Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 20

đề thi Học sinh giỏi lớp 12 
Môn : Toán 
Thời gian: 150 phút
Bài 1: ( 4 điểm )
Cho hàm số Tìm A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách giữa A và B là nhỏ nhất.
Tính tích phân
 ( n = 1; 2;)
Bài 2: ( 4 điểm )
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
Bài 3: ( 4 điểm ) 
1. Giải phương trình: 
2. Giải bất phương trình: 
Bài 4: ( 4 điểm )
1. Chứng minh rằng: Trong mọi ta đều có:
2. Giải phương trình: 
Bài 5: ( 4 điểm )
	Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a. Trên AA1 lấy M, trên BC lấy N. Sao cho đường thẳng qua M ; N cắt D1C1 tại I. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN.
đáp án và thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12
môn toán 
Bài
Nội dung
Điểm
Bài I 
4,0
 I.1
 Do đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng. Nên giả sử điểm A(x0; y0) và điểm B(x1; y1) là hai điểm nằm ở hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số. Thì sẽ có một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 còn điểm kia có hoành độ lớn hơn 1. 
 Giả sử x01.
 Đặt: a>0; b>0 
 =
 = = 
 = = 
 = 
 dấu bằng xảy ra:
Vậy 2 điểm cần tìm là: 
0,5
0,5
0,5
0,5
 I.2
 Có I= 
xét J= Đặt :
 Ta có : 
Do đó: J= (2) thay (2) vào (1) ta được
I=
Vậy I= 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài II
4,0
 II.1
 Đặt (1) ta đi tìm điều kiện của u.
 từ (1) ta có: ux2 - 2x + u =0 (1’) u= 0 khi x= 0
 với u 0. Do (1’) luôn có nghiệm à =1- u2 
 Vậy nếu à 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 
 u2 - mu + 4 = 0 ( 2) với .
 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thoả mãn 
 Xét f(u) = u2 - mx + 4. Ta xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: pt(2) có hai nghiệm u1 ; u2 (u1 u2 ) đều thuộc [-1;1] xảy ra điều đó khi và chỉ khi:
 Không có m
+ Trường hợp 1: pt(2) có 1 nghiệm thuộc khoảng [-1;1] còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] 
 Xảy ra điều đó khi và chỉ khi 
 Vậy với | m | thì phương trình đã cho có nghiệm.
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
BàiIII
4,0
 III.1
 III.2
 Điều kiện 
Chia cả 2 vế của phương trình cho cosx0 ta được
 (1)
 Đặt 
 và tgx+2 = u2 +1 à tgx+3 = u2 + 2
 Thì (1) trở thành 
 3u(u2 + 1)= 5 ( u2 +2) 
 Với u=2 ta được 
 à x= với là cung mà tg= 3
 Xét 
 Tập xác định 
 Có f’(x)= 
 à f(x) là hàm số đồng biến 
Mặt khác ta có 
Vì vậy f(x) < 35 
 Vậy nghiệm của bất phương trình là 
0,25
 0,25
 0,5
 0,5
 0,5
 0,25
 0,5
 0,5
 0,25
BàiIV
4,0
 IV.1
VI.2
 Trước hết ta chứng minh: ln(1+x)
 Xét f(x)= ln(1+x)-x với 
 Có f’(x)=
 hay ln(1+x)à ln(1+x)
 Vì A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nên sin A >0; sinB >0; sinC > 0
Nên: Ln ( 1+ sin A) < sin A (1)
 Ln ( 1+ sin B) < sin B (2)
 Ln ( 1+ sin C) < sin C (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được 
 Ln ( 1+ sin A) + Ln (1+ sin B)+ Ln ( 1+ sin C) < sin A + sin B + sin C
 Ln [(1+ sin A)(1+ sin B)(1+ sin C)] <esin A + sin B + sin C ( a )
Mặt khác trong tam giác ta luôn có: 
 sin A + sin B + sin C)
 Từ đó từ a, ta có 
 (1+ sin A)(1+ sin B)(1+ sin C)
 Tập xác định R: phương trình đã cho tương đương với 
 + Nếu: x - 1 thì VP = x2 +3x+2 > 0
 còn Vậy VT <0. Vậy phương trình vô nghiệm với 
 + Nếu - 2 < x < -1 Thì VP = x2 + 3x +2 < 0
 còn . Vậy VT >0. Vậy phương trình vô nghiệm với 
 + Nếu x=-2 ta có 
 VP = 0 còn VT = Vậy x= -1 là nghiệm 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-2; x=-1. 
0,5
0,5
0,5
 0,5
 0,5
 0,5
 0,5
 0,5
Bài V
4,0
 M 
 D1 I C1 
 A1 B1 N
 D I’ 
 C
 A B 
 + Giả sử ta có M
 gọi I’ là hình chiếu vuông góc của I lên DC .=> I I’ // AM.
 đặt : AM = x; BN = y ( x > 0; BN = y )
 Ta có : MN 2 = AM2 + AN2 ( * ) ( vì tam giác MAN vuông góc tại A)
 áp dụng Pitago cho tam giác vuông ABN có: AN 2 = AB 2 + BN 2 = a2 +y2
 Thay vào (*) ta được MN 2 = AM2 + AN2 = a2 + x2 + y2.
Mặt khác: Do I I’ // AM. Nên theo Talet:
 (a) nhưng I’C // AB => 
 Thay vào (a) ta được: (b)
 Mặt khác MN2=a2 + x2 + y2 ta có:
 MN2=a2 + x2 + y2 = a2 + x2 + y2 + 2xy-2xy= (x+y)2 -2xy + a2
 Theo ( b ) thì : MN2 = (x + y)2 -2axy+ a2 = [( x + y)-a]2
 Do x>0; y>0 theo bất đẳng thức Cô si:
 => x+y-a 4a-a=3a 
 Vậy MN nhỏ nhất bằng 3a
 Dấu bằng xảy ra khi x=y khi đó ta có: 
 x.y= a(x+y) x2 = 2ax => x=2a. 
0,5
0,5
0,5 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5