Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 1998-1999 môn: Toán bảng A vòng 2

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 2. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1 ( 3 điểm)
 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
	 y = , (a > 0).
Bài 2 ( 5 điểm)
	Định dạng của tam giác ABC, biết rằng:
 và 
Bài 3 ( 6 điểm)
	Cho dãy số (xn). Biết x1 = x2 = 1 và xn + 2 = xn + 1 + .
 a/ Tìm số hạng tổng quát xn ( " n Î N*).
 b/ Xác định tất cả các giá trị của n sao cho xn là số nguyên.
Bài 4 (6 điểm) 
	Trong mặt phẳng cho một đường tròn (C), giả sử tâm của nó chưa được đánh dấu. A là một điểm trong mặt phẳng. Chỉ dùng thước thẳng hãy dựng qua A tiếp tuyến của đường tròn (C). ( Thước thẳng là dụng cụ để vẽ đường thẳng).
--------------------------------------------------------------------
	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
 THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999. 
	 MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 2. 
---------------------------------------------------------------------------------------------
(1 â)
Baìi 1 (3âiãøm)
+ Tçm tiãûm cáûn âæïng:
 Táûp xaïc âënh: R\{0}.
 x 0+ thç vaì ax 1.
(1 â)
Do âoï : nãn x = 0 laì âæåìng tiãûm cáûn âæïng.
a/+ Xeït træåìng håüp: 0 < a £ 1
 + "xÎ (0; + ¥): 0 < 1 + ax £ 2
 Do âoï: ( vç ) nãn: 
 Do âoï: nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh phaíi.
 + "xÎ (- ¥ ; 0): .
 Do âoï: ( vç ) nãn 
 Do âoï: 
 Suy ra 
(1 â)
 Váûy y = a laì tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi.
b/+ Xeït træåìng håüp a > 1.
 + "xÎ (- ¥; 0) : 0 < 1 + ax < 2
 Do âoï: ( vç ) nãn: 
 Do âoï: nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh traïi.
 + "xÎ (0; + ¥): .
 Do âoï: ( vç ) nãn 
 Do âoï: nãn 
 Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi.
Baìi 2 ( 5 âiãøm)
(1 â)
+ 
 Û 
 Û 
 Âàût cos vaì sin.
 (1) tråí thaình: sin(C - j) = cosj Û cosj = cos() 
(2.5 â)
+ Nãúu coï (4) thç k = 0 Þ 
 (vä lyï).
 Váûy tam giaïc ABC vuäng.
+ Màût khaïc: våïi .
 Maì ³ (a + b)2 (5)
 Suy ra: 
 Sæí duûng bäø âãö: (a + b)2 ³ (6) suy ra 
 Theo giaí thiãút: nãn (7) xaíy ra âàóng thæïc tæïc laì : Âàóng thæïc xaíy 
 ra taûi (5) vaì (6) tæïc laì: .
(1 â)
Suy ra tam giaïc ABC cán âènh C. Thæí laûi ta tháúy âuïng våïi giaí thiãút. Váûy DABC laì tam giaïc vuäng cán âènh C. 
+ Chæïng minh bäø âãö:
 Cos3 A + cos3B = ( cosA + cosB)(cos2A+cos2B - cosAcosB)
 = 
 Vç nãn 
 Xeït y = våïi ()
Ta âæåüc vaì khi x = 1.
Baìi3 ( 6 âiãøm)
xn+2 = xn+1 + , "nÎN* .
våïi x1 = x2 = 1; Do âoï nãúu âàût x0 = 0 ta âæåüc: xn+2 = xn+1 + , "nÎN.
(hoàûc khäng cáön âàût nhæ trãn vaì chæïng minh træûc tiãúp)
Cáu a ( 2âiãøm) 
 Tæì âàóng thæïc: xn+2 = xn+1 + Û xn+2 - xn+1 - = 0.
Coï phæång trçnh âàûc træng laì: x2 - x - .
Suy ra 
Våïi x0 = 0, x1 = 1 ta âæåüc: 
Váûy cäng thæïc täøng quaït:
Cáu b (4 âiãøm)
Ta coï: 
(1.5 â)
Vaì 
+ Xeït x2n+1 (nÎN)
 Goüi 
Ta coï: b0 = 2, b1 = 6 vaì bn+1 = 4bn - bn-1 nãn bn+1 º - bn-1 º bn-1 º 2 ( mod 4)
Suy ra bn chia hãút 2 vaì khäng chia hãút 4 ( "nÎN)
Váûy .
(2 â)
Váûy chè coï x1 Î Z.
+ Xeït x2n (nÎN)
Âàût 
Ta coï: a0 = 0, a1 = 2 vaì an+1 = 4an - an-1 nãn an º an-1 ( mod 4)
Do: a1 = 2 nãn a2k+1 chia hãút 2 vaì khäng chia hãút 4.
Xeït f(n)Î N sao cho an chia hãút 2f(n) vaì khäng chia hãút 2f(n)+1
Suy ra: Nãúu n säú leî thç f(n) = 1.
Ta coï: 
nãúu n chàôn (vç C0 = 2)
nãúu n chàôn (vç C1 = 4)
Laûi âàût Cn = ta coï C0 = 2, C1 = 4 vaì Cn = 4Cn-1 2 C n-2, "n = 2, 3, 4,...
Suy ra 
nãúu n chàôn 
nãúu n chàôn 
Maì a2n = an.Cn
Do âoï: f(2n) = 
Giaí sæí: n = 2h.s ( s laì säú tæû nhiãûn leí, h Î N)
Thç f(n) = f(2h.s ) = f(2h - 1.s) + 1 = f(2h - 2.s) + 2 = ...= f(2s) + h -1 = h + 2.
Váûy âãø : 
Váûy: h = 2 Þ n = 4 Þ x8 = 7
 h = 1 Þ n = 2 Þ x4 = 2
(0.5 â)
 h = 0 Þ n = 1 Þ x2 = 1
+ Kãút luáûn: caïc säú x1, x2, x4, x8 laì caïc säú nguyãn.
(1.5 â)
Baìi 4 ( 6 âiãøm)
+ Bäø âãö 1:
 Tæì mäüt âiãø M ngoaìi âæåìng troìn (C) tám O baïn kênh R veî hai tiãúp tuyãún MA, MB. Hai caït tuyãún âi qua M càõt âæåìng troìn PQ, RS, thç giao âiãøm hai âæåìng thàóng SP vaì QR thuäüc âæåìng thàóng AB.
_
K
_
O
_
X
_
Y
_
I
_
J
_
R
_
M
_
A
_
B
_
Q
_
S
_
P
(1.5 â)
Bäø âãö 2: X laì mäüt âiãøm cho træåïc, táûp håüp táút caí caïc âiãøm Y sao cho laì âæåìng thàóng dx vuäng goïc våïi Ox. X, X’, X” thàóng haìng vaì O khäng thuäüc XX’ thç dx, dx’, dx” âäöng quy.
(1.5 â)
Tråí laûi baìi toaïn:
(1.5 â)
a/ Nãúu A khäng thuäüc âæåìng troìn thç sæí duûng bäø âãö 1.
b/ Nãúu A thuäüc âæåìng troìn. Choün B, C sao cho A, B, C thàóng haìng vaì B, C åí ngoaìi âæåìng troìn. Duìng bäø âãö 1 vaì 2 dæûng tiãúp tuyãún BE, BF vaì CG, CH, EF vaì GH càõt nhau taûi T thç AT laì tiãúp tuyãún cáön dæûng.