Đề kiểm tra khảo sát môn Toán Lớp 9 năm học 2018-2019 - Trường Archimedes (Có đáp án)

 Đề kiểm tra khảo sát môn Toán 9 và đáp án Trường Archimedes 
 NĂM HỌC 2018 - 2019 
Đề kiểm tra khảo sát môn Toán 9 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1: Cho biểu thức (2 điểm) 
a. Rút gọn P 
b. Tìm x để 
c. Tìm x để P nguyên. 
Câu 2: (2 điểm) 
Để hoàn thành một công việc theo dự định, cần một đội công nhân làm trong số ngày 
nhất định. Nếu bớt đi 2 công nhân thì cả đội phải mất thêm 2 ngày mới hoàn thành công 
việc. Nếu thêm 4 công nhân thì đội hoàn thành công việc sớm được 3 ngày. Hỏi theo dự 
định cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày. Biết năng suất mỗi đội làm 
việc như nhau? 
Câu 3: (2 điểm) a. Giải hệ phương trình sau b. Cho (P): y 
= 1/2x2 và đường thẳng d: y = x + 4 
 Vẽ đồ thị (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ. 
 Bằng tính toán, hãy tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và d, tính diện tích tam 
 giác OAB. 
Câu 4: (3,5 điểm) 
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB và AC. Gọi H là giao điểm 
của AO và BC, I là giao điểm OA và đường tròn (O), D là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. 
 1. Chứng minh bốn điểm A, O, B, C cùng nằm trên một đường tròn và 
 2. Chứng minh rằng BI là tia phân giác của góc ABC. 
 3. Chứng minh rằng OD2 = OH.OA và OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 
 tiếp tam giác AHD. 
 4. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Từ D kẻ tiếp tuyến của (O) cắt trung trực 
 của đoạn AD ở E. Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng. 
Câu 5: (0,5 điểm) Cho ba số thực không âm a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
Hướng dẫn giải đề kiểm tra khảo sát môn Toán 9 năm học 2018 – 2019 
Câu 1: 
1a. Rút gọn biểu thức P 
1b. 
1c. 
Vì x > 0 nên ⇔ -2 < P < 1 Vì P nguyên nên P = -1 hoặc P = 0 
Giải ra x = ¼ để P nguyên 
Bài 2 
Gọi số công nhân theo dự kiến hoàn thành công việc là x người x>2 
Số ngày hoàn thành công việc là y (ngày) y>3 
Theo dự định số ngày công để hoàn thành công việc là x.y 
Nếu bớt đi 2 công nhân thì cả đội cần thêm 2 ngày nên số ngày công để hoàn thành công 
việc là: (x-2)(y+2) 
Nếu thêm 4 công nhân thì đội hoàn thành công việc sớm được 3 ngày nên số ngày công 
để hoàn thành công việc là: (x+4)(y-3) 
Vậy ta có hệ phương trình: 
 thỏa mãn 
Bài 3 
3a. Giải hệ phương trình 
Điều kiện xác định: x + 2y > 0; x – 2y > 0 
3b. 
Vẽ d: y = x+4 
Bảng giá trị 
X 0 -4 
y 4 0 
Cho (P): y = 1/2x2 và đường thẳng d: y = x + 4 
Nhận xét ½ >0 nên nằm phía trên trục hoành Ox 
Bảng giá trị 
x - - 0 2 4 4 2 
y 8 2 0 2 8 
 Đồ thị 
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 
Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục hoành như hình vẽ: 
Ta có: OH = 2; OK = 4; AH = 2; BK = 8. 
Tứ giác ABKH là hình thang vuông. Ta có: SAOB = SAHKB – SAHO – SBKO = 12 đvdt 
 Câu 4: 
4a 
Ta có: góc AOB = góc ACO = 900 nên bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên đường tròn 
đường kính AO. 
 Góc ACB = góc AOB hai góc nội tiếp cùng chắn một cung. 
4b 
I thuộc AO là trung trực của BC nên góc IBC = góc ICB. 
Vì AB là tiếp tuyến nên góc IBA = góc ICB, góc nội tiêp tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 
cung. 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO ta có: OH.OA = OB2 = OD2 
 Hình vẽ 
4c 
Chứng minh OD là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DHA 
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DHA Ta cần chứng minh: góc OJD = ODH + HDJ = 90o 
Ta có OH/OD = OD/OA Suy ra ΔOHD ∼ ΔODA suy ra góc HDO = HAD 
Mà HJD là tam giác cân tại J, suy ra góc HDJ = 2HDA từ đó góc HDO + HDJ = 90o 
4d 
M, N thuộc trung trực của AH. 
Theo chứng minh ở câu c thì DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O), mặt khác J là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác AHD nên J thuộc trung trực của HA và DH 
E là trung trực của AH nên I trùng với E. Vậy M, N, J thuộc trung trực của AH. 
Vậy M , N , J thẳng hàng. 
Câu 5 
Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 
 (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx 
Thật vậy ta có: (x-y)2 =+ (y-z)2 + (z-x)2 ≥ 0 
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z 
Áp dụng bất đẳng thức trên với x = ab; y = bc; z = ca. 
Ta nhận được: 
 Từ đó ta suy ra P ≤ (a + b + c)2 = 9 
Dấu bằng xảy ra khi a = 3; b = c = 0. 
Tìm min Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: