Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 - Môn: Giải tích Ngành: Toán học

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
 Câu1. 1) Giả sử hàm RRf đ2: cho bởi công thức
( )
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=+
ạ+
+=
 0 0
0 
,
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf
 nếu
nếu
a) Xét tính liên tục của f trên 2R .
b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0,0 .
2) Tìm miền hội tụ của chuỗi
n
n
n x
x 
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
-
+ồ
Ơ
= 1
1
12
1
0
Câu 2. Kí hiệu 1l = { } 
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ 
Ơ<ẻẻ= ồ
Ơ
=1
,;:
n
nnn xNnCxxx ;
( ) ,,
1
1 ồ
Ơ
=
-=
n
nn yxyxd ( )
2
1
1
2
2 , ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ 
-= ồ
Ơ
=n
nn yxyxd với { }nxx = ; { }ny y = thuộc 1l .
Chứng minh rằng
a) 1d , 2d lần lượt là các mêtric trên 1l ;
b) không gian ( )11 ,dl đầy đủ ; khả li.
c) Không gian ( )21 ,dl không đầy đủ.
Câu 3. Giả sử [ ]1 ,0C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ]1,0 với chuẩn sup
và A: [ ] đ1 ,0C [ ]1 ,0C biến x thành Ax cho bởi ( )( ) ( )txttAx 2= với mọi ẻx [ ]1 ,0C và [ ]1,0ẻt
a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A
b) Chứng tỏ rằng [ ]( )1 ,0C A là không gian con đóng của [ ]1 ,0C .
Câu 4. ánh xạ YXf đ: từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với
tập đóng A bất kì ta có ( )A f đóng trong Y. Chứng minh rằng YXf đ: là đóng khi và chỉ khi
( ) ( )f A è f A với mọi XA è .