Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 
1. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 2xdx d x d x a d a x= = ± = − − 6. ( ) ( ) ( )2 cot cot cotsin
dx d x d x a d a x
x
= − = − ± = − 
2. ( ) ( ) ( )2 3 3 31 1 13 3 3x dx d x d x a d a x= = ± = − − 7. ( ) ( ) ( )2dx d x d x a d a xx = = ± = − − 
3. sin (cos ) (cos ) ( cos )x dx d x d x a d a x= − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( )x x x xe dx d e d e a d a e= = ± = − − 
4. cos (sin ) (sin ) ( sin )x dx d x d x a d a x= = ± = − − 9. ( ) ( ) ( )ln ln lndx d x d x a d a x
x
= = ± = − − 
5. ( ) ( ) ( )2 tan tan tancos
dx d x d x a d a x
x
= = ± = − − 10. ( ) ( )1 1dx d ax b d b ax
a a
= + = − − 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 21
xI dx
x
=
+∫ b) 
2 10
2 (1 )I x x dx= +∫ c) 
2
3 3 1
x dxI
x
=
+
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )
( )
2
2 21 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du d u
u
  
= = = ±  
  

=
Ta có 
( ) ( ) ( )
2 2
(ln ) ln 2
1 12 2 2
11 1 1 ln 1 .
2 2 21 1 1
du d u u C
u
d x d xxI dx I x C
x x x
= = ++
= = = ←→ = + +
+ + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )2 2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+
  
= = = ±  
  

 
=   + 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
112
10 102 2 2
2
111 1 1 .
2 22
x
I x x dx x d x C
+
= + = + + = +∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức vi phân 
( )
( )
3
2 31
3 3
2
x
x dx d d x a
du d u
u
  
= = ±  
  


=
Ta có 
( ) ( )3 32 3
3 3 3 3
1 11 2 2 1
.
3 3 31 1 2 1
d x d xx dx xI C
x x x
+ + +
= = = = +
+ + +
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 24 1I x x dx= −∫ b) 5 2 1
dxI
x
=
−
∫ c) 6 5 2I x dx= −∫ 
Tài liệu tham khảo: 
02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )2 2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d a x
u
u du d
n
+
  
= = = − −  
  

 
=   + 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
321 1
2 2 2 2 22 2
4
11 11 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +∫ ∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )
( )
1 1
ax ax
2
dx d b d b
a a
du d u
u

= + = − −

 =

Ta có ( ) ( ) ( )25 52 1 2 11 2 1 .22 1 2 1 2 2 1
du d u
u
d x d xdxI I x C
x x x
=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −

   =  
 + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 2
26
5 22 5 21 1 15 2 5 2 2 5 2 5 2 . .
2 2 2 3 3
xx
I x dx x d x x d x C C
−
−
⇒ = − = − = − − − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 
3
7 5 4
2
5
xI dx
x
=
−
∫ b) 8 5(3 2 )
dxI
x
=
−
∫ c) 
3
9
ln xI dx
x
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
( ) ( )43 4 4
1
1 1
4 4 4
1
n
n
x
x dx d d x a d a x
du ud
nu
− +
  
= = ± = − −  
  

 
=  
− + 
( ) ( ) ( ) ( )
4
4 444 5513
4 45
7 5 54 4
5 55 542 1 12 5 5 . .
2 2 4 85 5
xd
xxxI dx x d x C C
x x
−
 
 
−
− ⇒ = = = − − = + = +
− −
∫ ∫ ∫ 
b) Ta có ( ) ( ) ( )
6
5
8 5
3 21 3 2 3 2 .(3 2 ) 2 12
xdxI x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫ 
c) Sử dụng công thức vi phân ( )lndx d x
x
= ta được ( )
3 4
3
9
ln lnln ln .
4
x xI dx x d x C
x
= = = +∫ ∫ 
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )10 2010
3
4 2
dxI
x
=
−
∫ b) 11
cos xI dx
x
= ∫ c) 12 cos sinI x x dx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Ta có ( ) ( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10 2010 2009
4 23 3 3 34 2 4 2 .
2 2 20094 2 4018 4 2
xdxI x d x C C
x x
−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
( )
( )
cos sin
2
u du d u
dx d x
x
 =


=

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
Ta có ( )11 cos cos2 2 os 2sin .2x xI dx dx c x d x x Cx x= = = = +∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức vi phân ( )( )
cos sin
sin x cos
u du d u
dx d x
 =

