Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 35

đề toán chọn chuyên toán Lam Sơn (20)
Câu 1: (1điểm)
Cho 	
CMR: 
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau sao cho:
 nguyên dương
Câu 3: (2,5 điểm)
a) Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có 4 nghiệm phân biệt
b) Giải phương trình:
Câu 4: (1,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
	A = x2y(4-x-y)	với x³0; y³0; x+yÊ6
Câu 5: (3 điểm)
Cho DABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác trong góc A cắt (O) tại D. Một đường tròn (L) thay đổi nhưng luôn đi qua A, D cắt AB, AC tại điểm thứ hai lần lượt tại M, N.
a) CMR: BM = CN
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN
c) Tìm vị trí của (L) sao cho MN ngắn nhất.
Đáp án tóan chuyên Lam Sơn
Câu 1:
x4-x3+x-1=(x2-1)(x2-x+1)
x4-x3-x-1=(x2-1)(x2+x+1)
x5-x4+x3-x2+x-1=(x-1)(x4+x2+1)=(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Câu 2: Quy đồng mẫu số ta có:
 A.abc=ab+bc+ca+a+b+c (1)
ta có a, b, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ
* Nếu abc lẻ ị a, b, c cùng lẻ
* Nếu abc chẵn ị ít nhất 1 trong các số a, b, c chẵn. Không mất tính tổng quát, giả sử a là chẵn:
Từ (1) ị bc+b+c chẵn
mà bc+b+c = (b+1)(c+1) -1 ị (b+1)(c+1) lẻ
ị b+1; c+1 lẻ ị b,c chẵn
Vậy a, b, c cùng chẵn, hoặc cùng lẻ
Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c 
* Với a ³ 3 ị b ³ 5; c ³ 7
Với a=2:b³4;c³6
ị(a,b,c)=(2,4,14) và các hoán vị của nó là nghiệm
Với a = 1 thì b ³ 3; c ³ 5
ị (a,b,c) = (1,3,7) và các hoán vị của nó cũng là nghiệm
KL:
(a,b,c)=(1,3,7) và các hoán vị của nó là nghiệm
(a,b,c)=(2,4,14) và các hoán vị của nó cũng là nghiệm
Câu 3:
a)	(x2-1)(x+3)(x+5)=m	(1)
Û	(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)=m
Û	(x2+4x-5)(x2+4x+3)=m
Đặt 	x2+4x+4=(x+2)2=y³0
 (1) Û (y-9)(y-1)=m
Û y2-10y+9-m=0 (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt
b) Giải phơng trình:	 (3)
ĐK: x³1
Đặt:	ị	a3+b2=8
(3) 
Giải (4): thoã mãn điều kiện b ³ 0
KL: Vậy phơng trình có 3 nghiệm là
x1=10;x2=1;x3=17 
Câu 4:
a) Giá trị lớn nhất
Khi x+y³4 thì AÊ0
Xét: x+y<4 thì :
Đẳng thức xảy ra khi:	
Vậy Amax = 4 khi x=2;y=1
b) Giá trị nhỏ nhất:
* Nếu: x+yÊ4 thì A³0
* Nếu x+y>4 thì 
Mà x+yÊ6 nên 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy Amin = - 64 khi 
Câu 5:
a) Xét DBMD và DCND:
+. BD=CD (vì AD là phân giác góc A)
+. sđ cung AD
A1+D1=sđ cung AB +sđ cung BD
 =sđ cung AD 
=
Trong (L), vì A1 = A2 DM = DN
 BMD = CND BM = CN.
b). Gọi I là trung điểm BC I cố định
Vẽ hình bình hành: IBMM’, ICNN’ MM’NN’ là hình bình hành.
 K là trung điểm M’N’
Vì IM’ = BM = CN = IN’ IM’=IN’
 IK là phân giác của M’IN’
Do IM’, IN’ cố định
Vậy: Quỹ tích K là đờng phân giác M’IN’
c) DMN cântại D có MDN = 1800 -BAC = Const
MN ngắn nhất DM nhỏ nhấtDMAB khi AD là đờng kính của (L).