Đề thi chọn lựa học sinh giỏi lớp 7 năm học: 2013-2014 môn toán

 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
 Trường THCS Thanh Thùy 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Bài 1 ( 5 điểm) 
 Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A
Cho =. Chứng minh rằng := 
 Bài 2 ( 4 điểm)
 a) Cho ===
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
 A=+++
 b)Chứng minh rằng: 
 B = +++….++< 
Bài 3:(2 điểm)
 Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 - … + 13x2 – 14x + 14
 Tính f(13)
 Bài 4:(7 điểm)
 Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
 a) BE = CF
 b) AE = 
 c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:(2 điểm) 
Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
 M = 
 
Duyệt của tổ chuyên môn
Duyệt của BGH








TRƯỜNG THCS THANH THÙY
 

 ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 7 
 NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề)
TT
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(.5điểm)
1a
Ta có = 24 : 45 : 10
Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z
Theo đề bài ta có x,y,z cùng dấu
Và = 9 = 32

 x2 = 242. 32 = 722 x = 72
 Hs tính tương tự y = 135 ; z = 30
 …. Vậy A = 237 hoặc A = - 237 

0.5





0,5

0.5

1.0
0,5

1b
Ta có = ( 1)
Lại có (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

0.5


0.75

0,25
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có ==== 
 Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
 Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A = 4 
 Vậy A có giá giá trị nguyên

0.5


1,5
0,5

2b
B = +++….++
3B = 1+ +++….+
3B – B = 1 - hay 2B = 1 - 
Suy ra B = < 
Vậy B < 
0.5


0.5


0,5
Bài 3
(2 điểm)

Ta có f(x) = x14–(13+1).x13 +(13+1).x12 - …+(13+1).x2–(13+1).x+(13+1)
 = x14- (x+1).x13 +(x+1).x12 - …+ (x+1).x2 – (x+1).x + (x+1)
 = x14 – x14- x13 + x13 +x12 - … +x3 + x2 – x2 – x + x +1
 = 1
 ( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1
0,5



1,0
0,5

Bài 4
(5 điểm)
4a
 Vẽ hình đúng A 
Kẻ BI song song AC ( I È F)
Chứng minh được 1 2
 
 BIM = CFM (g.c.g) F 
 BI = CF (1) B 
 N M C 
 E	I
 
CM được BEI cân tại B BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0.25




1,0
0,25



1,0
0,5

4b
CM được ANE = AN F (g.c.g)
 AE = A F
Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F
 AE+A F = AB + BE + AC – C F
 Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC)
 AE = 

0.5

0.5

0.75

0,5
 
4c
Từ câu b) AE = 
 Chứng minh được BE = 
Vậy BE = 

0.5

0,75

0,5

Bài 5
(2 điểm)

 M = = 
M nhỏ nhât khi và chỉ khi nhỏ nhất
Xét x 4 thì > 0
Ta chỉ xét x < 4 thì nhỏ nhất lớn nhất 
Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất) 
 Vây x = 3 khi đó Min M = -11



Duyệt của tổ chuyên môn
Duyệt của BGH