Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 46

đề thi hsg môn toán 12
(thời gian :180 phút)
Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau Sn = 
Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau 
 (Với a
Câu 3 (2.0 đ) Cho hệ phương trình 
 1/ Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m
 2/ Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tìm m để S = (x2-x1)2+(y2-y1)2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phương trình 
Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm
Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau 
 (với m ,n ,p là ba số nguyên dương cho trước )
Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phương trình sau
 Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ đường cao OH của tứ diện .
Đặt 
Chứng minh rằng 
 Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán kính R ( O nằm trên đường cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp.
 1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều. 
 2/ Cho SC =R. Tính chiều cao hình chóp.
đáp án
(đề thi hsg môn toán 12)
Câu 1 Ap dụng : 
 Do đó nếu đặt 
 có
 do đó 
 Câu 2 
 Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trường hợp sau:
:
Với 
Kl : 
 Câu 3
Hệ pt 
Nhận xét : (1) là pt dường thẳng Dm: x+(y-1).m =0 đi qua điểm cố định A(0;1)
 (2) là pt đường tròn ( C) có tâm I(1/2;0), bán kính R=1/2
 do đó số nghiệm của pt chính là số giao điểm của Dmvà (C)
Tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A chính là OA, (x=0) và dường thẳng AB
Đặt 
Mặt khác , là hoành độ giao điểm của Dm và Ox nên =m
Biện luận
./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất.
./ o<m<4/3 ,hpt có hai nghiệm phân biệt .
./ m4/3, hpt vô nghiệm .
2/ S =M1M22 do đó diện tích S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M1M2 đi qua I
Câu 4
 Đặt thay vào pt được t =x/3 hoặc t= 1-3x
 Giải ra được x=0 
KL : Pt có nghiệm x = 0
Câu 5
Xét hàm số 
Vì
do đó . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k 
 Kết luận :Bpt có nghiệm với m.
Câu 6
Đặt y= sin x ( khi . Ta có 
Câu 7 
Điều kiện :
Bpt đầu của hệ tương đương với :
 Do đ/k (1) chỉ cần xét
Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt do có chu kỳ nên ta chỉ cần tính 
Kl : 
Câu 8
 Dễ thấy H là trực tâm và là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại A1,do đó AA1BC. Vì OA(OBC) nên theo đ/l ba đường vuông góc ,có OA1BC. Ta có 
Xét tam giác vuông OAA1 đỉnh O, có OA2= AH. AA1, từ (1) có 
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,gọi I là tâm của nó ,gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó H, G, I thẳng hàng (đường thẳng Ơle) và HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM và Â=
( với R là bán kính đường tròn ngọài tiếp tam giác ABC)
 Từ (1) và (2) ta có :
C/m tương tự cũng có 
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 9
 Gọi M,N, P là các tiếp điểm của hình cầu với các cạnh AB, BC , CA.Gọi SH là đường cao hình chóp ,O là tâm hình cầu đã cho, khi đó O thuộc SH.Theo định lý ba đường vuông góc , có HMAB(vì OM AB,do hình cầu tiếp xúc AB tại M) Tương tự HNBC, HPAC. Vì OM =ON =OP =R nên HM =HN =HP do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
 Gọi K, E là tiếp điểm hình càu Với SA và SC .Ta có SK SE (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm),do đó KSO=SOE
Lập luận tương tự được SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều.
2/
 Đặt 
Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x
Xét tam giác vuông SAH, có : SA2=SH2+ AH2 nên h2= 8 x2 từ đó 
 R2= h2 –2.h .R
 Thay h2 =8.x2 vào (1) được : 9.h2 –16 
 Từ (2) hoặc (loại, vì h=SH >SO)
 Vậy SH=
Hướng dẫn chấm môn toán 12
 Câu 1 (2,0đ)
 ./ HS biết sử dụng công thức (lnu)/=u’/u (1,0 đ)
 . / Viết được Pn= (0,5đ)
 . / Kl : (0,5 đ)
 Câu 2 ( 2,0 đ)
 Th1 : (0.5 đ)
 Th2: Đặt 
 (1.5 đ)
 Câu 3 (2,0 đ)
 1/ 
 . / Nhận xét được số nghiệm của pt là số giao điểm của Dm và (C) (1.0 đ)
 . / Kl đúng (0.5 đ)
 2 / m = 1 / 2 (0.5 đ)
 Câu 4 (2.0 đ)
 ./ Đặt t= (1.0 đ)
 . / Giải được x = 0 (1.0 đ)
 Câu 5 (2.0 đ)
 . / Đưa được (1.0 đ)
 . / Nx : (0.5 đ)
 . / Kl : m (0.5 đ) 
 Câu 6 (2.0 đ)
 . / Đặt y = sinx ; (0.5 đ)
 . / l = (1.0 đ)
 . / Kl : ... (0.5 đ) 
Câu 7 (2.0 đ) 
 . / đ / k ... (0.5 đ)
 . / Bpt (1 ) (0.5 đ)
 . / Từ đ / k (0.5 đ)
 . / Kl đúng (0.5 đ)
 Câu 8 ( 4,0 đ) 
 Câu 9 (2.0 đ)
 . / Nx : O ( 0,5 đ )
 . / H là tâm đường tròn nội tiếp ( 0.5 đ)
 ./ H là tâm đường tròn ngoại tiếp (0,5 đ)
 . / Kl ... (0,5 đ) 
.................................................................