Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm 2018 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM 
 MÔN THI: TOÁN 10 (Cho lớp chuyên Toán) 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH 
 TỔ TOÁN TIN 
 Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề 
 (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) 
 Ngày thi 20/8/2018 
 Câu 1. Giải hệ phương trình 
 Câu 2. Cho là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng: 
 Câu 3. 
 a. Cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với 
 các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Đường thẳng qua E và song song 
 với AB cắt AD tại H, gọi K là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng các đường 
 thẳng AK, EF, BC đồng quy. 
 b. Cho tam giácABC và (J) là đường tròn bàng tiếp gócA của tam giácABC. Đường tròn 
 (J) tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểmM, L, K.Hai đường 
 thẳng ML và BJ cắt nhau tại F, hai đường thẳng MK và CJ cắt nhau tại G. Hai đường 
 thẳng AF và AG cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại S và T. Chứng minh rằng , từ đó 
 chứng minh M là trung điểm ST. Câu 4. Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 5. Trên mặt phẳng, bạn An kẻ đường thẳng song song nằm ngang vuông góc 
với đường thẳng song song nằm dọc và tô màu các giao điểm theo ý định từ trước. Tuy 
nhiên, An đã tô nhầm màu của điểm. Để sửa mỗi điểm bị tô sai màu, An cần xóa đi cả 
đường thẳng chứa điểm đó. Chứng minh rằng, An có thể chọn xóa đường thẳng ngang 
và đường thẳng dọc để sửa được hết tất cả điểm đã tô nhầm màu. 
 ————– HẾT ————– 
 (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
Câu 5: 
Trong đường thẳng nằm ngang, ta chọn ra đường thẳng có số điểm tô nhầm trên mỗi 
đường là lớn nhất, tức là các đường ngang còn lại có số điểm tô nhầm không lớn hơn các 
đường ngang đã chọn. 
Bây giờ ta chứng minh rằng, số điểm tô nhầm trên đường này không ít hơn điểm. Thật 
vậy, giả sử ngược lại, thì sau khi xóa đường ngang này, số điểm An cần sửa còn ít nhất 
+1 điểm. Số này thuộc đường ngang còn lại, khi đó tất yếu có ít nhất 1 đường ngang 
chứa từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Thế thì chứng tỏ mỗi đường trong đường ngang chọn 
ban đầu đều có từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Vậy thì số điểm đã xóa không nhỏ hơn (mâu 
thuẫn với giả sử trên). 
Vậy sau khi xóa n đường ngang thì số điểm tô sai còn lại không vượt quá . Số điểm này 
nằm trên nhiều nhất đường dọc. An hoàn toàn chọn được đường dọc chứa đủ số điểm tô 
sai còn lại. (đpcm)