Chuyên đề Nhị thức Newtơn

 NHÒ THÖÙC NEWTON
 Nhò thöùc Newton coù daïng : 
 (a + b)n = C anb0 + an-1b1 +  + a0bn
0
n
1
nC
n
nC
 = (n = 0, 1, 2, ) 
n
k n k k
n
k 0
C a b−
=
∑
 Caùc heä soá cuûa caùc luõy thöøa (a + b)n vôùi n laàn löôït laø 0, 1, 2, 3,  ñöôïc saép 
thaønh töøng haøng cuûa tam giaùc sau ñaây, goïi laø tam giaùc Pascal : 
k
nC
(a + b)0 = 1 
(a + b)1 = a + b 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
1 
1 
1 
5 
1 
4 
1 
3 
+ 
10
1 
2 
6 
1 
3 
10 
1 
4 
1 
5 
1 
1 
 Caùc tính chaát cuûa tam giaùc Pascal : 
(i) = = 1 : caùc soá haïng ñaàu vaø cuoái moãi haøng ñeàu laø 1. 0nC
n
nC
(ii) = (0 k n) : caùc soá haïng caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái baèng nhau. knC
n k
nC
− ≤ ≤
(iii) 
 = (0 k knC +
k 1
nC
+ k 1
n 1C
+
+ ≤ ≤ n – 1) : toång 2 soá haïng lieân tieáp ôû haøng treân baèng 
soá haïng ôû giöõa 2 soá haïng ñoù ôû haøng döôùi. 
(iv) 
 +  + = (1 + 1)n = 2n 0nC +
1
nC
n
nC
Caùc tính chaát cuûa nhò thöùc Newton : 
(i) Soá caùc soá haïng trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n + 1. 
(ii) Toång soá muõ cuûa a vaø b trong töøng soá haïng cuûa khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n. 
(iii) Soá haïng thöù k + 1 laø C an – k bk. kn
Daïng 1: 
TRÖÏC TIEÁP KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTON 
1. Khai trieån (ax + b)n vôùi a, b = ± 1, ± 2, ± 3  
 Cho x giaù trò thích hôïp ta chöùng minh ñöôïc ñaúng thöùc veà , , 0nC ,
1
nC
n
nC .
 Hai keát quaû thöôøng duøng 
 (1 + x)n = x + x2 +  + xn = (1) 0nC +
1
nC
2
nC
n
nC
n
k k
n
k 0
C x
=
∑
 (1 – x)n = x + x2 +  + (–1)n xn = (2) 0nC –
1
nC
2
nC
n
nC
n
k k k
n
k 0
( 1) C x
=
−∑
•
Ví duï : Chöùng minh a) 
 +  + = 2n 0nC +
1
nC
n
nC
 b) 
 +  + (–1)n
 = 0 0nC –
1
nC +
2
nC
n
nC
Giaûi 
 a) Vieát laïi ñaúng thöùc (1) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. 
 b) Vieát laïi ñaúng thöùc (2) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh . 
2. Tìm soá haïng ñöùng tröôùc xi (i ñaõ cho) trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa 
moät bieåu thöùc cho saün 
•
Ví duï : Giaû
söû
soá haïng thöù k + 1 cuûa (a + b)n laø an – k bk .Tính soá haïng thöù 13 
trong khai trieån (3 – x)15. 
k
nC
Giaûi 
 Ta coù : 
 (3 – x)15 = 315 – 314x +  + 315 – k .(–x)k +  + – x15
0
15C
1
15C
k
15C
15
15C
 Do k = 0 öùng vôùi soá haïng thöù nhaát neân k = 12 öùng vôùi soá haïng thöù 13 
 Vaäy soá haïng thöù 13 cuûa khai trieån treân laø : 
 31215C
3(–x)12 = 27x12. 15!
12!3!
 = 12.285x12. 
3. Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n
(a, b chöùa x), ta laøm nhö sau : 
 - Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 
 an – k bk =cm. xm. knC
 - Soá haïng ñoäc laäp vôùi x coù tính chaát : m = 0 vaø 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. Giaûi phöông 
trình naøy ta ñöôïc k = k0. Suy ra, soá haïng ñoäc laäp vôùi x laø . 0knC 0
n ka − 0kb
• Ví duï : Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc
18x 4
2 x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Giaûi 
Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 
18 k
k
18
xC
2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
k4
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
k k 18 2k 18 k k
18C 2 .2 .x .x− − − = k 3k 18 18 2k18C 2 .x− −
Soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc coù tính chaát : 
 18 – 2k = 0 ⇔ k = 9 
Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : .29. 918C
4. Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng höõu tæ trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n vôùi a, 
b chöùa caên, ta laøm nhö sau : 
– Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 
 = Kk n k knC a b
−
m n
p qc .d vôùi c, d ∈¤
– Soá haïng höõu tyû coù tính chaát : m
p
∈ N vaø n
q
∈ N vaø 0 ≤ k ≤ n, k N. ∈
 Giaûi heä treân, ta tìm ñöôïc k = k0. Suy ra soá haïng caàn tìm laø : 
 . 0 0k n k knC a b
− 0
•
Ví duï : Tìm soá haïng höõu tyû trong khai trieån nhò thöùc ( )73 16 3+
Giaûi 
 Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 
7 k1
k 3
7C 16
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
k1
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 = 
7 k k
k 3 2
7C .16 .3
−
. 
