Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2000-2001 môn: Toán bảng A vòng 1

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 1. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (2 điểm)
	a/ Chứng minh rằng mỗi phương trình sau đây có một nghiệm thực duy nhất
	cosx = x (1) ; sin(cosx) = x (2) ; cos(sinx) = x (3).
	b/ Gọi a là nghiệm của (1), gọi b là nghiệm của (2), gọi g là nghiệm của (3).
 Chứng minh rằng: g.a.lnb < b.g.lna<a.b.lng.
Bài 2: (2 điểm) Định m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2
	là lớn nhất.
Bài 3: (2 điểm) Cho hình vuông cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó.
Bài 4: (4 điểm) 
	a/ Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
	b/ Tìm m, n Î N* để phương trình: có nghiệm. 
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
BẢNG A – VÒNG 1
Bài 1: (2.0 điểm)
Câu a ( 1đ)
cosx = x Û x – cosx = 0. Xét f(x) = x – cosx. Do -1 £ cosx £ 1 nên chỉ cần xét .
f’(x) = 1 + sinx > 0 nên f đồng biến trên .
f(0) 0.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm và chỉ có một nghiệm.
Các phương trình còn lại chứng minh tương tự.
Câu b ( 1đ)
Nhận xét . Viết lại .
Xét với x Î (0;1). , g đồng biến trên (0;1).
Chứng minh: :
Giả sử b ³ a lúc đó b = sin(cosb) < cosb £ cosa = a vô lý.
Giả sử g £ a lúc đó g = sin(cosg) > cos g ³ cosa = a vô lý.
Vậy ta có: .
Bài 2: (2.0 điểm)
f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 ³ 0, 
f(x,y,z) = 0 Û có nghiệm (x;y;z).
Lấy (2) trừ (1) ta có: (m + 2)y - (m + 2)z + 1 = 0 (4)
Nhân (1) với (2) ta có: 2x - 2y + 2mz + 2 = 0 (5)
Lấy (3) trừ (5) suy ra: 4y - (m + 4)z – 1 = 0 (6)
Từ (4) và (6) suy ra: m(m + 2) ¹ 0 có nghiệm y và z.
Rồi thế vào (1) có nghiệm x. Hệ (1), (2), (3) có nghiệm.
Do đó: khi m ¹ 0 và m ¹ 2 thì mìn(x,y,z) = 0.
Nếu m = -2, khi đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki ta có:
f(x,y,z) = (x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2 
= [12 + (-1)2 + 02][(x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2] ³ (-1)2 = .
Dấu bằng xảy ra khi 
Chọn (x = -1; y = ; z = 0). Vây tồn tại f(-1;;0) = hay khi m = -2 ta có minf(x;y;z) =.
Nếu m = 0, khi đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki ta có:
f(x,y,z) = (x – y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2 
= [02 + 12 + ()2][(x + y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2] ³= .
Dấu bằng xảy ra khi 
Chọn (x = ; y = ; z = 0).Vậy tồn tại f(;;0) = hay khi m = 0 ta có
A
B
C
D
M
N
Q
P
0
x
y
 minf(x;y;z) =.
Kết luận: m = 0 thì giá trị nhỏ nhất của f(x,y,z) là lớn nhất.
Bài 3: (2.0 điểm)
Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh .
Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ 
Oxy sao cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).
Gọi M(x;y) là điểm ở trong hình vuông ABCD, hạ MN,
MP, MQ lần lượt vuông góc với BD, DA, AB tại 
N, P, Q.
Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét 2 cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A)
AB: x – y + 1 = 0, AD: x + y – 1 = 0.
(1) 
M(x;y) ở trong hình vuông nên x – y + 1 > 0, và x + y – 1 < 0.
Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < 0 nên (1) Û x2 – (y– 1)2 =- 2y2 Û x2 + (y+1)2 = 2
Vậy tập hợp các điểm M là cung BD, cung ¼ đường tròn C, bán kính R = .
Từ kết quả trên ta kết luận: Tập hợp các điểm M là 4 cung ¼ đường tròn tâm là các đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh của hình vuông.
Bài 4: (4.0 điểm)
Câu a ( 2 đ)
Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta được:
Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là: 
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a = và nghiệm của hệ là: x = .
Câu b ( 2 đ)
n > 2: |sinnx + cosnx| £ 1 dấu đẳng thức khi x = và |tgx + cotgx|m ³ 1 với x ¹ nên phương trình vô nghiệm.
n = 2: Phương trình trở thành: (tgx + cotgx)m = 1 có nghiệm x0; tgx0 =,"mÎN*.
n = 1: Đặt f(x) = (tgx + cotgx)m – ( sinx + cosx) , x Î(0;).
f liên tục trên (0;). . Gọi x0 Î(0;), tgx0 = , và ta tính được:
f(x0) = 1 – ( sinx0 + cosx0) = 1 – (cosx0 + cosx0) = 1 - cosx0 = 1 - .
Vậy phương trình có nghiệm.
Kết luận: phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: m Î N* và n Î{1,2}.