Đề thi đại học năm 2013 môn: Toán

w
w
w
.k
2p
i.n
et
DIỄNĐÀN TOÁN THPT
www.k2pi.net
ĐỀ SỐ 09
THỬ SỨC TRƯỚCKỲ THI ĐẠI HỌCNĂM 2013
Môn : TOÁN
Thứ 7, ngày 23-02-2013
I. PHẦN CHUNGCHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) :
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x−2
x+1 (C ).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C ) .
2. Tìm trên (C ) những điểmM mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó cắt các đường tiệm cận của (C ) tại hai điểm phân
biệt A,B sao cho tam giác I AB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
5
2
bán kính đường tròn nội tiếp ( I là giao
điểm hai đường tiệm cận ).
Câu II. (2,0 điểm) .
1. Giải phương trình :
sin2x.sinx+ (cosx+1)(cosx+2)
2sin2x+cos2x+2sinx+cosx+1 = 1.
2. Giải hệ phương trình
{ (
x+ y +1)xy = x2+ y2(
x3+ y3)xy − y2 = 4xy2 (4x3y2+x−1)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
pi
2∫
0
x (7−cos2x)+3
cosx+2 dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , OA = 2OB = 2a. Cạnh SO vuông
góc vớimặt phẳng đáy.Mộtmặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB ,SC ,SD lần lượt tại B ′,C ′,D ′
. Gọi M là trung điểm của AB ′. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SM với mặt phẳng (α),
biết ∆B ′C ′D ′ đều.
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y,z thuộc đoạn [1;3] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
T = 25
(
y + z)2
12x2+2012(xy + yz+ zx) ·
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làmmột trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm) .
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C1) : (x−2)2+ (y −3)2 = 45.
Đường tròn (C2) có tâm K (−1;−3) cắt đường tròn (C1) theo một dây cung song song với AC . Biết diện tích tứ giác
AICK bằng 30
p
2 , chu vi tam giác ABC bằng 10
p
10 trong đó I là tâm đường tròn (C1) . Hãy tìm tọa độ điểm B biết
điểm B có hoành độ âm.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tam giác ABC có C (3;2;3) . Phương trình đường cao AH :
x−2
1
= y −3
1
= z−3−2 , phương trình đường phân giác trong BD :
x−1
1
= y −4−2 =
z−3
1
. Tính chu vi tam giác ABC .
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình : 9
(
2x2+4x+5) .3x2+3x = x2+x+3
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm) .
1. Trongmặt phẳng với hệ tọa độĐề-cácOxy cho tamgiác ABC cân tại A, phương trình cạnhbên AC : x+y−3= 0.
Trên tia đối của tia CA lấy điểm E . Phân giác trong gócBAC cắt BE tại D. Đường thẳng d đi qua D song song với
AB cắt BC tại F . Tìm tọa độ giao điểmM của AF và BE biết phương trình đường thẳng AF : 2x+y−5= 0 và I (−1;−3)
là trung điểm của DF .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;0;0),B(0;2;0),C (0;0;2),D(2;2;2) và mặt
cầu (S) : (x−1)2+ (y −2)2+ (z−3)2 = 16 . GọiM là điểm có tọa độ nguyên nằm trong tứ diện. Viết phương trình mặt
phẳng (α) quaM và cắt (S) theo một đường tròn có chu vi bé nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho các số phức z1,z2 thỏa mãn : z1 không phải là số ảo và
(
z1− z1.|z2|2
)
là số ảo ; z2 là số thực
và
(
z2+ z2.|z1|2
)
là số thực. Tính |z1|2012+|z2|2013 .
———————Hết———————
BBT gửi lời cảm ơn tới bạn : Nhung Nguyễn (Nghệ An ) đã gửi đề thi đến diễn đàn.
Dự kiến đề thi thử ĐH số 10 sẽ ramắt vào thứ 7 ngày 09-03-2013 - Thảo luận đề thi tại : www.k2pi.net