 Soá haïng höõu tyû trong khai trieån coù tính chaát : 
7 k N
3
k N
2
0 k 7, k N
−⎧ ∈⎪⎪⎪ ∈⎨⎪ ≤ ≤ ∈⎪⎪⎩
 ⇔
− =⎧⎪⎨⎪ ≤ ≤⎩
7 k 3m
k chaün
0 k 7
⇔
k 7 3m (m Z)
k chaün
0 k 7
= − ∈⎧⎪⎨⎪ ≤ ≤⎩
 ⇔ k = 4 
Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : . 4 217C .16.3
Baøi 120. Khai trieån (3x – 1)16. 
 Suy ra 316 – 315 + 314 –  + = 216. 016C
1
16C
2
16C
16
16C
Giaûi 
Ta coù : (3x – 1)16 = 
16
16 i i i
16
i 0
(3x) ( 1) .C−
=
−∑
 = (3x)16 – (3x)15 + (3x)14 +  + . 016C
1
16C
2
16C
16
16C
 Choïn x = 1 ta ñöôïc : 
 216 = 316 – 315 + 314 –  + . 016C
1
16C
2
16C
16
16C
Baøi 121. Chöùng minh : 
a) n 0 n 1 1 n 2 2 n nn n n n2 C 2 C 2 C ... C 3
− −+ + + + =
b) . n 0 n 1 1 n 2 2 n n nn n n n3 C 3 C 3 C ... ( 1) C 2
− −− + + + − =
Giaûi 
a) Ta coù : (x + 1)n = . 0 n 1 n 1 nn nC x C x ... C
−+ + + n
n
n
n
)
 Choïn x = 2 ta ñöôïc : 
 3n = . 0 n 1 n 1 nn nC 2 C 2 ... C
−+ + +
b) Ta coù : (x – 1)n = . 0 n 1 n 1 n nn nC x C x ... ( 1) C
−− + + −
 Choïn x = 3 ta ñöôïc : 
 2n = . n 0 n 1 1 n 2 2 n nn n n3 C 3 C 3 C ... ( 1) C
− −− + + + −
Baøi 122. Chöùng minh : ; 
n 1
k n 1
n
k 1
C 2(2 1
− −
=
= −∑ n k kn
k 0
C ( 1) 0
=
− =∑ . 
Giaûi 
 Ta coù : (1 + x)n = (*) 
n
0 1 2 2 n n k k
n n n n n
k 0
C C x C x ... C x C x
=
+ + + + =∑
 Choïn x = 1 ta ñöôïc 
 2n = 
n
k 0 1 2 n 1
n n n n n
k 0
C C C C ... C C−
=
n
n= + + + + +∑
 2n = ⇔ 1 2 n 1n n n1 C C ... C 1−+ + + + +
 2n – 2 = ⇔
n 1
k
n
k 1
C
−
=
∑
 Trong bieåu thöùc (*) choïn x = – 1 ta ñöôïc 0 = 
n
k k
n
k 0
C ( 1)
=
−∑ . 
Baøi 123. Chöùng minh : 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 2 (2 1)
−+ + + + = +
Giaûi 
 Ta coù : (1 + x)2n = (1) 0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x ... C x C x
− −+ + + + +
 (1 – x)2n = (2) 0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x ... C x C x
− −− + + − +
 Laáy (1) + (2) ta ñöôïc : 
 (1 + x)2n + (1 – x)2n = 2 0 2 2 2n 2n2n 2n 2nC C x ... C x⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
 Choïn x = 3 ta ñöôïc : 
 42n + (–2)2n = 2 0 2 2 2n 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
 ⇔
4n 2n2 2
2
+ = 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + + 2n
 ⇔
2n 2n2 (2 1)
2
+ = 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + + 2n
) 2n = ⇔ 2n 1 2n2 (2 1− + 0 2 2 2n2n 2n 2nC C 3 ... C 3+ + +
Baøi 124. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x5 trong khai trieån bieåu thöùc sau ñaây thaønh ña thöùc : 
 f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7. 
Giaûi 
 Ta coù : (2x + 1)4 = 
4
i 4
4
i 0
C (2x) i−
=
∑ ; (2x + 1)5 = 5 i 55
i 0
C (2x) i−
=
∑
 (2x + 1)6 = 
6
i 6
6
i 0
C (2x) i−
=
∑ ; (2x + 1)7 = 7 i 77
i 0
C (2x) i−
=
∑
 Vaäy soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)4 laø 0. 
 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)5 laø . 0 55C (2x)
 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)6 laø . 1 56C (2x)
 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)7 laø . 2 57C (2x)
 Do ñoù heä soá caàn tìm laø = 0 + + + 0 55C 2
1 5
6C 2
2 5
7C 2
 = = 28 1 26 7(1 C C )2+ + 5 × 32 = 896. 
