Đề thi thử tuyển sinh đại học, cao đẳng trường Amsterdam môn thi: Toán, Khối A

 THPT CHUYấN HÀ NỘI – AMSTERDAM. 
 KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 
 Mụn thi: TOÁN, khối A 
 Thời gian làm bài 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): 
1. Cõu I (2 điểm) : 
 Cho hàm số )1()1()1( 22 −+= xxy , có đồ thị )( C . 
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị )( C của hàm số (1) . 
2) Lập phương trỡnh đường thẳng )(d đi qua điểm cực đại của đồ thị )( C sao cho tổng cỏc 
 khoảng cỏch, từ hai điểm cực tiểu của đồ thị )( C đến đường thẳng )(d đạt giỏ trị lớn nhất. 
2. Cõu II (2 điểm) : 
1) Giải phương trỡnh : xxx 2cos8cot2tan =+ . 
2) Giải hệ phương trỡnh : 




−=−
−=−
3223
2
3
335
yyxx
xyxyx
. 
3. Cõu III (1 điểm) : 
 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng )( H giới hạn bởi cỏc đường xyP 4:)( 2 = và 042:)( =−−∆ yx . 
4. Cõu IV (1 điểm) : 
 Cho hỡnh lăng trụ đứng CBAABC ′′′. cú đỏy (ABC) là tam giỏc cõn với aACAB == , 
 gúc 0120=∠BAC , cạnh bờn aBB =′ , gọi I là trung điểm của CC ′ . Tớnh gúc giữa hai mặt 
 phẳng )(ABC và )( IBA ′ 
5. Cõu V (1 điểm) : 
 Cho hàm số 
2
712
2
11)(
xx
xxfy +++== với 0>x .Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):Thớ sinh chỉ được chọn một trong hai phần riờng (Phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trỡnh chuẩn : 
1. Cõu VI.a (1 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giỏc ABC với cỏc đường cao AD, BE, CF. 
Biết tọa độ cỏc điểm )2;1( −−D , )2;2(E , )2;1(−F . Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa cỏc 
cạnh của tam giỏc ABC. 
2. Cõu VII.a (1 điểm): Tớnh tổng : 2013201332013220131201302013 .2014.4.3.2.1 CCCCCS +++++= ⋯ . 
3. Cõu VIII.a (1 điểm):Trong khụng gian tọa độ 0xyz cho mặt phẳng 0222:)( =++− zyxP
và cỏc 
điểm )3;1;4(A , )1;3;2( −−B . Tỡm tọa độ của điểm M nằm trờn mặt phẳng (P) sao cho tổng 
22 MBMA + đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
B. Theo chương trỡnh nõng cao : 
1. Cõu VI.b (1 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường thẳng 024:)( =−− yxd và tam giỏc 
ABC cú điểm A thuộc đường thẳng )(d , đường thẳng BC song song với đường thẳng )(d , đường 
cao BH cú phương trỡnh 03 =++ yx , điểm )1;1(M là trung điểm AC.Tớnh tọa độ cỏc điểm A, B, C. 
2. Cõu VII.b (1 điểm): Biết rằng 102412 125 123 121 12 =++++ +++++ nnnnn CCCC ⋯ . Tỡm hệ số của số hạng chứa 
7x trong khai triển của nhị thức nx)43( − . 
3. Cõu VIII.b (1 điểm):Trong khụng gian tọa độ 0xyz cho mặt phẳng 0922:)( =+−− zyxP
và mặt 
 cầu 100)1()2()3(:)( 222 =−+++− zyxS . Tỡm tọa độ của điểm M nằm trờn mặt cầu (S) sao cho khoảng 
 cỏch từ M đến mặt phẳng (P) đạt giỏ trị lớn nhất. 
 .. Hết ... 
 ĐỀ THI THỬ ĐỢT MỘT. 
www.VNMATH.com
1 
Trường THPT Chuyờn Hà nội – Amsterdam 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐH-CĐ 2013 
Cõu Nội dung ðiểm 
Câu I: (1.0 điểm) : 
• 12)1()1( 2422 +−=+−= xxxxy cú TXĐ R 
0,25điểm 
Cõu I: 
(1.0 điểm) 
 ⇒ 0)1(444 23 =−=−=′ xxxy tại x=0(y=1) và ( 1±=x ,y=0) 
• ( 0412 2 =−=′′ xy tại )
