Đề thi HSG cấp trường năm học 2018-2019 môn Toán Khối 10 - Trường THPT Liễn Sơn (Có lời giải)

 SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 
 TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN MÔN: TOÁN – KHỐI 10. 
 (Thời gian làm bài 180 phút) 
Câu 1. (2 điểm). Cho phương trình (m 1) x2 2( m 1) x m 3 0 (x là ẩn, m là tham số). 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 
Câu 2. (2 điểm). Cho phương trình x2 2 x 3 m 4 0. Tìm các giá trị của m để phương 
 2 2 2 2
trình có 2 nghiệm xx12, thỏa mãn x1 x 2 x 1 x 2 4 . 
Câu 3. (2 điểm). Cho phương trình (2m 1) x2 2 mx 1 0. Xác định m để phương trình đã 
cho có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0) . 
Câu 4. (2điểm).Cho phương trình x22 2( m 3) x m 3 m 1 0 (m là tham số) có 2 nghiệm 
 xx1, 2 thỏa mãn điều kiện (x1 x 2 )( x 1 x 2 1) 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 A x1( x 2 1) x 2 . 
Câu 5. (2 điểm). Giải phương trình: x32 3 x 3 x 2 x 1 3 0 . 
 2
 4 x 8 y y 7 x 1
Câu 6. (2 điểm). Giải hệ phương trình 
 2
 2 x y 6 y 2 x 4 x y 1
Câu 7. (2 điểm). Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm 
thuộc đoạn AM sao cho AI = 3IM. Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K 
thẳng hàng. 
Câu 8. (2 điểm). Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng. Bạn An gọi chúng là AAA12, ,..., n . 
Bạn Bình gọi là BBB12, ,..., n ( ABii, có thể là một điểm hoặc không). Tính tổng vecto 
 ABABAB1 1 2 2 ... nn . 
Câu 9. (2 điểm). Cho tam giác ABC với ABC( 1; 3), (2;5), (4;0) . Xác định trực tâm H của 
tam giác ABC. 
Câu 10. (2 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 32 
 a2 b 2 c 2 3
Chứng minh rằng: . 
 b c c a a b 2
 ------------------Hết-------------------- 
Họ tên thí sinh: ..Số báo danh: .. 
 SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC HƯỜNG DẪN CHẤM 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 
 MÔN: TOÁN – KHỐI 10. 
Câu Nội dung Điểm 
1 Cho phương trình (m 1) x2 2( m 2) x m 3 0(x là ẩn, m là tham số). Tìm m 
 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 
 Bài làm x2 2 x 3 m 4 0
 1 0,5 
 +) Với m = 1 phươngxx, trình là: x62x x 2 2 x 2 0 x 2 x4 () loai 
 12 1 2 1 2 3
 +) Với m 1 để phương trình có (22 nghim 1)ệm x2 : 2 mx 1 0
 1 0,5 
 '0 8m 1 0 m 
 ( 1;0)8
 1
 m 
 Vậy 8 1,0 
 m 1
2 Cho phương trình . Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 
 nghiệm thỏa mãn 
 Bài làm 
 5 0,5 
 Để phương trình có 2 nghiệm thì '0 m 
 3
 xx12 2
 Theo viet ta có : 0,5 
 x12 x 34 m
 Ta có: (3mm 4)22 ( 2) 2(3 4) 4 
 0,5 
 9m2 18 m 0 m [0;2] 
 5 5
 Kết hợp điều kiện m ta được m [0; ]. 0,5 
 3 3
3 Cho phương trình . Xác định m để phương trình đã cho có 
 nghiệm thuộc khoảng . 
 Bài làm 
 1 0,5 
 +) Xét 2mm 1 0 phương trình là: xx 1 0 1 ( 1;0) . 
 2
 1
 +) Xét m . Khi đó ta có : 
 2
 ' (mm 1)2 0,  0,5 
 1
 Phương trình có nghiệm x 1và x . 
 21m 
 Ta thấy nghiệm x 1 không thuộc (-1; 0). Vậy để phương trình có 
 1 0,5 
 nghiệm trong khoảng (-1; 0) suy ra : 10 
 21m 
 1
 10
 21m m 0 
 0,5 
 2m 1 0
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (-1 ;0) khi và chỉ khi m 0. 
4 Cho phương trình (m là tham số) có 2 nghiệm 
 thỏa mãn điều kiện xx12 10 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 . 
 Bài làm 
 8 0,5 
 Để phương trình có nghiệm: (m 3)22 m 3 m 1 0 m 
 9
 x x 2( m 3)
 Theo viet: 12 
 2 0,5 
 x12 x m 31 m 
 Ta có m 2 
 22
 x 2( m 3) x 2 m 3 m 1 0 0,5 
 +) x1 x 2 ( x 1 x 2 ) m m 7 
xx1, 2
 8
 +) Lập bảng biến thiên của hàm số f( m ) m2 m 7 trên [ ;2] ta được 
A x1( x 2 1) x 2 9
 0,5 
 32 3 13 1
 giá trị lớn nhất của A = 9 khi xm = 32, x giá 3 tr xị nh 2ỏ nh x ất 1 A = 0 khi m 
 2 2
5 
 Giải phương trình: 
 Bài làm 
 Điều kiện: x 1. 
