Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 1998-1999 môn: Toán bảng B vòng 2

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1 (5 điểm)
	Cho phương trình:
	cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0.
	a/ Giải phương trình khi a = .
	b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.
Bài 2 (5 điểm)
	Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
	Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b.
Bài 3 (5 điểm)
	 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
	 y = , (a > 0).
Bài 4 (5 điểm)
 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC.
	a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK.
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau.
	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
 THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999. 
	 MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. 
---------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 5điểm) cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0.
(0.5 đ) + Đặt t = sinx + cosx = 
 cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx)
 vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = và cos3x + sin3x = .
(0.5 đ) + Phương trình (1) trở thành: 
	 + a. = 0 Û t3 – at2 – 3t + a = 0 (2).
 Câu a /
 (1 đ) + Với a = : (2) trở thành: 
	t3 – t2 – 3t + = 0 Û (t +)(t2 - 2t + 1) = 0
 Û (t +)(t - + 1)(t -- 1) = 0
 Û t = - hay t =- 1 hay t =+ 1.
 (1 đ) + so lại điều kiện: | t | £ nên phương trình (1) tương đương với:
 .
 Câu b /
(0.25đ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghiệm 
	 t Î[-; ]
(1.25đ) + f(t) liên tục trên R
 f(-) = - a ; f() = -- a; f(0) = a.
a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 Î [-; ]
a < 0: f(-).f(0) = a(- a) < 0 Þ f(t) = 0 có nghiệm t Î(-;0).
a > 0: f(0).f() = a(-- a) < 0 Þ f(t) = 0 có nghiệm t Î(0;).
(0.25đ) + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a.
Bài 2: ( 5điểm) y = f(x) = x3 + x2 + ax + b
(0.5 đ) + Tập xác định: R.
	y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số D’ = 1 – 3a.
(0.5 đ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và 
 f(x1).f(x2)< 0.
(0.25 đ) + Suy ra: (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0).
(1 đ) + Thực hiện phép chia đa thức ta được:
 f(x) = x3 + x2 + ax + b = .
 Suy ra f(x1) = ; f(x2) = 
(0.5 đ) + f(x1).f(x2) < 0 Þ (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0.
(1 đ) + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0 
 nên x1 + x2 = ; x1.x2 = .
 Do đó: 
 suy ra: 4(3a – 1)(a2 – 3b) + (9b – a)2 < 0
(1 đ) + Vì (9b – a)2 ³ 0 và 3a – 1 0.
(1 â)
Bài 3: ( 5điểm)
+ Tçm tiãûm cáûn âæïng:
 Táûp xaïc âënh: R\{0}.
 x 0+ thç vaì ax 1.
Do âoï : nãn x = 0 laì âæåìng tiãûm cáûn âæïng.
(1 â)
a/+ Xeït træåìng håüp: 0 < a £ 1
 + "xÎ (0; + ¥): 0 < 1 + ax £ 2
 Do âoï: ( vç ) nãn: 
(1 â)
 Do âoï: nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh phaíi.
 + "xÎ (- ¥ ; 0): .
 Do âoï: ( vç ) nãn 
 Do âoï: 
 Suy ra 
 Váûy y = a laì tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi.
(1 â)
b/+ Xeït træåìng håüp a > 1.
 + "xÎ (- ¥; 0) : 0 < 1 + ax < 2
 Do âoï: ( vç ) nãn: 
 Do âoï: nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi.
(1 â)
 + "xÎ (0; + ¥): .
 Do âoï: ( vç ) nãn 
 Do âoï: nãn 
 Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi.
Bài 4: ( 5điểm)
_
D
_
C
_
B
_
A
_
S
_
O
_
K
_
M
_
N
(0.25 â)
 Câu a / (2.5 điểm)
+ Theo giả thiết ta được: SO ^ (ABCD) Þ (SAC) ^ (ABCD).
(0.5 â)
 Mà BK Ì (SAC) và BK ^ AC Þ BK ^ SA.
+ Gọi H là hình chiếu của K xuống SA
	Þ HK ^ SA và HK ^ BK ( vì HK Ì (SAC))
	Þ HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK.
 Suy ra được: BH ^ SA và DHBK vuông tại K.
(0.5 â)
+ Do DABC vuông đỉnh A nên: .
(0.5 â)
(0.5 â)
+ DSAB cân đỉnh S, BH là đường cao nên 
 + Do DHBK vuông tại K nên: 
(0.5 â)
Câu b (2.5 điểm)
(0.5 â)
+ ( vì M là trung điểm của AK)
+ 	
(1.75 â)
+ .
+ Do đó:
Vậy: BM ^ MN.
( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor).bv