Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Nguyên hàm của các hàm vô tỉ

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp 

 
2
1 2
.
xdxI x a C
x a
= = ± +
±∫
 
2 2
2 2 2
ln lndx duI x x a C u u a C
x a u a
= = + ± + → = + ± +
± ±∫ ∫
 
2 2 2
3 ln .2 2
x aI x a dx x a x x a C= ± = ± ± + ± +∫ 
 4 2 2 2 2
arcsin arcsindx x du uI C C
a aa x a u
= = + → = +
− −
∫ ∫ 
Chứng minh: 

 
2 2
2
1 2 2 2
1 ( ) ( )
.
2 2
xdx d x a d x aI x a C
x a x a x a
± ±
= = = = ± +
± ± ±∫ ∫ ∫
 2 2
.
dxI
x a
=
±∫
 Đặt 2
2
( )xdx xdx dx dt dx dt d x t
t x a dt
t t x x t x tx a
+ +
= ± ⇒ = = → = = =
+ +±
Khi đó, 22 2
( ) lndx dx d x tI x x a C
t x tx a
+
= = = = + ± +
+±∫ ∫ ∫
 
2
3 .I x a dx= ±∫ 
Đặt 
2 2 2
2 22
2 2
( )
xdx
u x a du x dx x a aI x x a x x a dxx a
x a x adv dx v x

= ± ⇒ = ±
→ = ± − = ± − = ±
± ±
= ⇒ =
∫ ∫
∓
2 2 2 2 2 2
3 32
ln ln .
2 2
dx x a
x x a x adx a x x a I a x x a I x a x x a C
x a
= ± − ± ± = ± − ± + ± ⇒ = ± ± + ± +
±∫ ∫
 4 2 2
.
dxI
a x
=
−
∫ Đặt 2 2 2 2 2
cos
a sin
sin cos
dx a tdt
x t
a x a a t a t
=
= ⇒ 
− = − =
4 2 2
cos
arcsin .
cos
dx a t dt xI dt t C c
a t aa x
→ = = = + = +
−
∫ ∫ ∫ 
Một số ví dụ minh họa: 
 
2
1 2 2
( 2) ln 2 4 10 .
4 10 ( 2) 6
dx d xI x x x C
x x x
+
= = = + + + + +
+ + + +
∫ ∫ 
 2 2 2 2 2
1
2 12
arcsin .
32 9 1 3 1
4 2 2 2
d x
dx dx xI C
x x
x x
 
+  + 
= = = = +
− −      
− + − +     
     
∫ ∫ ∫ 
 
2
3 2 2
2
5
1 1 1 5 5 74 ln .
4 2 22 5 7 2 22 5 7 5 31
2 2 4 16
d x
dx dxI x x x C
x x x x x
 
+ 
 
= = = = + + + + +
+ +  + + + + 
 
∫ ∫ ∫ 
2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp 
Tài liệu bài giảng: 
09. NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Dạng 1: Nguyên hàm 
2
mx nI dx
ax bx c
+
=
+ +
∫ 
Cách giải: 
Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được 
( ) ( )
2 2 2 2
2 22 2
2 2
m bm
ax b n ax b dxmx n m bm dxa aI dx dx n
a aax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
+ + − ++  
= = = + − = 
 + + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
2 2
( )
22
m d ax bx c bm dx m
n ax bx c J
a a aax bx c ax bx c
+ +  
= + − = + + + 
 + + + +
∫ ∫ 
Trong đó, 
2
dxJ
ax bx c
=
+ +
∫ thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên. 
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau 
a) +=
− +
∫1 2
2 3
2 4
xI dx
x x
 b) −=
− +
∫2 2
1
2 1
xI dx
x x
Hướng dẫn giải: 
a) 
2
1 2 2 2 2 2
(2 2) 5 (2 2) ( 2 4)5 2 5
2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 4
x x dx dx d x x dxI dx
x x x x x x x x x x
− + − − +
= = + = + =
− + − + − + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2 2
2
( 1)2 2 4 5 2 2 4 5ln 1 2 4 .
( 1) 3
d x
x x x x x x x C
x
−
= − + + = − + + − + − + +
− +
∫ 
b) 2 2 2 2 2
1 3(4 1)1 1 (4 1) 34 4
4 42 1 2 1 2 1 2 1
x
x x dx dxI dx dx
x x x x x x x x
− −
− −
= = = − =
− + − + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
2 2
2
1
1 (2 1) 3 1 3 42 1
2 24 2 1 4 22 2 1 1 7
2 2 4 16
d x
d x x dx
x x
xx x x x
 