= −
Ta có ( ) ( ) ( )
3
31 2
212
2 cos 2 cos
cos sin cos cos .
3 3
x xI x x dx x d x C= = − = − = − +∫ ∫ 
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 313 sin cosI x x dx= ∫ b) 14 5
sin
cos
xI dx
x
= ∫ c) 415 sin cosI x xdx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức vi phân ( )( )
sin cos
cos sin
u du d u
x dx d x
 = −

=
Ta có ( ) ( ) ( )
1 4
3 3
43
3 41 343 33 13
3 sinx 3 sin
sin cos sinx sin
4 4
u du d u
xI x x dx d x I C C
 
 =
 
 
= = ←→ = + = +∫ ∫ 
b) Ta có ( )
4
14 5 5 4
cossin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
xx d xI dx C C
x x x
−
= = − = − + = +
−
∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức vi phân 
( )
1
cos sin
1
n
n
x dx d x
u
u du d
n
+
 =

 
=   + 
Khi đó ta được ( )
5
4 5
54 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d xI x x dx x d x I C
 
=   
 
= = ←→ = +∫ ∫ 
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 16 tanxI dx= ∫ b) 17 sin 4 cos 4I x x dx= ∫ c) 18
sin
1 3cos
x dxI
x
=
+∫
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức 
sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C
u
= −


= +∫
Ta có ( )16 cossintan ln cos .
cos cos
d xxdxI x dx x C
x x
= = = − = − +∫ ∫ ∫ 
b) Ta có ( ) ( )17 1 1sin 4 cos 4 sin 4 cos4 4 sin 4 sin 44 4I x x dx x x d x x d x= = =∫ ∫ ∫ 
( )3 322 sin 41 sin 4
. .
4 3 6
x xC C= + = + 
c) Ta có ( ) ( )18 cos 3cos 1sin 1 1 ln 1 3cos .1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d xx dxI x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +∫ ∫ ∫
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )19 2
2cos
2 5sin
x dxI
x
=
−
∫ b) 20
cos
4sin x 3
x dxI =
−
∫ c) ( )21 tan .ln cosI x x dx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng công thức vi phân 
2
cos (sin x)
1
xdx d
du d
uu
=

  
= − 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )19 2 2 2
2 sin 2 5sin2cos 2 2
.
5 5 2 5sin2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d xx dxI C
xx x x
−
⇒ = = = − = +
−
− − −
∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
b) Sử dụng công thức vi phân ( )
cos (sin x)
2
xdx d
du d u
u
=


=

Ta được ( ) ( ) ( )20 sin 4sin 4sin 3cos 1 1 1 4sin x 3 .4 2 24sin x 3 4sin x 3 4sin x 3 2 4sin x 3
d x d x d xxdxI C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
( )
2
cossin
tan ln cos
cos cos
2
d xxdx
xdx x C
x x
u
u du C

= = − = − +


= +
∫ ∫ ∫
∫
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 cossintan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d xxI x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.
2 2
x xC I C= − + → = − + 
Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 22 2
tan
cos
xI dx
x
= ∫ b) 
3
23 4
tan
cos
xI dx
x
= ∫ c) 24 2
tan 2 1
cos 2
xI dx
x
+
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức 
( )2
2
tan
cos
2
dx d x
x
u
u du C

=


= +
∫
Ta có ( )
2 2
22 222 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2cos cos
x dx x xI dx x x d x C I C
x x
= = = = + → = +∫ ∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức 
( )2
2
2
tan
cos
1 1 tan
cos
dx d x
x
x
x

=


= +

Ta có ( ) ( )3 3 3 2 5 323 4 2 2tan 1tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )cos cos cosx dxI dx x x x d x x x d xx x x= = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x xC I C= + + → = + + 
c) Sử dụng các công thức 
( )2 2
2
1 ( ) 1
tan( )
cos cos
2
dx d ax d ax
ax a ax a
u
u du C

= =


= +
∫
Ta có 24 2 2 2 2 2
tan 2 1 tan 2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )
2 2cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx x d x d xI dx
x x x x x
+
= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
24
1 1 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
tan 2 (tan 2 ) (tan 2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
x d x d x C I C= + = + + → = + +∫ ∫ 
Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 25 2
cot
sin
xI dx
x
= ∫ b) 26 3
tan
cos
xI dx
x
= ∫ c) 27
cot
pi
cos
2
xI dx
x
=
 
