Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 – 2009 môn thi Toán

Phòng Giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
 Huyện Yên Sơn năm học 2008 – 2009
 Môn thi : toán
 Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )
 Đề này có 01 trang
Bài 1 : ( 10 điểm)
 Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng :
 A = 8a + 3b và B = 5a + 2b 
 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2 : ( 10 điểm)
 Biến đổi thành tích biểu thức ;
 ( x2 - 8 )2 + 36. 
 Từ kết quả trên hãy tìm n ẻ N để ( n2 - 8 )2 + 36 là số nguyên tố.
Bài 3 : ( 10 điểm)
 Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc = 1 . Chứng minh rằng :
Bài 4 : ( 10 điểm)
 Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn . Hãy trục căn thức
 ở mẫu của biểu thức : P = 
Bài 5 : ( 10 điểm)
 Cho ∆ ABC cân tại A và . Gọi D, e theo thứ tự là trung điểm của các 
 cạnh AB và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm M tuỳ ý không trùng với D.
 Trên tia đối của tia ED lấy điểm N sao cho . Hai đường thẳng
 MB và NC cắt nhau tại P . Tính góc .
Phòng Giáo dục và đào tạo Đáp thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
 Huyện Yên Sơn năm học 2008 – 2009
 Môn thi : 
 Thời gian : 150 phút ( Thang điểm 50 )
 Đáp này có 02 trang
Bài 1 : ( 10 điểm)
 Giải : Gọi d là ước chung của hai số A và B .
 Do đó : ( 8a + 3b ) ∶ d và ( 5a + 2b ) ∶ d ị 5( 8a + 3b ) ∶ d và 8( 5a + 2b ) ∶ d 
 ị 5( 8a + 3b ) - 8( 5a + 2b ) ∶ d ị b ∶ d (1)
 Lại có : 2( 8a + 3b ) ∶ d và 3( 5a + 2b ) ∶ d 
 ị 2( 8a + 3b ) - 3( 5a + 2b ) ∶ d ị a ∶ d (2)
 Từ (1) và (2) suy ra : d = ƯC (a,b). Mà (a,b) = 1 ị d = 1 
 ị ƯC ( 8a + 3b , 5a + 2b ) = 1
 Vậy A = ( 8a + 3b ) và B = ( 5a + 2b ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2 : ( 10 điểm)
 Giải : * Ta có ( x2 – 8 )2 + 36 = x4 – 16x2 + 64 + 36 = ( x4 + 100) – 16x2
 = ( x2 + 10)2 – 36x2 = ( x2 – 6x + 10 ) ( x2 + 6x + 10 )
* Theo ý trên ta có : ( n2 – 8 )2 + 36 = ( n2 – 6n + 10 ) ( n2 + 6n + 10 )
 Để ( n2 – 8 )2 + 36 là số nguyên tố điều kiện cần là :
 n2 – 6n + 10 = 1 Û n2 – 6n + 9 = 0 Û ( n – 3 )2 = 0 Û n = 3.
 Thử lại với n = 3 ta được : ( n2 – 8 )2 + 36 = 37 là số nguyên tố.
 vậy với n = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài 3 : ( 10 điểm)
 Giải : * áp dụng bất đẳng thức Cối, ta được :
 Tương tự :
 Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta có :
 Vì : a + b + c = 3 = 3
 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Bài 4 : ( 10 điểm)
 Giải : * Đặt t = ta được 
 Khi đó, biểu thức được viết lại dưới dạng:
 P = = 
 = 
Bài 5 : ( 10 điểm)
 Giải : Từ giả thiết suy ra 
 (1)
 Mặt khác , trong ∆ ADM ta có :
 (2)
 từ (1) và (2) suy ra .
 Xét ∆ NEA và ∆ ADM ta có :
 và Û ∆ NEA đồng dạng ∆ ADM
 Û 
 Û ∆ NEA đồng dạng ∆ BDM vì có thêm ị .
 Khi đó , trong ∆ MNP ta có :