Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2000-2001 môn: Toán bảng A vòng 2

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000 - 2001.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 2. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (2 điểm)
 Cho dãy số (an) , a1 = 1 và . Chứng minh: .
Bài 2: (3 điểm)
	a/ Tìm p Î N* sao cho hệ có nghiệm.
	b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác địng tập hợp tất cả các giá trị của tổng:
	 với ai > 0 và .
Bài 3: (3 điểm) Với hai đường thẳng MN, PQ chéo nhau trong không gian, kí hiệu d(MN,PQ) và (MN,PQ) lần lượt là khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MN, PQ.
a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: 
 d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) 
thì trong ba số: cotg(AB,CD); cotg(AC,BD); cotg(AD,BC) có một số bằng tổng hai số còn lại.
b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: 
 d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) 
 và (AB,CD) = (AC,BD) =(AD,BC) 
 thì nó là hình chóp tam giác đều.
Bài 4: (3 điểm) Tìm số nhỏ nhất trong các cặp tập hợp có giao khác tập Æ trong 2000 tập hợp phân biệt sao cho với 3 tập hợp bất kì trong 2000 tập hợp đó đều có ít nhất một cặp tập hợp có giao khác tập Æ.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
BẢNG A – VÒNG 2.
Bài 1: (2.0 điểm)
 Vậy an > 
.
Suy ra: .
Suy ra: 
Vậy: .
Suy ra: .
Do đó: .
Bài 2: (2.0 điểm)
Câu a (1 đ)
Do: .
p = 4: Khi đó: xi = 1 , i. Vậy hệ có nghiệm.
p = 3: Chọn x1 = 1 và có nghiệm. Nên (x1, x2, x3) là nghiệm của hệ.
p = 2: có nghiệm. Nên (x1, x2) là nghiệm của hệ.
p = 1: Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi p = 2, p = 3, p = 4.
Câu b (2 đ)
Ta có: f(a1, a2, ...,ap) = .
Xét hàm: g(x) = x(1 - x2) , 0 < x < 1; g’(x) = 0 . Ta có:.
Do đó: f(a1, a2, ...,ap) Dấu đẳng thức xảy ra khi: 
p = 2: f(a1,a2) = vì . Dấu đẳng thức xảy ra khi , liên tục trên (0;1).Khi thì . Vậy p = 2, tập giá trị là: 
p = 3: Chọn .Thỏa giả thiết: 
 liên tục trên ; .Vậy tập giá trị là: .
p = 4: f(a1, a2, ...,ap) Chọn thỏa giả thiết: với ; liên tục trên ; . Tập giá trị là: .
Bài 3: (3 điểm)
Câu a ( 2 đ)
C1
A
C
D
B1
D1
A1
Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện AC1BD1B1DA1C.
Giả thiết d(AB,CD) = d(AC,BD)=d(AD,BC)
suy ra các mặt của hình hộp cùng diện tích S.
Đặt a = AB, a1 = CD, AC = b, BC = b1, AD = c,
BC = c1, AD1 = z, AC1 = y, AB1 = x.
Từ hình bình hành AC1BD1 ta có:
B
 a2 + a21 = 2(y2 + z2) ; cos(AB,CD)= 
 cos(AB,CD)= 
Chú ý: S = dtAC1BD1 = a1a.sin(AB,CD). Do đó: cotg(AB,CD) = 
Tương tự: cotg(AC,BD) = ; = 
Nếu x £ y £ z thì cotg(AB,CD) + cotg(AC,BD) + cotg(AD,BC) = cotg(AD,BD).
Các trường hợp khác cũng có kết quả như thế.
Câu b ( 1đ)
Từ các kết quả câu a/ nếu thêm (AB,CD) = (AC,BD) =(AD,BC) 
 thì cotg(AB,CD) = cotg(AC,BD) = cotg(AD,BC) = 0.
Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuông góc đôi một.
Lúc này ta cũng có: 
Suy ra {a, a1}= {b, b1}= {c, c1}. Vì vậy phải có ít nhất một mặt của tứ diện ABCD là một tam giác đều. Từ đó ABCD là hình chóp tam giác đều.
Bài 4: (2 điểm)
Giải tổng quát đối với n tập hợp ( trong bài n = 2000).
Ta có hình biểu diễn (K) của n tập hợp như sau: n tập hợp được biểu diễn bởi n điểm phân biệt trong mặt phẳng ( không có 3 điểm nào thẳng hàng), hai tập hợp có giao khác Æ biểu diễn bởi 1 đường liền nét( __ ) nối với hai điểm biểu diễn, hai tập hợp có giao bằng Æ biểu diễn 1 đường không liền nét ( ---) nối hai điểm biểu diễn.
 Kí hiệu P là tập hợp n điểm, k(n) là số đoạn nối liền nét của một biểu diễn (K) thỏa giả thiết bài toán ( tức là: với 3 điểm bất kỳ của P có ít nhất một đoạn liền nét). Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất d(n) của k(n).
M
N
P
Q
A
B
C
Ta luôn luôn có thể giả thiết rằng : Trong biểu diễn (K) tồn tại hai điểm A, B mà đoạn nối AB là không liền nét. Đặt Q= P\{A,B}, như vậy, Q có n-2 điểm, trong biểu diễn (K) ta bỏ đi đoạn AB và tất cả các đoạn nối với A, nối với B và ta được biểu diễn (K*) của tập Q thỏa điều kiện bài toán. Gọi k(n-2) là số các đoạn liền nét trong biểu diễn (K*).
Lấy CÎQ, suy ra các đoạn CA, CB phải có ít nhất một đoạn liền nét (vì đoạn AB không liền nét). Vì Q có n-2 điểm, nên suy ra : k(n) ³ n-2 + k(n-2) (*).
Công thức truy hồi (*) cho ta : k(n) ³ (n-2) + (n-4) + ... + 4 + k(4) vì n chẵn.
Suy ra : k(n) ³ (n-2) + (n-4) + ... + 4 + d(4) ³ (n-2) + (n-4) + ... + 4 + 2 = (do d(4) = 2).
 Chứng tỏ : Tồn tại d(n) = .
Chọn n tập hợp để có d(n) = như sau : Nhóm X gồm tập hợp giao nhau khác Æ từng đôi một, nhóm Y gồm tập hợp giao nhau khác Æ từng đôi một. Mỗi tập hợp của nhóm này thì không có giao khác Æ với bất kỳ một tập hợp của nhóm kia. Cách chọn trên thỏa giả thiết bài toán.
Số đoạn nối liền nét giữa điểm của X là : (-1) + (-2) + (-3) + ... + 1 = 
Số đoạn nối liền nét giữa n điểm của X và Y là : .
Vậy d(n) = . Thế n = 2000 ta được số cần tìm là: .