Baøi 125. Tìm soá haïng chöùa x8 trong khai trieån 
n
5
3
1 x
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟
+
 bieát raèng 
 = 7(n + 3). n 1 nn 4 n 3C C
+
+ −
+
Giaûi 
 Ta coù : = 7(n + 3) (vôùi n n 1 nn 4 n 3C C
+
+ − ∈ N) 
 ⇔ ( )
(n 4)! (n 3)!
3! n 1 ! 3!n!
+ +−+ = 7(n + 3) 
 ⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1)
6 6
+ + + + + +− = 7(n + 3) 
 ⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 
 ⇔ (n2 + 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42 
 ⇔ 3n = 36 
 ⇔ n = 12. 
 Ta coù : 
12 5 112 12 36 i5 i 3 12 i i i2 2
12 123
i 0 i 0
1 x C (x ) .(x ) C x
x
− +− −
= =
⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑
1
 Yeâu caàu baøi toaùn –36 + ⇔ 11i
2
 = 8 (vôùi i ∈ N vaø 0 ≤ i 12) ≤
 ⇔ 11i
2
 = 44 ⇔ i = 8 (thoûa ñieàu kieän). 
 Vaäy soá haïng chöùa x8 laø 
8
8 8
12
12!xC x
8!4!
= = 812 11 10 9 x
4 3 2
× × ×
× × = 495x
8. 
Baøi 126. Bieát raèng toång caùc heä soá cuûa khai trieån (x2 + 1)n baèng 1024. Haõy tìm heä soá a 
cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån ñoù. 
Giaûi 
 Ta coù : (x2 + 1)n = 0 2 n 1 2 n 1 i 2 n i nn n nC (x ) C (x ) ... C (x ) ... C
− −
n+ + + + +
 Theo giaû thieát baøi toaùn, ta ñöôïc 
 = 1024 0 1 in n nC C ... C ... C+ + + + + nn
 2n = 1024 = 210⇔ ⇔ n = 10 
 Ñeå tìm heä soá a ñöùng tröôùc x12 ta phaûi coù 
 2(n – i) = 12 ⇔ 10 – i = 6 ⇔ i = 4 
 Vaäy a = 410
10! 10 9 8 7C
4!6! 4 3 2
× × ×= = × × = 210. 
Baøi 127. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x4 trong khai trieån (1 + x + 3x2)10. 
Giaûi 
 Ta coù : 
 (1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10
 = 0 1 2 2 2 3 3 310 10 10 10C C x(1 3x) C x (1 3x) C x (1 3x)+ + + + + + + 
 4 4 4 10 1010 10C x (1 3x) ... C (1 3x)+ + + +
 Heä soá ñöùng tröôùc x4 trong khai trieån chæ coù trong , , 
 ñoù laø : 
2 2 2
10C x (1 3x)+ 3 3 310C x (1 3x)+
4 4 4
10C x (1 3x)+
2 3 4
10 10 10
10! 10! 10!C 9 C 9 C 9. 9
8!2! 3!7! 6!4!
+ + = + +
 = 405 + 1080 + 210 = 1695. 
Baøi 128. Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån [1 + x2(1 – x
Giaûi 
+
+
g chöùa x g kh i trieån treân chæ coù trong vaø 
Vaäy heä soá cuûa x8 laø : + = 238. 
Baøi 129. Cho 
)]8. 
 Ta coù : 
 [1 + x2(1 – x)]8 = 0 1 2 2 4 28 8 8C C x (1 x) C x (1 x)+ − + −
 3 6 3 4 8 4 5 10 5 6 12 68 8 8 8 C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x)+ − + − + − + −
 7 14 7 8 16 88 8 C x (1 x) C x (1 x)+ − + −
Soá haïn 8 tron a 3 6 38C x (1 x)− 4 8 48C x (1 x)−
ñoù laø 3 6 28C x .3x vaø 
4
8C
8x
3
83C
4
8C
nxx 1
322 2
− −⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
 = 
n n 1 xx 1 x 1
0 1 32 2
n nC 2 C 2 2 ..
−− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
.+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 +  + 
n 1 nx xx 1
n 1 n3 32
n n⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C 2 2 C 2
−− − −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ +
⎝ ⎠
 . 
⎝ ⎠
 Bieát vaø soá haïng thöù tö baèng 20n.raèng 3 1n nC 5C= Tìm n vaø x. 
(ñieàu kieän n 
Giaûi 
Ta coù : 3 1n nC 5C= ∈ N vaø n ≥ 3) 
 ⇔ n(n 1)(n 2)⇔ ( ) ( )
n! n!5
!
= 
6
− − = 5n 
3! n 3 ! n 1− −
 n2 – 3n ⇔ (n – 1)(n – 2) = 30 ⇔ – 28 = 0 
 (loaïi do n 3) ⇔ n = 7 ∨ n = –4 ≥ ⇔ n = 7 
 Ta coù : a4 = 20n = 140 
 ⇔
34 xx 1
3 32
7C 2 . 2
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ x 27! 2⎜ ⎟ ⎝ ⎠
 = 140 
⎝ ⎠ 3!4!
