằng :
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số sao cho chia hết cho 101?
Câu III. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB < AC. Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng :
2) Chứng minh rằng : 
Câu IV. Giả sử là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
-------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Bài 1:
Ta có : ĐK : 
Bình phương 2 vế : 
b) 
Điều kiện 
Đặt 
Ta có hệ phương trình mới là 
Bài 2:
Ta có : 
Vì 
2)Ta có :
Vậy 
Vậy có 891 số thỏa mãn điều kiện
Bài 3
Ta có: 
(chắn cung )
 vì là tứ giác nội tiếp
Gọi I là giao điểm ED với BC trung điểm BC
Ta có : 
Vì (chắn cung ) (2)
Từ (1) và (2) là tứ giác nội tiếp 
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
Ta có :
CMTT : Ta cũng có 
Đặt 
Dấu= xảy ra khi  ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (vòng II)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 
Giải hệ phương trình
 Giải phương trình 
Câu II. 
 Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
 Với x, y là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức 
Câu III. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC . PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
Chứng minh rằng: M,N,Q thẳng hàng
Giả sử AP là phân giác góc MAN .Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IV. Giả sử dãy số thực có thứ tự thỏa mãn các điều kiện 
 và 
Chứng minh rằng :
Câu 1 :
Cộng 2 phương trình ta có : 
Nếu 
Nếu (vô lý)
Vậy 
2) 
Đặt 
Ta có PT mới 
Vậy 
Câu 2 : 
1)Ta có 
Vì 
Lại lập luận tương tự ta được phương trình mới là :
Vậy 
2) 
Ta có :
Dấu = xảy ra khi 
Câu 3:
Ta có :
Mà 
Vậy M,N,Q thẳng hàng
Ta có : 
CMTT : 
Từ (1) và (2) là hình bình hànhtrung điểm EF
Ta có :
là phân giác thẳng hàng
Áp dụng định lý Tales : Ta được :
Vì J trung điểm EF
Câu 4: Ta giải bài toán tổng quát hơn như sau :
Cho các số thực thỏa mãn và 
Ta sẽ chứng minh 
Giả sử 
Ta có : 
Mà
Thay 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 CUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
	Câu 1(1,5 điểm)
	Cho biểu thức với 
Rút gọn biểu thức P.
Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một vuông có độ dài cạnh huyền bằng .
Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình : 
Câu 3 (2,0 điểm)
Giải phương trình 
Giải hệ phương trình 
Câu 4 (3,5 điểm)
1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)). Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E cắt (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự giao điểm của DA và CA với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng :
	a) CD là trung trực của đoạn BI.
	b) Tam giác MIN cân
	2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R)). Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của đường tròn (O) thỏa mãn . Xác định vị trí của B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 5 Cho a, b, c dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
-----------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: .............................................Số báo danh....................................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu 1: 
a) Ta có :
b) Để P nguyên thì nguyên 
Câu 2: 
a) Ta có : 
mà 
b) Ta có :
Nếu vì (vô lý)
Câu 3: 
a) 
b) Ta có :
Vì không là nghiệm của phương trình 
Câu 4: 
a) Ta có : (chắn cung BC, ). Tương tự : 
cân.là trung trực của BI.
b) Gọi K là giao điểm của BA và DC,
Áp dụng phương tích : Ta có:
Áp dụng định lý Talet : 
Ta có : 
Câu 5 Cho a, b, c dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT với ,z dương 
Ta có 
Tương tự 
Từ (1) ;(2) ,(3) ta có 
(*)
Từ GT ta có 
Thay vào (*) Ta có 
Dấu “=” xảy ra khi