9
4(,
3
1
=±= yx ) 
• Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận. 
• +∞==
−∞→+∞→
yy
xx
limlim 
• Bảng biến thiờn 
x ∞− -1 0 1 ∞+ 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y
∞+ ∞+ 
 1 
 0 0 
0,25điểm 
0,25 điểm 
 0,25điểm 
2. Điểm cực đại A(0;1), hai điểm cực tiểu B(-1;0) và C(1;0) tạo thành tam giỏc cõn tại A. Gọi 
(d) là đường thẳng qua A 
Oyd ≡ thỡ tổng cỏc khoảng cỏch từ B và C đến (d) bằng BC=2 
Oyd ≠ thỡ phương trỡnh (d) là y= .x+1 với . Cỏc khoảng cỏch từ B và C đến 
(d) là: và . Tổng cỏc khoảng cỏch trờn là: 
 + 
Dấu đẳng thức khi nờn phương trỡnh (d) là 
Vậy cú hai đường thẳng thỏa món là Oy và y=1 
*) Chỳ ý: Với hàm số trựng phương cbxaxy ++= 24 khi đồ thị cú đủ cỏc điểm cực đại và 
cực tiểu thỡ ba điểm này tạo thành tam giỏc cõn. Ta cú bài toỏn hỡnh học: Cho tam giỏc ABC 
cõn ở A, xỏc định vị trớ đường thẳng (d) qua điểm A sao cho tổng cỏc khoảng cỏch từ hai 
đỉnh B và C đến (d) đạt giỏ trị nhỏ nhất, lớn nhất. 
TH1: (d) cắt cạnh BC tại điểm M (lỳc đú hai điểm B, C khỏc phớa nhau qua (d)). Ta cú: 
2(BE+CF).AM=2.S (với S là diện tớch tam giỏc ABC, S khụng đổi) 
*)BE+CF đạt giỏ trị nhỏ nhất AM⇔ đạt giỏ trị lớn nhất BM ≡⇔ hoặc CM ≡ , lỳc đú 
ABd ≡)( hoặc ACd ≡)( . Giỏ trị nhỏ nhất bằng độ dài đường cao kẻ từ B hoặc C. 
*) BE+CF đạt giỏ trị lớn nhất AM⇔ đạt giỏ trị nhỏ nhất HM ≡⇔ , lỳc đú )(d là đường 
cao đỉnh A và giỏ trị lớn nhất bằng BC 
TH2: (d) khụng cắt cạnh BC (lỳc đú B, C nằm cựng phớa với (d)). Ta cú: BE+CF=2HM là 
đường trung bỡnh hỡnh thang. Chỳ ý: HAHMHN ≤≤ . 
Giỏ trị nhỏ nhất đạt khi HNHM ≡ tức là ABd ≡)( hoặc ACd ≡)( . Giỏ trị nhỏ nhất bằng độ 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
www.VNMATH.com
2 
dài đường cao kẻ từ B hoặc C (bằng 2HN) 
Giỏ trị lớn nhất đạt khi HAHM ≡ lỳc đú (d)//BC và giỏ trị lớn nhất bằng 2AH 
Kết luận: 
o Giỏ trị nhỏ nhất đạt khi ABd ≡)( hoặc ACd ≡)( 
o Với giỏ trị lớn nhất thỡ: 
• Tam giỏc ABC cú gúc BAC>900 thỡ 2AH<BC. Giỏ trị lớn nhất là BC đạt khi AHd ≡ 
• Tam giỏc ABC cú gúc BACBC. Giỏ trị lớn nhất là 2AH đạt khi BCd // 
• Tam giỏc ABC cú gúc BAC=900 thỡ 2AH=BC. Giỏ trị lớn nhất là 2AH=BC đạt khi 
BCd // hoặc AHd ≡ 
Cõu II 
(2điểm) 
Cõu II: 
1) Giải phương trỡnh: xxx 2cos8cot2tan =+ 
Điều kiện xỏc định: 0sin,02cos ≠≠ xx 
2
14sin,0coscos.4sin2cos2cos.cossin8cos
cos8
sin.2cos
cos
cos8
sin
cos
2cos
2sin
cos8cot2tan
2
222
==⇔=⇔=⇔
=⇔=+⇔=+
xxxxxxxxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
Nghiệm 0cos =x cho 01sin ≠±=x và 011cos22cos 2 ≠−=−= xx nờn thỏa món điều 
kiện xỏc định. Ta cú nghiệm pi
pi kx +=
2
( Ζ∈k ). 
Nghiệm 
2
14sin =x cho 0
2
12cos.cos.sin4 ≠=xxx cũng thỏa món điều kiện xỏc định. 
Ta cú: pi
pi
pi
pi 2
6
54,2
6
4 kxkx +=+= Ζ∈+=+=⇔ kkxkx ,
224
5
,
224
pipipipi
Chỳ ý: Nếu biến đổi theo biến xt tan= ta được phương trỡnh: 01828 234 =+−++ tttt . 
Tuy giải được phương trỡnh này nghiệm biểu diễn phức tạp và khú đối chiếu với điều kiện 
xỏc định. 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
 Câu II/ 
2) Giải hệ phương trỡnh: 