− = 140 
 2x – 2 = 22⇔ ⇔ x – 2 = 2 ⇔ x = 4. 
Baøi 130. Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån 
121x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
Giaûi 
 Ta coù : 
121x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
i
0 12 1 11 i 12 i 12
12 12 12 12 12
1 1C x C x ... C x ... C
x x
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
x
 Ñeå soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù 
i
12 i 1x
x
− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = x
0⇔ x12 – 2i = x0 ⇔ 12 – 2i = 0 ⇔ i = 6 
 Vaäy soá haïng caàn tìm laø : 612
12! 12 11 10 9 8 7C
6!6! 6 5 4 3 2
× × × × ×= = × × × × = 924. 
Baøi 131. Tìm soá haïng khoâng chöùa x (vôùi x > 0) trong khai trieån 
7
3
4
1x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Giaûi 
 Ta coù : 
7
3
4
1x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
71 1
3 4x x
−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
 = 
1 1 11 1
0 7 1 6 i 7 i i 73 3 34 4
7 7 7 7C (x ) C (x ) (x ) ... C (x ) (x ) ... C (x )
− −−+ + + + +
1
74
−
 Ñeå tìm soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù 
 1 1(7 i) i
3 4
− − = 0 ⇔ 4(7 – i ) – 3i = 0 ⇔ 28 – 7i = 0 
 ⇔ i = 4 
 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø C = 47
7! 7 6 5 35.
4!3! 3 2
× ×= =×
Baøi 132. Trong khai trieån 
n28
3 15x x x
−⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟
9
 haõy tìm soá haïng khoâng phuï thuoäc x bieát 
raèng . 
n n 1 n 2
n n nC C C 7
− −+ + =
Giaûi 
 Ta coù : 
n n 1 n 2
n n nC C C 7
− −+ + = 9
 ⇔ ( ) ( )
n! n!1 79
n 1 ! 2! n 2 !
+ +− − = ⇔
( )n n 1n 78
2
−+ =
 n 2 + n – 156 = 0 ⇔ ⇔ n = –13 n = 12 ∨
 Do n ∈ N neân n = 12. 
 Ta coù : 
12 1228 4 28
3 15 3 15x x x x x
− −⎛ ⎞ ⎛+ = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
 = 
12 i4 2812 12i 1i i3 15
12 12
i 0 i 0
C x .x C x
−
− −
= =
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
166 i
5
 Yeâu caàu baøi toaùn 16 – ⇔ 16 i 0
5
= ⇔ i = 5 
 Vaäy soá haïng caàn tìm 512
12!C 792.
5!7!
= =
Baøi 133. Trong khai trieån sau ñaây coù bao nhieâu soá haïng höõu tæ: ( )12443 5−
Giaûi 
 Ta coù : ( ) 1241 11244 2 43 5 3 5⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
124 k1 1124
k k2 4
124
k 0
C 3 .( 5 )
−
=
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑
 = 
k k124 62k k 2 4
124
k 0
( 1) C 3 .5
−
=
−∑
 Soá haïng thöù k laø höõu tæ 
k62 N
2
k N
4
k N
0 k 124
⎧ − ∈⎪⎪⎪ ∈⎨⎪ ∈⎪⎪ ≤ ≤⎩
 ⇔
≤ ≤⎧⎪⎨ ∈⎪⎩
0 k 124
k N
4
⇔
∈⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ =⎩
i N
0 k 124
k 4i
⇔
i N
0 i 31
k 4i
∈⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ =⎩
 ⇔ i ∈ { }0,1,...,31
 Do ñoù trong khai trieån treân coù 32 soá haïng höõu tæ. 
Baøi 134∗ . Goïi a3n -3 laø heä soá cuûa x3n-3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa 
(x2 + 1) n . (x + 2)n. 
 Tìm n ñeå a3n-3 = 26n. 
Giaûi 
 Ta coù : ( x2 + 1 )n . (x + 2)n = 
n
i 2 n
n
i 0
C (x ) i−
=
∑ . n k n k kn
k 0
C x .2−
=
∑
 = 
n n
i k k 3n 2i k
n n
i 0 k 0
C C 2 .x − −
= =
∑ ∑
 Do yeâu caàu baøi toaùn neân 3n – 3 = 3n – (2i + k) 
 ⇒ 2i + k = 3 
 Do i, k ∈ N vaø i, k ∈ [0, n] neân i 0
k 3
=⎧⎨ =⎩ hay 
i 1
k 1
=⎧⎨ =⎩
 Vaäy a3n – 3 = + = 26n 0 3 3n nC C 2
1 1 1
n nC C 2
 8 . ⇔ ( )
n!
3! n 3 !− + 2n
2 = 26n 
⇔ 4
3
n(n – 1)(n – 2) + 2n2 = 26n 
 2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39 ⇔ ⇔ 2n2 – 3n – 35 = 0 
 n = 5 n = ⇔ ∨ 7
2
− (loaïi do n ∈ N) ⇔ n = 5. 
