Đề thi học sinh giỏi khối 12 môn thi: toán

 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 
Đề chính thức
Môn thi: TOÁN (BẢNG A) 
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: 
a) Giải phương trình: 
b) Chứng minh phương trình: x5 – 4x2 – 4x = 1 có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương.
Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
b) Cho các số thực x; y thỏa mãn: 0 < x ≤ y < p
Chứng minh: .
Bài 3: Giải hệ phương trình: 	
Bài 4: 
a) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). Biết (C) có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5; = 900; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4. 
Tìm tọa độ các đỉnh B; C.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(-3;0), C(3;0) 
Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm I thuộc một đường cong cố định.
---------HẾT------------
Họ và tên thí sinh.............................................SBD:.................................
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
Năm học 2006 - 2007
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN (Bảng A)
----------------------------------------------
BÀI
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1: (5,5đ)
a.(2,5đ) - TXĐ: D = [0; +¥). Đặt ³ 0
PT trở thành: (1)
Xét f(t) = với t ³ 0
Có f '(t) = 
Ta có: f '(t) > 0 " t ³ 0, 
Þpt (1) có một nghiệm duy nhất t =.
Vậy pt đã cho có một nghiệm x = 
0.25
0.25
0.25
0.5
0.75
0.25
0.25
b.(3đ): Ta có pt Û x5 = (2x + 1)2
Nếu x là nghiệm thì Þ x5 ³ 0 Þ x5 = (2x + 1)2 ³ 1 Þ x ³ 1
Với x ³ 1 xét f(x) = x5 - 4x2 - 4x - 1
Ta có: f '(x) = 5x4 - 8x - 4; f "(x) = 20x3 - 8 > 0 với " x ³ 1
Þ f '(x) đồng biến trên [1, +¥), mà f '(1) = -7; 
Þ $ x0 Î (1; +¥) để f '(x0) = 0
Ta có bảng biến thiên: 
x
 1 x0 +¥
f'(x)
 - 0 +
f(x)
 +¥
-8
f(x0)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra pt: f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó có giá trị dương Þ đpcm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2:
(6 điểm)
a. (3đ): TXĐ: D = 
Ta có: f '(x) = 3 + = 
Þ f '(x) = 0 Û ; "x Î 
Û Û 
Có f(2) = 8, f(-2) = -8, , 
Þ Max f(x) = 8 khi x = 2; Min f(x) = -8 khi x = -2
0.25
0.5
0.25
1.0
0.5
0.5
b. (3đ) Do 0 0, siny > 0
Bất đẳng thức 
Xét f(t) = với t Î (0; p)
Có f '(t) = 
Xét g(t) = (3t2 - 6)sint - (t3 - 6t)cost với t Î (0; p)
Có g'(t) = t3sint > 0 " t Î (0; p)
Þ g(t) đồng biến trên (0; p) Þ g(t) > g(0) = 0
Þ f'(t) > 0 với " t Î (0; p) Þ f(t) đồng biến trên (0; p)
mà x £ y Þ f(x) £ f(y) suy ra đpcm.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 3:
(3 điểm)
Trường hợp 1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0.
Trường hợp 2: Với x ¹ 0 để hệ có nghiệm thì x > 0, y > 0, z > 0
Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ có:
2x2 = y(1 + x2) ³ 2xy Û x ³ y
3y3 = z(y4 + y2 +1) ³ z.3y2 Û y ³ z (vì y4 + y2 + 1 ³ 3y2)
4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1) ³ x.4z3 Û z ³ x (vì z6 + z4 + z2 + 1 ³ 4z3)
Vậy: x ³ y ³ z ³ x Û x = y = z
Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1
Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 4:
(5,5 đ)
a. (3đ): (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 
Do Þ C đối xứng với A qua I Þ C(0; -4)
có pt đường thẳng AC là: 2x - y - 4 = 0
Có SDABC = 4 Þ khoảng cách từ B đến AC là: d = 
Þ B Î đường thẳng D ¤¤ AC, cách AC một khoảng bằng d
Þ pt của D có dạng: 2x - y + m = 0.
mà D ¤¤ AC Þ khoảng cách từ A đến D bằng d
Vậy 
+ Với m = 0 pt của D: 2x - y = 0 Þ toạ độ B là nghiệm của hệ:
 hoặc 
+ Với m = -8 Pt của D : 2x-y- 8 = 0 Þ toạ độ B là nghiệm của hệ:
 hoặc 
Vậy toạ độ C(0; - 4), toạ độ B là: hoặc (0; 0) hoặc () 
 hoặc (2; -4) hoặc ()
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
 B 0 K H C x
I
A
y
-3
3
b. (2,5đ): Kẻ AH ^ BC, IK ^ BC, đặt AH = h, bán kính đường tròn nội tiếp là r và I(x; y).
Có: h = 3r Û (AB + BC + CA)r = 3BC.r
Û AB + CA = 2BC Û sinC + sinB = 2sinA
Û cotg = 3 (*)
mà cotg
Từ (*) Þ BK.CK = 3IK2 (**)
Do I là tâm đường tròn nội tiếp Þ K thuộc đoạn BC
nên BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK2 = y2
Thay vào (**) ta có: x2 + 3y2 = 9.
Suy ra I thuộc đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
 Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.