+=+
+=+
⇔




−=−
−=−
2233
2
3223
2
3
335
3
335
yxyx
yxxyx
yyxx
xyxyx
TH1: 03 =+ yx cho .3yx −= Thay vào hệ cú: 0== yx 
TH2: 022 =+ yx cho 0== yx và thỏa món hệ 
TH3: 



≠+
≠+
0
03
22 yx
yx
 ta cú: 
0)94)((
0954)3)(3())(35(
2222
422433222
=+−⇔
=−+⇔++=++
yxyx
yyxxyxyxyxxyx
 Trường hợp: 0)94( 22 =+ yx cho 0== yx . Nghiệm bị loại vỡ 022 ≠+ yx 
 Trường hợp: 22 yx = cho 2/1== yx và 1,1 =−= yx thỏa món điều kiện 
Trả lời: Nghiệm )1,1(),2/1;2/1(),0;0();( −=yx 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
www.VNMATH.com
3 
Cõu III 
(2 điểm) 
 Câu III / 
Cỏch 1: 
xyP 4:)( 2 = cắt 042:)( =−−∆ yx ở )2;1( −A và )4;4(B , 
Từ đồ thị suy ra diện tớch cần tỡm là: 
9.)]42(2[.22
4
1
1
0
=−−+= ∫∫ dxxxdxxS (đvdt) 
Cỏch 2: Lấy đối xứng qua phõn giỏc gúc 1 thỡ (P): xy 42 = thành 
(P’): yx 42 = hay 
4
2
xy = ; 042:)( =−−∆ yx thành 
042:)'( =−−∆ xy hay 2
2
+=
xy 
(P’) cắt )'(∆ ở A’(-2;1) và B’(4;4). Từ đồ thị suy ra diện tớch 
cần tỡm là: 9
4
2
2
4
2
2
=





−+= ∫
−
dxxxS (đvdt) 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu IV 
(1 điểm) 
1/ Cú thể đạt hỡnh lăng trụ đứng đó cho vào khụng gian tọa độ Oxyz với A(0;0;0) trựng gốc 
tọa độ O, B(a;0;0), )0;
2
3
;
2
( aaC − , A’(0;0;a), 
B’(a;0;a), 







−
a
aaC ;
2
3
;
2
' . 
Lỳc đú 







−
2
;
2
3
;
2
aaaI . 
Mp(ABC) là mặt phẳng xOy cú vtpt 1),1;0;0( =kk



' ( ;0; ) (1;0;1)AB a a a= =


, 
( )1;3;1
22
;
2
3
;
2
−−
−
=







− aaaaAI 
( )', 3;2; 3AB AI u  = − = 
 
 
 là vtpt của mp(AB’I), 10=u 
3. −=uk , 
10
3),cos( −=uk . Vậy gúc nhọn α giữa hai mặt phẳng cần tỡm cú
10
3
cos =α 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
www.VNMATH.com
4 
Cõu V 
Cỏch 1: Theo BĐT Bunhiacopxki cho (1,
x
7
) và )7,3( . Ta cú: 
( )
xxxxxx 2
7
2
371.273714737971 22
2
2 +≥+⇒+≥+⇒