Baøi 135*. Trong khai trieån 
101 2 x
3 3
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
 a0 + a1x +  + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) Haõy tìm soá haïng ak lôùn nhaát. 
Giaûi 
 Ta coù : 
101 2 x
3 3
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
10
10
1 (1 2x)
3
+ = 
10
k k
1010
k 0
1 C (2x)
3 =
∑
 Do ñoù : ak = k k1010
1 C 2
3
 Ta coù : ak ñaït max ⇒ k k
k k
a a
a a
1
1
−
+
≥⎧⎨ ≥⎩
⇔
k k k 1 k 1
10 10
k k k 1 k 1
10 10
C 2 C 2
C 2 C 2
− −
+ +
⎧ ≥⎪⎨ ≥⎪⎩
⇔ ( ) ( )
( ) ( )
k k 1
k k 1
2 10! 2 .10!
k! 10 k ! (k 1)! 11 k !
2 10! 2 .10!
k! 10 k ! (k 1)! 9 k !
−
+
⎧ ≥⎪ − − −⎪⎨⎪ ≥⎪ − + −⎩
⇔
2 1
k 11 k
1 2
10 k k 1
⎧ ≥⎪⎪ −⎨⎪ ≥⎪ − +⎩
⇔ 19 22k
3 3
≤ ≤
 Do k ∈ N vaø k ∈ [0, 10] neân k = 7.Hieån nhieân ak taêng khi k ∈ [0, 7], vaø ak giaûm 
khi k ∈ [7, 10]. 
 Vaäy max ak = a7 = 
7
7
1010
2 C
3
. 
Daïng 2: 
ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ 
CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC 
– Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. 
– Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . 
– Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. 
Chuù yù : 
• Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k knC ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a 
+ x)n..
• Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) knC ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa 
khai trieån (a + x)n.
Baøi 136. Chöùng minh : 
a) 1 2n nC 2C 3C
3 n n 1
n n... nC n2
−+ +
1 2 3 n 1 n
n n nC 2C 3C .
−− + −
n 1 1 n 1 2
n n n n2 C 2 C 3.2 C ... ( 1) nC n
− −− + − + − =
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n nC a C a x C a x ... C x
− −+ + + +
1 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n n 1
n n n na 2C a x 3C a x ... nC x
+ + =
b) n.. ( 1) nC 0+ − =
n 3 3 n 1 n− −c) . 
Giaûi 
 Ta coù nhò thöùc 
 (a + x)n = . 
 Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : 
 n(a + x)n-1 = C − − − −+ + + +
1 2 3 n n 1
n n n nC 2C 3C ... nC n2
a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 
 −+ + + + =
b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc : 
 1 2 3 n 1 nn n n nC 2C 3C ... ( 1) nC 0
−− + − + − =
c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 
 . n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 1 n2 C 2 C 3.2 C ... ( 1) nC n− − − −− + − + −n n n n =
Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 +  + a100x100 . Tính : 
a) a97
b) S = a0 + a1 +  + a100
c) M = a1 + 2a2 + 3a3 +  + 100a100
0 k k 100 100
100 100 100 100( x) ... C x− + +
3 97( 1)−
Giaûi 
 Ta coù : 
 (x – 2)100 = (2 – x)100
 = C 2100 1 99 k 100C 2 .x ... C 2 −− + +
a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. 
 Vaäy a97 = 97100C 2
 = –8. 100 = !
3!97!
8 100 99 98
6
− × × ×
f (x)′
f (x)′
≥
//f (1)
 = – 1 293 600 
b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 +  + a100x100 
 Choïn x = 1 ta ñöôïc 
 S = a0 + a1 + a2 +  + a100 = (–1)100 = 1. 
c) Ta coù : = a1 + 2a2x + 3a3x2 +  + 100a100x99
 Maët khaùc f(x) = (x – 2)100
 ⇒ = 100(x – 2)99
 Vaäy 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 +  + 100a100x99
 Choïn x = 1 ta ñöôïc 
 M = a1 + 2a2 +  + 100a100 = 100(–1)99 = –100. 
Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n 2. 
a) Tính 
 b) Chöùng minh 
 2 3 4 nn n n n2.1.C 3.2.C 4.3.C ... n(n 1)C n(n 1)2
n 2−+ + + + − = − . 
Giaûi 
⇒
// (x n – 2 
) thöùc Newt
 f(x) = nx
⇒ f (x)′ 2 2 3 3 4 n 1 nn3x C 4x C ... nx C−+ + + +
n 2 n
nn(n 1)x C
−+ −
 a) T ù : f(x + x)na co ) = (1
 = n(1 + x)n – 1 f (x)′
 ⇒ f = n(n – 1)(1 + x))
 Vaäy //f (1) = n(n – 1)2n – 2 . 
b Do khai trieån nhò on 
 (1 + x)n = 0C C+ 1 2 2 3 3 4 4 nn n n n n nx C x C x C x ... C+ + + + +
 = n(1 + x)n - 1 = 1n nC 2xC+ n n
)n - 2 = 2 3 2 4n n n2C 6xC 12x C ...+ + +⇒ f (x)′′ = n(n – 1)(1 + x
 Choïn x = 1 ta ñöôïc 
n – 2 = 2 3 4 nn n n n2C 6C 12C ... n(n 1)C+ + + + − . n(n – 1)2
. Chöùng minh 
 n 1 1 n 1 2n n2 C 2 C 3
− −+ +
1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n
n n n nC 2 x C 2 x C 2 x ... C x
− − −+ + + +
 ha c 
1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 n 1 n
n n n nC 2 2xC 2 3x C 2 ... nx C
− − − −+ + + +
n x ôïc 
n 1 1 n 1 2 3 n 3 n
n n n n2 C 2 C 3C 2 ... nC
− − −+ + + + . 
