Chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Các phương trình, bất phương trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a 1 thì:
ax = m x = logam
ax > m 
ax 0 với mọi x R
Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì:
logax = m x = am 
logax > m 
Một số phương pháp giải phương trình, Hệ phương trình 
 Bất PHươNG TRìNH mũ, lôgarit
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với 0 < a 1 thì:
af(x) = ag(x) f(x) = g(x);
af(x) > ag(x) f(x) > g(x) nếu a > 1
 f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
logaf(x) = logag(x) 
logaf(x) > logag(x) ; nếu a > 0
logaf(x) > logag(x) ; nếu 0 < a < 1.
Ví dụ 1. Giải PT: 2x+1 .5x = 2.102x+5 (1)
LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - 5.
Ví dụ 2. Giải PT: log3 (2x+1) - (2)
LG: Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0 
(2) log3(2x+1) = x = 0; x = 2 (Loại)
PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Ví dụ 3. Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3)
LG: Đkiện: 
 (3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 
 4x -20.2x +64 < 0 4 < 2x < 16 2< x < 4. 
Ví dụ 4. Giải BPT: (4)
LG: Do , (4) 
 x1 hoặc -2 x < -1.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 5. Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = 0 (5)
HD: Chia hai vế của PT cho 4x rồi đặt t = 
Ví dụ 6. Giải PT: - = 20 (6)
LG: Đkiện x 0, do phương trình chứa căn, đặt t = 
 (5) t - -20 = 0 t2 – 20t -125 = 0 t = - 5 (L), t = 25 (TM)
t = 25 
Ví dụ 7. Giải BPT: 4x – 2.52x < 10x 
HD: Chia hai vế cho 10x , ta được 
, Đặt t = . BPT 
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2 , (Chú ý do cơ số < 1).
Ví dụ 8. Giải BPT: (8)
HD: Đkiện 0 < x 1/2 và 1
Đặt t = log2x , t 0 (8) ; 
( Chú ý: Giải bằng phương pháp khoảng, không khử mẫu )
Suy ra tập nghiệm của (8) là : 
Chú ý: Dạng 
 nếu (a+)(a- ) =1, nên đặt t = 
	Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), đặt t = 
3) Phương pháp logarit hoá
Ví dụ 9. Giải PT: (9)
LG: Đkiện x -2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có x = 1 hoặc x = -(1+log32).
Ví dụ 10. Giải BPT: (10)
LG: Đkiện x > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5, 
Đặt t = log2x; PT t2 + 4t-5 < 0 -5 < t < 1 -5 < log2x < 1 2-5 < x < 2.
4) Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
Chú ý : a > 1, thì af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0
	0 ab f(x) logab 0<f(x) < b.
Ví dụ 11. Giải PT: 3x = 3 – log5x (11)
LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình (11)
Với x > 1 thì 3x > 31 = 3 và - log5x 3 – log5x.
Với x log51 = 0 3x < 3 – log5x.
Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 12. GPT: 3x + 2x = 3x +2 
LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất)
Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – 3
f’’(x) = 3xln23+2xln22 > 0 với mọi x R hàm số f’(x) đồng biến trên R.
Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0 PT f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0 (-1; 1). Ta có bảng biến thiên sau:
 x - x0 + 
f’(x) - 0 +
 + + 
f(x) 
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không quá 2 nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0; x = 1.
5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit
Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit.
Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 
LG: Đkiện x > 0 và 0 < y 2
(2) 3(1+ log3x) – 3log3y = 3 log3x = log3y x = y. 
Thay x = y vào phương trình (1) ta có phương trình (1) (x-1)(2-x) = 0 x = 1 ; x = 2. Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2). 
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 
LG: Từ PT(2) 2x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta được PT :
y3 -5y2 +4y = 0 y = 0, y = 1, y = 4 
Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4).
6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó)
Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dương của PT:
 HD: Biến đổi PT về dạng: 
Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t . Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = 1 x = 2. 
Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT: (16) (m là tham số)
Giải PT khi m =2.
Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 
HD: Đkiện x > 0, Đặt t = 1 ta có PT t2+t-2m-2 = 0 (*)
(16) có nghiệm thuộc (*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t2+t trên [1; 2] ta được PT (16) có nghiệm m [0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: (17)
HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > 0.
Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) 0 -1 logax 4 a4 x a-1.
Với a > 1, Biến đổi như trên với chú ý cơ số > 1 ta được (logax+1)(logax-4) 0
Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: 
HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , ta có PT: 
Nhân cả hai vế với sau đó biến đổi ta có: [-4t][ -1] = 0 t = 0 x = 1.
Ví dụ 19. Giải PT: (19)
HD: Ta có 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + 3 3 log3(4x2-4x+4) 1, VP 8
	Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8 
 (19) 	 giải hệ ta có nghiệm của PT là x = 
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất:
HD: Đkiện x > -1, y > -1
Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0.
hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1. 
Xét hàm số f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) ĐPCM.
C. Bài tập tổng hợp