Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2018-2019 - Trường THPT Đan Phượng (Có lời giải)

 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: TOÁN 
 Năm học: 2018-2019 
 Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút 
 (Đề thi có 1 trang) (Không kể thời gian giao đề) 
Câu I (6 điểm) 
1) Cho parabol (P ) : y 2 x2 6 x 1; 
Tìm giá trị của k để đường thẳng :y ( k 6) x 1 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt MN, sao 
 3
cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d:2 y x 
 2
2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x2 2( m 1) x m 3 ( m 1) 2 0 có hai nghiệm 
xx12, thỏa mãn điều kiện xx12 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 
 33
P x1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 3 x 2 8 
Câu II (5điểm): 
1) Giải bất phương trình: (x 1)( x 4) 5 x2 5 x 28 ( x R ) 
 22
 x y 2 y 6 2 2 y 3 0
2) Giải hệ phương trình : (;)x y R 
 2 2 2 2
 (x y ) x xy y 3 3 x y 2
 2018 2019
Câu III (2 điểm). Cho xy 0, 0 là những số thay đổi thỏa mãn 1. Tìm giá trị nhỏ 
 xy
nhất của biểu thức P x y 
Câu IV(4 điểm) 
1) Cho tam giác ABC có BC a, AC b diện tích bằng S . 
 1
Tính số đo các góc của tam giác này biết S a22 b 
 4
2) Cho tam giác là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,, CA AB lần lượt lấy 
 aa2
các điểm NMP,, sao cho BN , CM , AP x 0 x a . 
 33
Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM 
Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết 
 1
diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là H ;0 . 
 2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên 
đường thẳng d:5 x y 1 0. 
 ------------------Hết------------------ 
 Trang 1 
 ĐÁP ÁN 
Câu I: 
Câu I 
 Nội dung Điểm 
6 điểm 
 Tìm m... với parabol y 2 x2 6 x 1 
 Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình 
 2x2 6 x 1 4 x 6 x 1 có hai nghiệm phân biệt xx; hay phương trình : 
 12 0.75 
 2 2
 2x kx 2 0 có hai nghiệm phân biệt xx12; có k 16 0 
 Khi đó giao điểm M x1;( k 6) x 1 1, N x 2 ;( k 6) x 2 1 nên trung điểm của 
 0.75 
 x1 x 2( x 6) x 1 1 ( x 6) x 2 1
 đoạn thẳng MN là I ; 
 22
 1
 23 kk2
 k k 2
 Theo định lý Viet ta có xx12 nên I ; 0.75 
 2 42
 3
 Do I thuộc đường thẳng yx 2 nên kk2 8 2 0 hay k 4 3 2 thì 
 2 0.75 
 thỏa mãn bài toán. 
2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số); 
3 điểm 2 3 2
 x 2( m 1) x m ( m 1) 0 (1) có hai nghiệm xx12, thỏa mãn điều kiện 
 xx12 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 
 33
 P x1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 3 x 2 8 
 Phương trình (1) có hai nghiệm xx12, thỏa mãn điều kiện xx12 4 khi 
 2 3 2 3 0.75 
 (m 1) m ( m 1) 0 mm 40 20 m 
 (*) . 
 x12 x 2( m 1) 4 m 3 23 m
 Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : 0.75 
 Trang 2 
 x12 x 2( m 1)
 x x m32 ( m 1)
 12 
 33 3
 Nên Pxxxxxx 1 2 1 2 3 1 3 2 8 xx 1 2 8 xx 1 2 
 8(m 1)3 8 m 3 ( m 1) 2 
 2 2 2 2 0.75 
 83 m 31 m m 2182 m m 5 m 16 m 40 m
 Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện 
 Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2 
 0.75 
 Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m 2 
Câu II 
Câu II Nội dung Điểm 
1. Đk: x 
 0.5 
2 điểm Ta có (1) x22 5 x 28 24 5 x 5 x 28 0 
 Đặt t x2 5 x 28( t 0) 
 0.5 
 Bất phương trình trở thành t2 5 t 24 0 3 t 8 
 So sánh điều kiện ta được 08 t 0.5 
 Với 08 t x2 5 x 28 64 9 x 4 
 0.5 
 KL đúng 
2. 
(3 điểm) 
 ĐKXĐ: y 1,5 
 0.5 
 (2) x3 y 33 x 3 y 3 x 2 y 2 2 ( x 1) 3 ( y 1) 3 
 x 1 y 1 y x 2 0.5 
 Trang 3 
 Thay vào phương trình thứ nhất ta được; 
 22 
 2 11 2xx 1 1 
 x 3 x 1 2 x 1 x 2 x 1 (Có 1.0 
 22 21xx 
 thể bình phương được phương trình: (x 1)22 x 4 x 2 0) 
 Giải hai pt này ta được xx 1, 2 2 . Thử lại nghiệm... 
 1.0 
 KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là (;xy ) (1; 1),(2 2, 2) 
Câu III 
Câu III Nội dung Điểm 
1. 2018 2019
 P () x y 
 xy
2 điểm Có 0.5 
 2018yx 2019
 2018 2019
 xy
 2018y 2019x
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương và ta được 
 x y
 2018yx 2019
 2 2018.2019 0.5 
 xy
 Suy ra P ( 2018 2019)2 
 xy 0; 0
 2 2018 2019
 GTNN của P là ( 2018 2019) khi 10.5 0.5 
 xy
 2018yx 2019
 xy
 x 2018( 2018 2019)
 0,5 
 y 2019( 2019 2018)
 Trang 4 
Câu IV 
Câu IV Nội dung Điểm 
1. 11
 Ta có S a22 b absin C 0,5 
 42
2 điểm 
 a22 b 2 ab sin C 
 0,5 
 (a b )2 2 ab (1 sin C ) 0 (1) 
 Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên 
 a b 00 a b 0,5 
 1 sinCC 0 sin 1
 AB 45
 
 C 90 0,5 
 KL đúng 
1. 1 2 1 0,5 
 Ta có AN AB BN AB () AC AB AB AC 
 3 3 3
 2 điểm 
 1 x
 Ta lại có PM PA AM AC AB 0,5 
 3 a
 2 1 1 x 
 AN PM AN  PM 00 AB AC  AC AB 
 3 3 3 a
 0.5 
 2 2xx22 1
 AB  AC AB AB  AC AC 0 
 9 3aa 3 9
 5xa 2 4
 x . KL đúng 0.5 
 6a 9 15
 Trang 5 
Câu V 
Câu V Nội dung Điểm 
 Gọi E  AH DC 
3 điểm 0.5 
 Dễ thấy HAB HEC SADE S ABCD 14 
 13
 AH , A E 2AH 13 , phương trình tổng quát của đường thẳng AE: 
 2 0.5 
 2xy 3 1 0 
 D d D( d ;5d 1), d 0
 d 2
 1 28 0.5 
 SADE AEdDAE ( , ) 14 dDAE ( , )  30 
 2 13 dL ()
 13
 Suy ra D(2;11) 
 0.5 
 + H là trung điểm AE E( 2; 1) 
 Phương trình tổng quát của CD: 3xy 5 0 0.5 
 Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD 
 PT tổng quát của AB : 3xy 2 0 0.5 
 Trang 6