+ 
 
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức 
( )2
2
cot
sin
2
dx d x
x
u
u du C

= −


= +
∫
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 
Ta có ( )
2 2
25 252 2
cot cot cot
cot . cot cot .
2 2sin sin
x dx x xI dx x x d x C I C
x x
= = = − = − + → = − +∫ ∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức 
( )
1
sin x cos
1
n
n
dx d x
du u C
u n
− +
 = −


= +
− +∫
Ta có ( ) ( )
3
26 263 4 4 3 3
cos costan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x xx xdxI dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức 
( )
2
cos sin
pi
cos sin
2
1
x dx d x
x x
du C
u u

 =

  
+ = −  
 

= − +
∫
Ta có ( )27 272 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.
pi sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x x dx d xI dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +
− 
+ 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 28
3 xeI dx
x
= ∫ b) 
tan 2
29 2cos
xe dxI
x
+
= ∫ c) 
21
30 .
xI x e dx−= ∫ 
d) cos31 sinxI e x dx= ∫ e) 
2ln 3
32
xeI dx
x
+
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng các công thức ( )2
u u
dx d x
x
e du e C

=


= +∫
Ta có ( )28 283 3.2 6 6 6 .2
x
x x x xe dxI dx e e d x e C I e C
x x
= = = = + → = +∫ ∫ ∫ 
b) Sử dụng các công thức 
( ) ( )2 tan tancos
u u
dx d x d x k
x
e du e C

= = ±

 = +∫
Ta có ( )
tan 2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 292 2 tan 2 .cos cos
x
x x x xe dx dxI e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng các công thức ( ) ( )
2 21 1 1
2 2
u u
x dx d x d x
e du e C

= = − −

 = +∫
Ta có ( )2 2 2 2 21 1 1 2 1 130 301 1 1. 1 .2 2 2x x x x xI x e dx e x dx e d x e C I e C− − − − −= = = − − = − + → = − +∫ ∫ ∫ 
d) Sử dụng các công thức 
( )sin cos
u u
x dx d x
e du e C
 = −

= +∫
Ta có ( )cos cos cos cos31 31sin cos .x x x xI e x dx e d x e C I e C= = − = − + → = − +∫ ∫ 
e) Sử dụng các công thức 
( ) ( )ln ln
u u
dx d x d x k
x
e du e C

= = ±

 = +∫
Ta có ( ) ( )
2ln 3
2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3
32
1 1ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x xe dxI dx e e d x e d x e C
x x
+
+ + + +
= = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 6 
Vậy 
2ln 3
2ln 3
32
1
.
2
x
xeI dx e C
x
+
+
= = +∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 1 21
xI dx
x
=
+∫ 2) 
2 10
2 (1 )I x x dx= +∫ 3) 3
cos xI dx
x
= ∫ 
4) 4 cos sinI x xdx= ∫ 5) 5 3
sin
cos
xI dx
x
= ∫ 6) 36 sin cosI x xdx= ∫ 
7) 7 2 5
xI dx
x
=
+∫
 4) 8 2 1
dxI
x
=
−
∫ 3) 9 5 2I xdx= −∫ 
10) 
3
10
ln xI dx
x
= ∫ 11) 
2 1
11 .
xI x e dx+= ∫ 12) 412 sin cosI x xdx= ∫ 
13) 13 5
sin
cos
xI dx
x
= ∫ 14) 14 cotI x dx= ∫ 15) 15 2
tan
cos
xI dx
x
= ∫ 
16) 
tan
16 2cos
xeI dx
x
= ∫ 17) 17
xeI dx
x
= ∫ 18) 218 1I x x dx= +∫ 
19) 19 5(3 2 )
dxI
x
=
−
∫ 20) 2 320 5I x x dx= +∫ 21) 
2
21 3 1
x dxI
x
=
+
∫ 
22) 222 1I x x dx= −∫ 23) 23 cos 1 4sinI x x dx= +∫ 24) 224 1I x x dx= +∫ 
25) cos25 sinxI e x dx= ∫ 26) 
2 2
26 .
xI x e dx+= ∫ 27) 27
sin
1 3cos
x dxI
x
=
+∫
28) 2128 . xI x e dx−= ∫ 29) ( )sinx29 cos cosI e x x dx= +∫ 30) 
2ln 1
30
xeI dx
x
+
= ∫