Đề thi HSG môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Trần Hưng Đạo

 TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO 
 ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN :9 
ĐỀ ĐỀ NGHỊ 
 NĂM HỌC 2012-2013 
 Bài 1 (2 điểm). 
 a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương, ta có: 5n(5n + 1) – 6n(3n + 2n) chia hết 
 cho 91. 
 b/ Phân tích đa thức Q = 2x2 - 9x + 9 thành nhân tử. 
 Bài 2 (2,0 điểm). Tính: 
 B = 3 20 14 2 3 20 14 2 
 2 2
 C = (- x3 + 3x2 - 1)2011 biết x = 
 3 5 3 5
 x x x 4
 Bài 3 (4,0 điểm). Cho biểu thức: S =  
 x 2 x 2 4x
 a) Rút gọn biểu thức S. 
 b) Tìm x để S - 3 < 0. 
 3
 c) Tìm số nguyên x để biểu thức H = có giá trị nguyên 
 S 1
 Câu 3: (4 điểm). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: 
 P = 3x2 -18x+28 + 4x2 - 2x + 45 . 
 Áp dụng hãy giải phương trình: 3x2 -18x+28 + 4x2 - 2x + 45 = -5 – x2 + 6x 
 Câu 4: (2 điểm). Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 
 Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab. 
 Câu 5: (6 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD ( 
 H AD); kẻ CK vuông góc với AB ( K AB). Chứng minh rằng: 
 a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng 
 b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng 
 c) AB. AK + AD. AH = AC2 
 d) HK = AC.cosKCB