Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn thi: toán thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Mụn thi: Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt
CõuI : (4 điểm):
Cho hàm số y= x3 + 3x2 - 2 (C)
1/ Khảo sỏt và vẽ đồ thị.
2/ Giải bất phương trỡnh : 0 Ê 2006 + 6018x2- 4012 Ê 4012.
3/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2)
CõuII : (2 điểm) Tớnh 
	I=
CõuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trỡnh theo tham số m
Cõu IV: (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
1/	 Sin(p/2 - pcosx)= cos(3pcosx)
2/ 	 6x + 4x = 2.9x
Cõu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giỏc ABC vuụng:
Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1
Cõu VI: (2 điểm): Tớnh giới hạn sau:
Cõu VII: (2 điểm): 	Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 lần lượt cú phương trỡnh là :
d1: x-y+2 = 0 ; d2: x-y-2 = 0
1/ Viết phương trỡnh đường thẳng d3 đi qua điểm A(-2; 0) và vuụng gúc với d2
2/ Viết phương trỡnh đường thẳng d4 sao cho d1, d2, d3, d4 cắt nhau tạo thành một hỡnh vuụng.
Cõu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta cú:
a5+b5 ³ a4b + ab4 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Mụn: Toỏn- Đề 2
(Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Cõu 1: (4 điểm)
	1, (2 điểm)
TXĐ : D = R	(0,25đ)
Chiều biến thiờn:	(0,5đ)
+ y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2),	y' = 0 
+ dấu y':
x
-Ơ
-2
0
+Ơ
y'
+
0
-
0
+
2
+Ơ
y
-Ơ
-2
Với xẻ(-Ơ; -2) ẩ (0; +Ơ) hàm số đồng biến
	 xẻ(-2; 0) hàm số nghịch biến
Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = 2
Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu yCT = -2	 (0,25đ)
Tớnh lồi lừm, điểm uốn.	(0,25đ)
+ y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0 Û x= -1
+ dấu y'':
x
 -Ơ 
-1
 +Ơ
y''
- 
 0
 + 
đ.u
y
Lồi 
(-1,0)
lừm 
Bảng biến thiờn:	(0,25đ)
x
-Ơ
-2
-1
0
+Ơ
y'
+
0
0
+
2
+Ơ
y
(CĐ)
0
(CT)
-Ơ
-2
* Đồ thị: Đồ thị cỏt trục tung tại: (0; -2)
* Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x = 
 Qua điểm (-3; -2); (1; 2)
0,5 đ
2. (1 điểm)
02006 x3 + 6018 x2 - 4012 4012 0 x3 + 3x2 - 2 2	 (*)	 (0,5đ)
theo đồ thị (C) ta cú: (*)x [ -1-; -1 ] [ -1+; 1 ]	 (0,5đ)
3. (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) cú hệ số gúc k:
y+2= k(x- 0) (d) Û y = kx-2	 
(d) là tiếp tuyến của (c) (0,5đ)
 cú nghiệm.	
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
x2(2x+3) = 0	 x = 0, x= - 	(0,25đ)
	* Với x= 0 k= 0 tiếp tuyến là y = - 2
* Với x= - k= - tiếp tuyến là y= - 	(0,25đ)
Cõu 2 (2 điểm).
(1 điểm)
Ta cú I = 
Đặt ex+1 = t (*) đ ex = t-1
exdx = dt
I= 
= 	(0,5đ)
=ln- ln +c =ln +c	
Từ (*) ta cú: I = ln + c = x - ln(ex +1) +c	(0,5đ)
Cõu 3. (2đ) Xột hàm số y= (c)
Ta cú bảng xột dấu	(1đ)
x
- 
 -1
 1
-x-1
 0
x+1
x+1
-x+1
-x+1
 0
x-1
y= 
-2x
2
2x
Nếu
Nếu
Nếu
Khi đú y= 
(0,5đ)
đồ thị (C)
(C)
* Biện luận số nghiệm của phương trỡnh theo m:
 = m (*)	(0,5đ)
ị số nghiệm của phương trỡnh (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng 
y = m
 + Nếu m<2 phương trỡnh vụ nghiệm
 + Nếu m=2 phương trỡnh cú nghiệm [1; 1]
 + Nếu m>2 phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt.
Cõu 4 (4đ)
1. Phương trỡnh tương đương với : 
Cos (cosx) = cos 3cosx	(0,25đ)
(k ) 	(0,5đ)
 	(0,25đ)
Vỡ kZ, nờn:
(1)	(0,25đ)
(2)(**)	(0,25đ)
Từ (*) và (**) ta cú: 	(0,25đ)
Với (k).	 (0,5đ)
Từ (a),(b),(c),(d) ta cú nghiệm của phương trỡnh là : 	 (k) (0,25đ)
2. Phương trỡnh tương đương với
 (1)	(0,5đ)
Đặt t = Điều kiện t > 0.	(0,25đ)
(Loại)
(1) t2 + t -2 = 0 	
Với t = 1 = 1 = 	(0,5đ)
 x=0
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 0.	(0,25đ)
Cõu 5 (2đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
* Nếu CosA = 0 ịABC vuụng tại A.
* Nếu CosB = 0 ịABC vuụng tại B.
(0,25đ)
* Nếu CosC = 0 ị ABC vuụng tại C.
Vậy tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng
Cõu 6. (2đ)
(0,25đ)
(1đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Cõu 7 (2đ)
1. d3 vuụng gúc với d2 nờn cú dạng x+y+c = 0
Vỡ d3 qua A(-2 ; 0) nờn : -2 + 0 + c = 0 c =2	(0,75đ)
2. Vỡ A(-2;0) d1 nờn 
Để d4 và d1, d2, d3 cắt nhau tạo thành một hỡnh vuụng khi và chỉ khi d4//d3 và d(A,d4) = d(A,d2) (*)	(0,5đ)
Do đú d4 cú dạng : x + y + D = 0
(*) 	(0,5đ)
Vậy đường thẳng d4 cú dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0	(0,25đ)
Cõu 8.(2đ)
a5+b5a4b+ab4
 a5+b5- a4b - ab4 0	(0,5đ)
a4(a-b) - b4(a-b) 0
 (a - b)(a4-b4) 0	(0,5đ)
 (a-b)(a2-b2) (a2+b2) 0	(0,25đ)
 (a-b)2(a+b) (a2+b2) 0	(0,5đ)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b	(0,25đ)
-------------------------------------------š&›---------------------------------------------