Baøi 140. Chöùng minh 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1n n n nC 3 2C 3 3C 3 ... nC n4
− − − −+ + + + = . 
Baøi 139
n 3 3 n 4 4 n
n n n.2 C 4.2 C ... nC
− −+ + + = n 1n3 − . 
Giaûi 
 Ta coù : 
 (2 + x)n = 0 nnC 2 +
 Ñaïo øm 2 veá ta ñöôï
 n(2 + x)n – 1 = 
 Choï = 1 ta ñö
 n3n – 1 =
Giaûi 
n n n n
 ha
x) n n 1n... nC x
 Ta coù : 
 (3 + x)n = 0 nnC 3 + 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n nC 3 x C 3 x C 3 x ... C x− − −+ + + +
 Ñaïo øm 2 veá ta ñöôïc 
 n(3 + n – 1 = 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3n n nC 3 2xC 3 3x C 3
− − −+ + −+ +
h
1 = 1 n 1 2 n 2 3 n 3 nn n n nC 3 2C 3 3C 3 ... n
− − −+ + + + . 
Baøi 141. Tính A = 1 2 3 4 n 1C 2C 3C 4C ... ( 1) nC−− + − + + −
 C oïn x = 1 
 ⇒ n4n – C
n
nn n n n
n n n
n1) C x−
ña ñöôïc 
n n n 1
n... ( 1) nC x
Giaûi 
 Ta coù : 
 (1 – x )n = 0 1n nC C x C− + 2 2 3 3x C x−n n ... (+ +
 Laáy ïo haøm hai veá ta
 –n(1 – x)n – 1 = 1 2 2 3n n nC 2xC 3x C
−− + − + + −
n x ta coù : 
C 2+
öùn nh vôùi 
 Choï = 1 
 0 = − 1 2 3 n nn n n nC 3C ... ( 1) nC− + + −
 ⇒ A = 1 2 3n n nC 2C 3C ... ( 1− + + + − n 1 nn) nC 0− =
Baøi 142. Ch g mi n ∈ N vaø n > 2 
1 2 3 n
n n n
1 (C 2C 3C ... n!
n
+ + + + (*) 
Giaûi 
n n
n... x C+
ña eá ta ñöôïc : 
 1 = 1 2 n 1 nn n nC 2xC ... nx C
−+ + +
n x
2n – 1 = 1 2 nn nC 2C nC+ +
nnC ) <
 Ta coù : (1 + x)n = 0 1 2 2n n nC xC x C+ + +
 Laáy ïo haøm theo x hai v
 n(1 + x)n –
 Choï = 1 ta ñöôïc 
 n n ...+
 Vaäy (*) ⇔ n 11 (n.2 )− < n! ⇔ 2n – 1 < n! 
n
(**) 
u = 22 < 3! = 6 
û ! > 2k – 1 
k – 1 
 k – 1 k do k > 3 neân k + 1 > 4 ) 
 Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp 
 (**) ñ ùng khi n = 3. Thaät vaäy 4
 G ö (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : kiaû s
 Vaäy (k + 1)k! > (k + 1)2
⇔ (k + 1)! > 2 . 2 = 2 (
 Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1. 
n – 1 Keát luaän : 2 2. 
Baøi 143. 
a) 
Chöùng minh 
2 3 n 2
n n n1.2C 2.3C ... (n 1)nC n(n 1)2
n−+ + + − = −
b) 2 3 n 2 nn n n1.2C 2.3C ... ( 1) (n 1)nC 0
−− + + − − =
c) n 1 2 n 2 n 2n n2 C 3.2 C 1)3
− − −−
d) n 1 2 n 2 3 nn2 C 3.2 C 3.4.2
− −− +
 Ta coù nhò thöùc 
 n nnC x+ . 
 2n
3 n 4 4 n
n n3.4.2 C ... (n 1)nC n(n
−+ + + + − =
4 4 n 2 n
n nC ... ( 1) (n 1)nC n(n 1)
− −− + − − = − . n
Giaûi 
(a + x)n = 0 n 1 n 1 2 n 2 2nC a C a x C a x ...
