Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Quốc học Huế môn: Toán - Năm học 2007-2008

	Sở Giáo dục và đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC 
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
	Đề chính thức	Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (2 điểm)
 Giải hệ phương trỡnh: 
Bài 2: (2 điểm)
 Chứng minh rằng phương trỡnh: luụn cú 4 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của . 
 Tỡm giỏ trị sao cho .
Bài 3: (3 điểm)
 Cho hỡnh vuụng cố định PQRS. Xột một điểm M thay đổi ở trờn cạnh PQ (MP, MQ). Đường thẳng RM cắt đường chộo QS của hỡnh vuụng PQRS tại E. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc RMQ cắt đường thẳng QS tại F (FQ). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hỡnh vuụng PQRS tại N.
Chứng tỏ rằng: .
Chứng minh rằng khi M thay đổi trờn cạnh PQ của hỡnh vuụng PQRS thỡ đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MEF luụn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Bài 4: (2 điểm) 
 Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn sao cho đẳng thức sau đỳng:
Bài 5: (1 điểm)
 Chứng minh với mọi số thực luụn cú:
Hết 
SBD thớ sinh: .................	Chữ ký GT1: ..............................	
 Sở Giáo dục và đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
BÀI
 NỘI DUNG 
Điểm
B.1
(2đ)
Ta cú : .
0,25
Hay .
0,25
+ Nếu , thay vào phương trỡnh đầu thỡ: 
0,25
Giải ra : 
0,25
Trường hợp này hệ cú hai nghiệm : ; 
0,25
+ Nếu , thay vào phương trỡnh đầu thỡ: .
0,25
Giải ra: .
0,25
Trường hợp này hệ cú hai nghiệm: 
 ; 
0,25
B.2
 (1)
(2đ)
Đặt :, ta cú : (2) () . 
0,25
Ta chứng tỏ (2) luụn cú hai nghiệm : .
0,25
 với mọi .Vậy (2) luụn cú hai nghiệm phõn biệt .
0,25
 với mọi .
0,25
 với mọi .
0,25
Do đú phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm : , , , .
0,25
 .
0,25
0,25
B.3
3 đ
Cõu3.1
(1đ)
Hỡnh vẽ đỳng
0,25
Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc RMQ cú đường kớnh RM .
 (3)
0,25
F nằm trong đọan ES.
Do đú : (4)
0,25
Từ (3) và (4) : .
0,25
Cõu3.2
(1đ)
Ta chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MEF luụn qua điểm cố định P.
0,25
Ta cú :. Do đú N, S, R, E ở trờn đường trũn đường kớnh NR.
0,25
Ta cũng cú:. Do đú N, F, E, M ở trờn đường trũn đường kớnh MN.
0,25
Do nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MEF đi qua điểm P.
0,25
Cõu3.3
(1đ)
Tam giỏc RMN cú hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và NE, ta cú RH là đường cao thứ ba. RH vuụng gúc với MN tại D. Do đú : . 
0,25
Ta cú: (do M, N, F, E ở trờn một đường trũn); (do M, F, R, Q ở trờn một đường trũn). Suy ra:. D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giỏc vuụng DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD
0,25
Tương tự : Hai tam giỏc vuụng DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND .
Từ đú : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
 ()
(2đ)
 Điều kiện: (p, q là cỏc số nguyờn) 
0,25
Bỡnh phưong hai vế của () : 2. 
0,25
Hay : . 
0,25
Tiếp tục bỡnh phương : . 
0,25
+ Nếu thỡ () trở thành:+=, đỳng với mọi số nguyờn tựy ý.
0,25
+ Nếu thỡ () trở thành:+=,đỳng với mọi số nguyờn tựy ý.
0,25
+ Xột và . Ta cú : ( p, q là cỏc số nguyờn)
Chỉ xảy ra cỏc trường hơp : 
 1/ ; 2/ ; 3/ .
0,25
Ta cú thờm cỏc cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) .
Kiểm tra lại đẳng thức ():+= ; += ;+=
0,25
B.5
 (*)
(1đ)
Đặt: . Trong ba số a, b, c bao giờ cũng cú ớt nhất hai số cựng dấu, chẳng hạn: . 
Lỳc này : +=+== 2
0,25
Ta cú : ; ; . Do đú để chứng minh (*) đỳng, chỉ cần chứng tỏ : ++ (**) đỳng với .
0,25
Ta cú: 
(**) (***)
0,25
Đặt: ; , ta cú (do a.b0) ta cú: (***)+. AB AB . 
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp cỏc số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cựng dấu. Vớ dụ: và .
0,25
Chỳ ý: Cú thể chia ra cỏc trường hợp tựy theo dấu của a, b, c (cú 8 trường hợp) để chứng minh(*)