Đề thi olympic môn toán 7 thời gian: 120 phút năm học: 2013- 2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN

ĐỀ THI OLYMPIC - MÔN TOÁN LỚP 7
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 120 phút


Đề bài:

Câu 1 (5 điểm)
 a, Cho = . Chứng minh rằng: = (b +d 0)
 b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8.
 Câu 1 (3 điểm)
 a, Tính giá trị của biểu thức: với = .
b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.
Câu 3 (3 điểm)
a, Tìm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c.
b, Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm.
Câu 4 (2 điểm)
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = với x là số nguyên.
Câu 5 (7 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

---------Hết---------

Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra: Hà Thị Thủy


ĐÁP ÁN CHẤM OLYMPIC TOÁN LỚP 7
Năm học: 2013 – 2014
Câu
Nội dung
Điểm
1.
(5điểm)
a, Từ = = = 
 = = = = 
 = = = 

0,5đ

1,0đ

1,0đ

b, Gọi hai số phải tìm là a, b (a > b > 0), theo đầu bài ta có: 15(a + b) = 60(a – b) = 8ab.
 Hay: = = = k. Giải ra được k = 1.
 a = 5; b = 3

0,5đ
1,0đ
1,0đ
2.
(3điểm)
a, = = = .


1,0đ

b, Theo đề bài: ab = 2, bc = 6 và ac = 3
 ta có: ab . bc . ac = 2 . 6 . 3
 a2b2c2 = 36 (abc)2 = 36 abc = 6
- Trường hợp 1:
 abc = 6 mà ab = 2, nên c = 3
 abc = 6 mà bc = 6, nên a = 1
 abc = 6 mà ac = 3, nên b = 2
- Trường hợp 2: 
 abc = - 6 mà ab = 2, nên c = - 3
 abc = - 6 mà bc = 6, nên a = - 1
 abc = - 6 mà ac = 3, nên b = - 2
Vậy ; 


0,5đ



0,5đ



0,5đ

0,5đ
3.
(3điểm)
a, 3a + 5b = 8c 
 3a - 3b = 8c – 8b 3(a – b) = 8(c – b)
Do đó 3(a – b) 8, từ đó a – b 8
Do ab nên a – b 
- Trường hợp: a – b = 8 cho c – d = 3, ta có:
 a = 8; b = 0; c = 3
 a = 9; b = 1; c = 4.
- Trường hợp: a – b = - 8 cho c – b = 3, ta có:
 a = 1; b = 9; c = 6.
Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803, 914, 196.




0,5đ


0,5đ
0,25đ

0,75đ

b, x2 + 4x + 10 = x2 + 2x +2x +4 + 6
 = (x + 2)2 + 6 > 0 với mọi x.
Do đó đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm.

0.75đ
0,25đ
4.
(2điểm)
Xét các trường hợp:
+) x -2 thì A 0.
+) x = -1 thì A = 1.
+) x 1 khi đó: A = = 1 + .
 A lớn nhất lớn nhất. 
Vì x là số nguyên dương, nên: lớn nhất x nhỏ nhất, tức là x = 1, khi đó A = 3.
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi x = 1

0,5đ
0,5đ





0,5đ

0,5đ
5.
(7điểm)

a, 
- Chứng minh DCHO = D CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận D FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh D FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh D AHK = D IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..

1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

b,
Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có: D AEH, D BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. 
Suy ra: D ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của D ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng.

 A

 E 	 H
 K
	 O	G

	B	 F I C




1đ

1đ

0,5đ



0,5đ