Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 năm học 2016-2017 môn Toán - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Có lời giải)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
 MÔN: TOÁN
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi 
Câu 1: Với (1 3x) 2 4 , ta có:
 5
A) x = - 1 B) x = - 
 3
 5 5
C) x = 1; x = - D) x = -1; x = 
 1 2 3 1 2 3
 x 2
Câu 2 : Biểu thức , ( y 0 ) bằng biểu thức nào sau đây:
 y
 x x
A) B) 
 y y
 x x
C) D) - 
 y y
 12 a 2 2a 1
Câu 3: Rút gọn biểu thức: với a > 1, được kết quả là:
 1 a 4
A) 6 B) - 6 C) 6 (1 – a) D) Một kết qủa khác.
 1 a2 36
Câu 4: Rút gọn biểu thức với a < 1, được kết quả là:
 48 (a 1)2
 1 1
A) B) - 
 8 8
 1 1
C) (1 + a ) D) (1 – a2 )
 8 8
 a b a.b
Câu 5: Rút gọn biểu thức E = với 0 < a < b, được kết quả là:
 a (a-b)2
A) E = b B) E = - b 
C) E = - a b D) E = a b 
 x 2
Câu 6: Cho biểu thức . Điêù kiện xác định của biểu thức là:
 x 2
 3
 65 A) x > 4 B) x > 0 và x 4 
C) x 0 D) x 0 và x 4
Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650 
Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650 gần bằng giá trị nào sau đây 
A) 1cm B) 2cm C) 1,2 cm D) 1,27cm.
Câu 8: Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6.
Kết quả nào sau đây là sai:
 AH
A) cos C = B) cos C = sin HAC 
 AC
 CH
C) cos C = 0,6 D) cos C = 
 AC
II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: (2,0 điểm) 
Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n > 1 không phải là số 
chính phương
Bài 2: (4,0 điểm) 
 y x 1 x y 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 
 xy
Bài 3: (4,0 điểm) 
 x2 yz y2 xz
Chứng minh rằng nếu với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 
 x 1 yz y 1 xz 
 1 1 1
thì x y z 
 x y z
Bài 4: (6,0 điểm) 
Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C 
khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp 
tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M; MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn 
nhất đó theo R. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
 HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
 Môn: Toán
I. PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm. Đúng mỗi câu được 0,5 điểm 
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
 Đáp án D C A C A D D A
II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải 
là số chính phương
 Bài Gợi ý Điểm
 1 n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n4 – n2 + 2n + 2) 0,5
 = n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)] 
 = n2[(n + 1)(n3 – n2 + 2)] 0,5
 = n2(n + 1).[(n3 + 1) – (n2 - 1)] 
 = n2(n+1)2.( n2 – 2n + 2)
 Với n N, n >1 thì n2- 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n – 1)2 0,5
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số 0,5
 chính phương
 2 x 1 y 4
 Với điều kiện x 1, y 4 ta có: M = 
 x y 0,25
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, 0,5
 1 x 1 x 0,5
 Ta có: x 1 1 x 1 
 2 2
 x 1 1
 (vì x dương) 0,5
 x 2
 1 1 4 y 4 y
 Và: y 4 4 y 4  
 2 2 2 4 0,75
 y 4 1
 (vì y dương)
 y 4 0,5
 x 1 y 4 1 1 3
 Suy ra: M = 
 x y 2 4 4 0,5
 3
 Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8
 4 0,5
3 x2 yz y2 xz
 x 1 yz y 1 xz 
 x2 yz y xyz y2 xz x xyz 0,5
 x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 0
 0,5
 x2 y xy2 x3 yz xy3 z x2 z y2 z x2 yz2 xy2 z2 0
 xy x y xyz x2 y2 z x2 y2 xyz2 x y 0 0,5
 2
 x y xy xyz x y z x y xyz 0
 0,5
 xy xyz x y z x y xyz2 0 (vì x y x y 0 )
 0,5
 2
 xy xz yz xyz x y xyz 0,5
 xy xz yz xyz x y xyz2 0,5
 (vì xyz 0 )
 xyz xyz
 1 1 1
 x y z 0,5
 x y z
4 Hình vẽ
 a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng 
 thuộc một đường tròn 
 M
 Chứng minh OI  AC OIC vuông tại 
 C
 I => I thuộc đường tròn đường kính OC.
 I
 CH  AB gt CHO vuông tại H => H K
 thuộc đường tròn đường kính OC. A B
 O H
 => I, H cùng thuộc đường tròn đường kính 1,5
 OC. Hay 4 điểm C, I, H, O cùng thuộc 
 một đường tròn đường kính OC.
 b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) 
 - Chứng minh ·AOM C· OM 
 - Chứng minh AOM COM 1,5
 - Chứng minh MC  CO 
 MC là tiếp tuyến của (O, R)
 c) Chứng minh K là trung điểm của CH 
 MAB có KH // MA ( vì cùng  AB ) KH HB AM.HB AM.HB
 KH (1)
 AM AB AB R
 · ·
Chứng minh CB // MO AOM CBH ( đồng vị) 1,5
 MA AO AM.HB AM.HB
Chứng minh MAO : CHB CH (2)
 CH HB AO R
Từ (1) và (2) CH = 2CK CK = KH K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm 
GTLN đó? 
Chu vi tam giác ACB là: P ACB AB AC CB 2R AC BC 
Ta lại có: 
 AC CB 2 0 AC2 BC2 2AC.BC 2 AC2 BC2 AC CB 2
 1,5
 AC CB 2 AC 2 CB2 AC CB 2AB2 (định lý Pi -Ta - Go)
 AC CB 2.4R2 AC CB 2R 2 
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra P ACB 2R 2R 2 2R 1 2 
Dấu bằng xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy MaxP CAB 2R 1 2 M là điểm chính giữa cung AB