− 
− +  
= − = − + − =
− +  
− +
− + 
 
∫ ∫ ∫ 
2 21 3 1 12 1 ln .
2 4 2 24 2
x
x x x x C= − + − − + − + + 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
2 2 2
dx
x x− +
∫ 2) 2
2 1
1
x dx
x x
−
− +
∫ 3) 
2
2
2 2
2
x x dx
x x
− +
−
∫ 
4) 
2
2
3 4
1
x x dx
x x
− +
− +
∫ 5) 2
2 1
1
x dx
x x
+
+ −
∫ 6) 2
3 2
3 2
x dx
x x
−
− +
∫ 
7) 
2
2
2 1
2
x x dx
x x
+ −
+ −
∫ 8) 
( )
2
2 3
2 2
x dx
x x
−
− −
∫ 9) 
( )2
2
2 3 1
4
x x dx
x
− +
−
∫ 
Dạng 2: Nguyên hàm ( ) 2
dxI
mx n ax bx c
=
+ + +
∫ 
Cách giải: 
Đặt 2
1 1
;
dt n
mx n mdx x
t mt mt
+ = ⇒ = − = − 
Thay vào ta được 
2
2
2 2
ln
( )
arcsin
du
u u a C
u aI g t dt
du u C
aa u

= + ± + ±
= →

= +
−
∫
∫
∫
 . 
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
a) ( )= + + +∫1 21 2 2
dxI
x x x
 b) ( )= + + −∫2 22 3 3 1
dxI
x x x
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 2 21 2 2
2
1 1
11
1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2
dt dt
x
t t tx I
dtt dx
t t t t t t t

= −
+ = ⇒ → = − = − =
        = −
− + − + − + − +               
∫ ∫ 
2
2
2
1 1 1ln 1 ln 1 .
1 1 11
dt
t t C
x x xt
 
− = − + + = − + + + + + + + +
∫ 
b) Đặt 22 2 2 2
2
1 1
1 12 2 22 1
2 1 9 1 9 41 1 1 1 13 12 4 42 2 2 2
dt
x dt dtt tx I
dtt t t tdx tt t t t

= −
+ = ⇒ → = − = − = − =
− −    = −
− −
− + − −       
∫ ∫ ∫ 
2 2 22
2
1 1 1 1 9 29
arcsin .
3 3 3 31 4 1313 2 13 2
9 9 81 9 9 9
d t
dt dt t C
t t t t
 
+  +  
= − = − = − = − + 
      − −
− +
− +         
∫ ∫ ∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) ( ) 21 2 2
dx
x x x− − +
∫ 2) 2
2 1
1
x dx
x x
−
− +
∫ 3) ( ) 21 3 2
dx dx
x x x− + +
∫ 
4) ( ) 22 1 2 2
dx dx
x x x+ − +
∫ 5) ( ) 22 4 3
dx dx
x x x+ − −
∫ 6) 4 22 1
dx dx
x x x+ −
∫ 
Dạng 3: Nguyên hàm ( ) 2
Ax BI dx
mx n ax bx c
+
=
+ + +
∫ 
Cách giải: 
Ta phân tích tử số chứa (mx + n) như sau: 
( )
( )
( ) ( )2 2 2 2
A An
mx n BAx B A dx An dxm mI dx dx B
m mmx n ax bx c mx n ax bx c ax bx c mx n ax bx c
+ + −
+  
= = = + − 
 + + + + + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Các nguyên hàm 1 2
dxI
ax bx c
=
+ +
∫ và ( )2 2
dxI
mx n ax bx c
=
+ + +
∫ đã xét đến ở phần trên. 
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau 
a) ( )( )
−
=
− −
∫1 2
3 4
2 1
x dx
I
x x
 b) ( )( )
+
=
+ −
∫2 2
2 1
1 4
x dx
I
x x
Hướng dẫn giải: 
a) Ta có ( )( )
( )
( ) ( )
2
1 2 2 2 2
3 4 2 3 2
2 3 2 3ln 1
2 1 2 1 2 1 1
x dx x dx dxI dx J x x
x x x x x x x
− − −
= = = − = − + −
− − − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ 
Xét ( ) 2 .2 1
dxJ
x x
=
− −
∫ Đặt 
2
12
12
x
t
x
dtt dx
t

= −
− = ⇒ 

=

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
2 2
2 2 2
2
1 1 1 2 4 1ln
3 3 33 4 1 3 33 4 11 1 2 12 1 3 3 3 9
dt
dt dt dttJ t t t C
t t t t t
t t
⇒ = = = = = − + − + +
− +   
− +
− − − −   
   
∫ ∫ ∫ ∫ 
Khi đó ta được 2 21
2 2 4 1ln 3ln 1 .
3 3 33
I t t t x x C= − + − + − + − + 
b) Ta có ( )( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1
2 2ln 4
1 4 1 4 4 1 4
x dx x dx dxI dx x x K
x x x x x x x
+ + −
= = = + = + − +
+ − + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫ 
Xét ( ) 2 .1 4
dxK
x x
=
+ −
∫ Đặt 
2
1 1
11
x
t
x
dtt dx
t

= −
+ = ⇒ 

= −

( )
2
2 2 2 2
2
1 1
3 1 2 31 4 1 2 31 1 4 11 4 3 3 9 3
dt
dx dt dt dttK
x x t t t t t
t t
⇒ = = − = − = − = − =
+ − − −   
− −
− − − +   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
1
1 1 3 13
arcsin
23 32 1
3 3
d t
t C
t
 
