Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng 1) - Tỉnh Long An

ht
tp
:/
/m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục - Đào Tạo Long An
Ngày thi
14/10/2010
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi lớp 12
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1)
{
3x= y3+ y2+ y
3y= x3+ x2+ x
2)

3x= y3+ y2+ y
3y= z3+ z2+ z
3z= x3+ x2+ x
Bài 2. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi M là điểm tùy ý nằm trên
đường tròn này.
1) Chứng minh: MA2+MB2+MC2 = 6R2.
2) Chứng minh: MA4+MB4+MC4 = 18R4.
3) Thay tam giác ABC đều bằng hình vuông ABCD. Hãy tính P = MA2 +MB2 +MC2 +
MD2; Q=MA4+MB4+MC4+MD4.
Bài 3. Cho số thực α và xét dãy số (xn) với
{
x1 = α
xn+1 = xn2−2xn+2
(n ∈ N∗ ).
1) Với α ∈ (1; 2). Chứng minh 1< xn < 2 với mọi n ∈ N∗ và (xn) là dãy số giảm.
2) Với α ∈ [1;+∞). Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (xn).
Bài 4.
1) Cho a; b; c> 0 và
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
= 3. Chứng minh abc≥ a+b+ c
3
.
2) Cho a; b; c> 0 và
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
= 3. Chứng minh abc≥ a+b+ c
3
.
Bài 5. Trên [0;2pi) xét n ∈N∗ phương trình: cosx= 1; cos2x= 1; cos3x= 1; ...; cosnx= 1. Ta đếm
tất cả các nghiệm của n phương trình trên. Đặt kết quả của phép đếm là T . Ta tính tổng tất cả
các nghiệm của n phương trình trên và đặt kết quả là S.
1) Giải phương trình: cosnx= 1 trên [0; 2pi).
2) Chứng minh: S= (T −n)pi .
——— Hết ———