+≥+





+ 
Từ đú: 
2
15
2
39
.2
2
39
2
7
2
3
2
11
=+≥++=+++≥
x
x
x
x
xx
xA 
Dấu đẳng thức đạt trong cả hai lần xột BĐT khi x=3, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
15
=A 
Cỏch 2: 
x
x
x
x
xx
xxf 7.2
2
11712
2
11)(
2
2
+
++=+++= với miền xỏc định x>0 
Cú: 
( )( ) 0
7.2
2178247
7.
7
.2
2
111)('
22
222
2
2
2
2 ≥
+
+++−+
=
+−
++−=
xx
xxx
x
xx
x
x
x
xf 
3472 ≥⇔≥+⇔ xx . Vậy GTNN 
2
15)3()( == fxf khi 3=x 
Chỳ ý: Để xột dấu f’(x) cú thể đổi biến 72 += xt 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
0,5 điểm 
0,25 điểm 
VIa Nhận xột với tam giỏc ABC khụng vuụng cú cỏc đường cao AD, BE, CF thỡ ta cú tam giỏc DEF. 
Với tam giỏc ABC thỡ AB, BC, CA là cỏc cạnh, cũn với tam giỏc DEF thỡ AB, BC, CA là cỏc 
đường phõn giỏc ngoài (hoặc cú hai cạnh là đường phõn giỏc trong, cạnh cũn lại là phõn giỏc 
ngoài của đỉnh cũn lại). 
Phương trỡnh đường thẳng DE: ; EF: y – 2 = 0 ; FD: x + 1 = 0. 
Phương trỡnh cỏc phõn giỏc trong và ngoài của tam giỏc DEF đi qua cỏc đỉnh D, E, F lần lượt là 
d1 : 3x – y + 1 = 0 ; d’1 : x + 3y + 7 = 0 ; 
d2 : x – 2y + 2 = 0 ; d’2 : ; 
d3 : x + y – 1 = 0 ; d’3 : x – y + 3 = 0 ; 
Trong đú d1 ; d2 ; d3 là cỏc đường phõn giỏc trong lần lượt tại D, E, F. 
d’1 ; d’2 ; d’3 : là cỏc đường phõn giỏc ngoài lần lượt tại D, E, F. 
Đỏp số : 
Phương trỡnh AB, BC, CA lần lượt là (d’1 ; d’2 ; d’3) ; (d1 ; d2 ; d’3) ; (d1 ; d’2 ; d3) ; (d’1 ; d2 ; d3). 
H
F
E
D
CB
A
H
B C
D
F
E
A
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VII.a Xột 
Ta cú 
Khi đú S = 
0,25 
0,25 
0,5 
VIII.a Lấy E là trung điểm của AB thỡ E(3 ; -1 ; 1) 
Ta cú MA2 + MB2 = 2ME2 + ; với AB2 là đại lượng khụng đổi. Do đú MA2 + MB2 đạt giỏ trị 
nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất M là hỡnh chiếu của E trờn (P). 
Mp(P) cú vectơ phỏp tuyến (1 ; - 2 ; 2) nờn đường thẳng EM đi qua E và vuụng gúc với (P) 
cú phương trỡnh tham số . Điểm M ứng với t thoả món phương trỡnh mặt 
phẳng (P) 
(3 + t) – 2( - 1- 2t) + 2(1 + 2t) + 2 = 0 9t + 9 = 0 t = - 1. 
0,5 
0,5 
www.VNMATH.com
5 
Do đú điểm M cú toạ độ (2 ; 1 ; - 1) 
VI.b Đường thẳng AC qua điểm M(1 ; 1) và vuụng gúc với BH : x + y + 3 = 0 cú phương trỡnh 
Đường thẳng AC cắt đường thẳng d : x – 4y – 2 = 0 tại A( ; ). 
Điểm M(1 ; 1) là trung điểm của AC nờn toạ độ của C( ; ). 
Đường thẳng BC // d và đi qua C nờn cú phương trỡnh x – 4y + 8 = 0. 
Đường thẳng BC cắt đường thẳng BH ở B( ; ). 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VII.b Ta chứng minh được hai đẳng thức sau 
Từ đú ta cú 
Vậy 22n = 1024 22n = 210 
 n = 5. 
Do đú (3 – 4x)n = (3 – 4x)5 khi khai triển được đa thức bậc 5, vậy hệ số của x7 là 0. 
0,5 
0,25 
0,25 
VIII.b. 
Cỏch 1 : 
Điểm M(a ; b ; c) nằm trờn mặt cầu thỡ ta cú (a – 3)2 + (b + 2)2 + (c – 1)2 = 100 
Theo Bunhiakopxki cho 2 bộ số (a – 3 ; b + 2 ; c + 1) và (2; - 2; - 1) ta cú : 
[(a – 3)2 + (b + 2)2 + (c – 1)2 ](4 + 4 + 1) ≥ [2(a – 3) – 2(b + 2) – (c – 1)]2 
100.9 ≥ (2a – 2b – c – 9)2 30 ≥ 2a – 2b – c – 9 ≥ - 30. 48 ≥ 2a – 2b – c + 9 ≥ - 12 
 |2a – 2b – c + 9| ≤ 48 d ≤ 16 
Dấu đẳng thức xảy ra : 
Từ đú ; ; . Vậy điểm M( 
0,25 
0,5 
0,25 
Cỏch 2 : Đường thẳng d qua tõm mặt cầu I(3 ; - 2 ; 1) và vuụng gúc với mặt phẳng (P) thỡ cú 
phương trỡnh tham số . Đường thẳng d cắt mặt 
phẳng (P) tại điểm H ứng với tham số t thoả món phương trỡnh 
Vậy H(- 1 ; 2 ; - 1) 
Đường thẳng d cắt mặt cầu tại cỏc điểm ứng với tham số t thoả món 
(3 + 2t – 3)2 + ( - 2 – 2t + 2)2 + (1 – t – 1)2 = 100 9t2 = 100 t = 
Điểm M ứng tới t = là ( 
Vỡ nờn vị trớ cỏc điểm M, N, I, H trờn đường thẳng d sắp theo thứ tự 
M, I, H, N. Do đú điểm cỏch (P) khoảng lớn nhất là M( . (Mặt phẳng (P) cắt mặt 
cầu theo giao tuyến là đường trũn tõm H). 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
www.VNMATH.com