+  +  
= − = − + 
    
− +   
   
∫ 
Khi đó, 22
1 3 12ln 4 arcsin .
23
tI x x C+ = + − − + 
 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) ( )( ) 2
2 3
1 2 2
x dx
x x x
+
+ + +
∫ 2) 
( )
( ) 2
2 1
1 3 2
x dx
x x x
−
− − +
∫ 3) 
( )
( ) 2
2
1 2 3
x dx
x x x
+
+ − +
∫ 
4) ( )( ) 2
2 3
2 1 2
x dx
x x
−
− +
∫ 5) 
( )
( ) 2
2
1 1
x dx
x x
+
− +
∫ 
Dạng 4: Nguyên hàm 
( )( )
dxI
x a x b
=
+ +∫
Cách giải: 
Cách 1: Đặt 1 2
22 2 ( )( ) ( )( )
dx dx x a x b dx dt
t x a x b dt dx
tx a x b x a x b x a x b
+ + +
= + + + ⇒ = + = → =
+ + + + + +
Khi đó, ( )2 2ln 2ln .( )( )dx dtI t C x a x b Ctx a x b= = = + = + + + ++ +∫ ∫ 
Cách 2: Ta có ( )2 2 2( )( ) ( )
2 4
dx dx dxI
x a x b x a b x ab a b a b
x ab
= = =
+ + + + + + + 
+ + − 
 
∫ ∫ ∫ 
2 2
2 ln ( )( )
2( )
2 4
a bd x
a b
x x a x b C
a b a b
x ab
+ 
+  + 
= = + + + + +
+ + 
+ + − 
 
∫ 
Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, nhưng không phải vậy. 
Thật vậy, ( ) ( ) ( )22ln ln ln 2 ( )( )x a x b x a x b x a x b x a x b+ + + = + + + = + + + + + + = 
( )ln 2 2 ( )( ) ln ( )( ) ln 22a bx a b x a x b x x a x b+ = + + + + + = + + + + +   
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Và rõ ràng, ln ( )( ) ln 2 ln ( )( )
2 2
a b a b
x x a x b x x a x b
′ ′   + +   
+ + + + + = + + + +      
      
Như vậy, thực chất hai cách giải đều cho cùng một phép toán, có chăng, đó là sự khác biệt trong việc tính đạo hàm 
cuối cùng để kiểm tra!!! 
Dạng 5: Nguyên hàm dxI
x a x b
=
+ ± +∫
Cách giải: 
Các nguyên hàm dạng này được giải đơn giản bằng phép trục căn thức. 
Thật vậy, ( )1dx x a x bI dx x a dx x b dx
a b a bx a x b
+ +
= = = + +
− −+ + +∫ ∫ ∫ ∫
∓
∓ 
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau 
a) =
− +
∫1 2 4 3
dxI
x x
 b) =
+ + −∫2 2 3
dxI
x x
 c) =
+ − +∫3 2 1 2 5
dxI
x x
Hướng dẫn giải: 
a) 1 2 4 3
dxI
x x
=
− +
∫ 
Cách 1: 
( ) ( )
2
1 2 2 2
( 2) ln 2 4 3 .
4 3 2 1 2 1
dx dx d xI x x x C
x x x x
−
= = = = − + − + +
− +
− − − −
∫ ∫ ∫ 
Cách 2: 1 .( 1)( 3)
dxI
x x
=
− −
∫ 
Đặt 
1 1 1 1 1 2 21 3
2 21 3 ( 1)( 3) ( 1)( 3)
x x dx dt
t x x dt dx dx
tx x x x x x
 
− + − 
= − + − ⇒ = + = ⇔ =    
− − − − − −   
Khi đó, 1 2 2ln 2ln 1 3 .( 1)( 3)
dx dtI t C x x C
tx x
= = = + = − + − +
− −
∫ ∫ 
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2 3 1 22 3 ( 2) ( 3) .2 3 5 152 3dx x xI dx x x dx x x Cx xx x + − −= = = + − − = + − − ++ − −+ + −∫ ∫ ∫ 
c) ( ) ( ) ( ) ( )3 33 2 1 2 5 1 12 1 2 5 (2 1) (2 5) .2 1 2 5 4 6x xI dx x x dx x x Cx x+ + += = − + + + = − + + + ++ − +∫ ∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
1
0 1
dx
x x+ +∫
 2) 
2
1 1 1
dx
x x+ + −∫
 3) 
0
1 4 2
dx
x x
−
+ + +∫
4) 
2
0 2 2
x dx
x x+ + −∫
 5) 
2 2
1 2 2
x dx
x x+ + −∫
 6) 
1 3
2
0 1
x dx
x x+ +
∫ 
7) 
1
0
3
9
dx
x x+ −∫
 8) 
2 5 6
dx
x x− +
∫ 9) ( 3)( 5)
dx
x x+ +∫
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 
1) 1
1 1
dx
x+ +∫
 2) 1
2
x dx
x x
+
−
∫ 3) 31 1
dx
x+ +∫
4) 
4
dx
x x+∫
 5) 
3
x dx
x x−∫
 6) ( 1)
x dx
x x +∫ 
7) 
3 42
dx
x x x+ +∫
 8) 
23 (2 1) 2 1
dx
x x+ − +
∫ 9) 2 6 8
dx
x x+ +
∫