− −+ + +n n
Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : 
2 n 2 3 n 3n(n – 1)(a + x) = n nn n1.2C a 2.3C a x ... (n 1)nC x
n – 2 − − −+ + + −
Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 
n n 2
n n n1.2C 2.3C ... (n 1)nC n(n 1)2
a) 
2 3 −+ + + − = −
Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 
 n 2 nn n n1.2C 2.3C ... ( 1) (n 1)nC 0
−− + + − − =
c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : 
 n 2 2 n 3 3 n n 2n n1.2.2 C 2.3.2 C ... (n 1)nC n(n 1)3
− − −+ + + − = −
n 4 4 n n 2
n n n n2 C 3.2 C 3.4.2 C ... (n 1)nC n(n 1)3
− −+ + + + − = −
d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 
b) 
2 3
n
n 1 2 n 2 3− − ⇔ 
 nn 2 2 n 3 3 n 4 4 n 2 nn n n n1.2.2 C 2.3.2 C 3.4.2 C ... ( 1) (n 1)nC n( 1)
− − − −− + − + − − = −
− . 
aø
+ . 
b) 0 1 nn n3C 4C ... ( 1) (n− + + −
 ⇔ n 1 2n2 C 3− − n 2 3 n 4 4 n 2 nn n n.2 C 3.4.2 C ... ( 1) (n 1)nC n(n 1)− − −+ − + − − =
B i 144. Chöùng minh : 
a) n)0 1 n n 1n n n3C 4C ... (n 3)C 2 (6
−+ + + + =
n
n3)C 0+ = . 
Giaûi 
n
n
 ñöôïc : 
1 n 1 4 2 n 2 5 n n 3
nC a x C a x ... C x
 Ta coù nhò thöùc (a + x)n = 0 nC 1 n 1 2 n 2 2 nn n na C a x C a x ... C x
− −+ + + +
 Nhaân 2 veá vôùi x3, ta
 x3(a + x)n = 0 n 3nC a x n n
− − + . 
1 n 1 3 n n 2
na x ... (n 3)C x
+ + + +
 Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 
 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 0 n 2n n3C a x 4C
− ++ + + + . 
a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 
n n n 1 n 1
n3)C 3.2 n2 2 (6 n)
− −= + = + . 
a = , x = –1, ta ñöôïc : 
n n
n) (n 3)C 0+ = . 
-- ------------- 
Daïng 
TÍCH PH ON ÑEÅ 
ÄT ÑAÚNG THÖÙC 
 + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] 
c ñaúng thöùc caàn chöùng minh. 
öùa 
a) Vôùi 
 0 1n n3C 4C ... (n+ + + +
b) Vôùi 1
 0 1n n3C 4C ... ( 1− + + −
--------------------------
3: 
AÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWT
CHÖÙNG MINH MO
 + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. 
ta seõ ñöôï
Chuù yù : 
• Caàn chöùng minh ñaúng thöùc ch
k
nC
k 1
 ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá +
trong khai trieån cuûa (a + x)n. 
• Caàn chöùn minh ña g thg ún öùc chöùa 1
k m 1+ +
k
nC ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp 
g khai trieån cu xm(a + x)n. 
Baøi 145. Cho n N vaø n 2. 
a) Tính I = 
b) Chöùng minh : 
hai veá tron ûa 
∈ ≥
1 2 3 n
0
x (1 x ) dx+∫
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2C C C 1C
3 6 9 n 1) 3(n 1)
+ −...
3(
+ + + =+ + . +
Giaûi 
 a) Ta coù : I = 
1
x ( = 2 3 n1 x ) dx+
0∫ 13
1 3 n 3
0
(1 x ) d(x 1)+ +∫
 I = 
13 n 11 (1 x+
3
.
0
⎥⎦
 = )
+ ⎤
n 1+
n 12 1
3(n 1)
+1 ⎡ ⎤−⎣ ⎦+ . 
b Ta coù : (1 + x3)n = 0 1 3 2 6n n nC C x C x ... C+ + + +) 
n 2 n
nC
n 3n
nx
 + x3)n = 2 0 5 1 8 2 3n n nx C x C x C ... x+ + + + ⇒ x2(1 +
 = 
Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 
 I
13 6 9 3n 3
0 1 2
n n n
0
x x x xC C C ...
3 6 9 3n 3
+⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦
 Vaäy : 
+ −n 1 22 1 1= + + + ++ +
0 1 n
n n n n
1 1 1C C C ... C
3(n 1) 3 6 9 3n 3
Baøi 146. 