 x3 3 x ( x 1) 2 x 1 3 0 
 3 3
 x x x 1 2 x 1 2 x x 1 0 0,5 
 x x2 x 1 2 x 1 x 1 x 0 
 x 1 x x x 1 x 2 x 1 0 
 2
 x 1 x 2 x 1 x 0 
 xx 1 0,5 
 xx 2 1 0
 x 0
 2 15 
 xx 1 x 
 2 0,5 
 x 0
 x 2 2 2
 2
 41 xx 
 15 
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm xx 2 2 2; . 0,5 
 2 6 2
 4 x 8 y y 7 x 1(*)
 Giải hệ phương trình 
 2
 2 x y 6 y 2 x 4 x y 1
 Bài làm: 
 y 1 0,5 
 Điều kiện: 
 04 x
 2 x y 2 6 y 2 x 4 x y 1 
 242624x22 xy y y x x y 12(1) x y 
 2[x22 2( x y 1)( y 1)] x y 12( x y 1) 0,5 
 2(y 1 x ) ( x y 1)2 0 
 yx 1 
 Thay vào phương trình (*) ta được: 
 (*)( x2 33) x x 14 x x 2 x 70 
 2 11
 xx 3 3 1 0 0,5 
 x 1 4 x x 2 x 7
 11 
 xx2 3 3 0 ,  1 0, x [0;4] 
 x 1 4 x x 2 x 7 
 3 21
 x 
 2
 3 21
 xl ()
 2
 ABC 0,5 
 3 21
 x 
 2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
 5 21
 y 
 2
7 Cho tam giác . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc 
 đoạn AM sao cho AI = 3IM. Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K 
 thẳng hàng. 
 Bài làm 
 Đặt AB a; AC b và AK t AC 
 Khi đó: BK a tb 
 3 3 11 0,5 
 Ta có: AI AM = AB BM ; BM BC AC AB 
 4 4 44 
 93
 AI a b 
 16 16
 93 73
 Mà BI AI AB a b a = ab 0,5 
 16 16 16 16
 Để 3 điểm B,I,K thẳng hàng thì 
 73 0,5 
 m: BK mBI a tb a b 
 16 16 7m 16
 1 m 
 16 7
 33m
 tt 0,5 
 16 7
 3 3
 Suy ra: AK AC . Vậy điểm K thuộc đoạn AC sao cho AK AC . 
 7 7
8 Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng. Bạn An gọi chúng là . Bạn Bình 
 gọi là ( có thể cùng là một điểm hoặc không). Tính tổng vectơ 
 Bài làm 
 Lấy điểm O bất kỳ. Khi đó : 
 1,0 
 AB1 1 AB 2 2 ... ABn n AOAO 1 2 ... AOOBOB n 1 2 ... OB n 
 Vì AAABBB1, 2 ,...,nn  1 , 2 ,...,  nên 
 OB1 OB 2 ... OBnn OA 1 OA 2 ... OA 
 Do đó : 1,0 
 ABABAB1 1 2 2 ... nn 0 . 
 Cho tam giác với . Xác định trực tâm H của tam 
 giác 
 Bài làm : 
 AH.0 BC 0,5 
 Giả sử H(;) x y . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có 
 BH.0 AC 
 AAA12, ,..., n
 Ta có : AHBBB12, ,..., x 1;n y ABii 3, ; BH x 2; y 5 
 0,5 
ABABAB1 1 BC 2 2 ... 2; 5nn ; AC 5;3 
 9 ABC ABC( 1; 3), (2;5), (4;0)
 2 xy 1 5 3 0
 Ta có hệ phương trình : 0,5 
 ABC. 5 xy 2 3 5 0
 164 
 x 
 2xy 5 13 a2 b31 2 b 2 c 2 c 2 a 2 32
 5xy 3 25 15
 y 
 31
 164 15
 Vậy điểm H ; 
 31 31
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
 10 
 Chứng minh rằng: 
Bài làm: 
Đặt x a2 b 2;; y b 2 c 2 z c 2 a 2 khi đó x, y , z 0 và ta có 
 x y z 32 0,5 
Ta có : x2 y 2 z 2 2 a 2 b 2 c 2 
Do đó ta được : 
 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2
abc2 ;; 2 2 
 2 2 2
 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : b c 2( b2 c 2 ) 2 y 2 
 a2 x 2 y 2 z 2
Suy ra : 
 bc 22y
 b2 x 2 y 2 z 2 c 2 x 2 y 2 z 2
Tương tự ta cũng có : ; 
 c a2zx 2 a b 2 2 0,5 
Do đó : 
 a222222 b c xyzyxyzzxyzx 222 222 
b c c a a b 2y 2 2 2 z 2 2 2 x 2 2
 12 2 2 1 1 1 x y z
 ()x y z 
 2 2 x y z 2
 0,5 
 12 1 1 1
 (x y z ) 3 
 62 x y z
 1 1 1 1
= (x y z )( x y z ) 3 
 62 x y z
 9.3 2 3
 3 
 62 2 0,5 
Vậy bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí a=b=c=1 
 a2 b 2 c 2 3
 b c c a a b 2