n 12 1
n 1
+ −
+Chöùng minh 
k
n
k 1
 = 
n C
+∑k 0=
Giaûi 
 Ta coù : (1 + x)n = 0 1 2 2 n nn n n nC C x C x ... C x+ + + +
 Vaäy 
1 n
0
(1 x) dx+∫ = ( )1 0 1 2 2 n nn n n n0 C C x C x ... C x dx+ + + +∫
⇔ 
1
0
x)
n 1
+⎢ ⎥+⎣ ⎦
 = 
n 1(1 +⎡ ⎤ 12 3 n 10 1 2 n
n n n n
0
x x xC x C C ... C
2 3 n 1
+⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦
⇔ 
n 12 1
n 1
+ −
+
0 1 2
n n n
1 1 1C C C ... C
2 3 n 1
+ + + + + = 
n
n
⇔ 
n 12 1
n 1
+ −
+ = 
kn
n
k 0
C
k 1= +∑
2 3 n 1
n1... C− . 0 1 2n n n2 1 2 1 2C C C2 3 n 1
+− −+ + + + +Baøi 147. Tính : n
 Giaûi 
 Ta coù : (1 + x)n = 0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x+ + + + +
 Vaäy 
2
1
(1∫ n dx = x)+ ( )2 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 C C x C x C x ... C x+ + + + +∫ dx
⇔
2n 1(1 x)
1
+⎡ ⎤+
n 1⎢ ⎥+⎣ ⎦
 = 
22 3 4 n 1
0 1 2 3 n
n n n n n
x x x xC x C C C ... C
1n 1
+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦
⇔
2 3 4
+ + + + +
n 1 n 13 2+ +
n 1 n 1+ +− =
2 21 1 20 2 1 2 2 3 n n 1
n 1
C [x] C x C x ... C x
n 1
+1
n 1 n n1 12 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +
⇔
n 1 n 13 2+ +− = 
n 1+
2 3 n 1
1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1C C ... C
2 3 n 1
+−0C − −+ ++ + +
Chöùng minh : Baøi 148. 
n n( 1)0 2 1 3 2 n 1 n
n n n
1 1 ( 1) 12C 2 .C 2 .C ... 2 C
2 3 n 1 n 1
+−
n
+− + + + =+ +
−
d
Giaûi 
 Ta coù : (1 – x)n C = C0 1 2 2 n n nn n n nx C x ... ( 1) C x− + + + −
 Vaäy
2 n
0
(1 x)−∫ x = ( )nx dx2 0 1 2 2 n nn n n n0 C C x C x ... ( 1) C− + + + −∫
⇔ 
2n 1
0
(1 x)
n 1
+⎡ ⎤−−⎢ ⎥+⎣ ⎦
 =
23 n n 1
0 2 1 2 n
n n n n
0
1 x ( 1) xC x x C C ... C
2 3 n 1
+⎡ ⎤−− + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦
⇔ 
n 1( 1)
n 1
+− −− + = 
1 2 3 n n 10 1 2 n
n n n n
2 2 ( 1) 22C C C ...
2 3 n 1
+−− + + + + C
⇔
n1 ( 1)+ − = 
2 3 n n 1
0 1 2 n
n n n n
2 2 ( 1) 22C C C ... C
2 3 n 1
+−− + + + +n 1+
Baøi 149. Chöùng minh : 
a) 
n
n 0 n 1 1 n
n n n
1 1 (( 1) C ( 1) C ... C
2 n 1 n
− 1)
1
−− + − + + =+ +
0 1 n n
n n n
1 1C C ... ( 1) C− + + − = . b) 1
2 n 1 n 1+ +
 = 
Giaûi 
höùc Ta coù nhò t
(a + x) 1 nan = 0 nn nC a C
1 2 n 2 2 n n
n nx C a x ... C x
− −+ + + + . 
Vaäy : ∫1 n(a x) dx+0 ( )1 0 n 1 n 1 n nn n n0 C a C a x ... C x dx−+ + +∫
⇔
1n 1(a x) ++ = 
0n 1+
1
0 n 1 n 1 2 n n 1
n n n
0
1 1C a x C a x ... C x
2 n 1
− +⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠
⇔
n 1 n 1(a 1) a+ ++ − = 
n 1+
0 n 1 n 1 n
n n n
1 1C a C a ... C
2 n 1
−+ + + + . 
a) ôùi a = –1 , ta ñV öôïc : 
+
− − − −− + − + + = =+ + +n n2 n 1 n 1 n
n 1 n
n 1 1 n1 1 ( 1) ( 1)) C ... C
1
) 
 Vaäy (a x) dx+∫ = 
n 0 ( 1n( 1) C
b Ta coù nhò thöùc 
 (a + x) +n = 0 nC a
1 n−
1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n nC a x C a x ... C x
− −+ + + . 
(
0
)nC a C a x ... C x dx+ + +∫ 1 0 n 1 n 1 n n− −n n0
1n 1
⇔
0n 1+
 = (a x)
−++ 1n n 1
n
0
1 1... C x
2 n 1
−
− +⎛ ⎞+⎜ ⎟+
0 n 1 n 1 2
n nC a x C a x+ +⎝ ⎠
⇔
n 1 n 1(a 1) a+ +− − = 
n 1+
0 n 1 n 1 n 1 n
n n n
1 1C a C a ... ( 1) C
2 n 1
− +− + − + − + . 
a = 1, ta ñöôïc : 
 Vôùi 
0 1 n 1 n
n n n
1 1 1C C ... ( 1) C
2 n 1 n
+ −− + − + − =
1+ + . 
⇔ 0 1 n nn n n1 1 1C C ... ( 1) C2 n 1 n 1− + + − = + . +
Baøi 150. Tính 
 Ruùt goïn S = 
1 19
0
x(1 x) dx−∫
0 1 2 18 19
19 19
1 1C C−19 19 191 1 1C C C ...2 3 4 20 21− + + +
iaûi 
• ⇒ dt = –dx
 Ñoåi caän 
G
Ñaët t = 1 – x 
x 0 1 
t 1 
 I = 
0
 =