Các bài toán về đa thức

pdf62 trang | Chia sẻ: haohao | Lượt xem: 1142 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Các bài toán về đa thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 PhầnI:Cácbitoánvềđathức
 1.Tínhgiátrịcủabiểuthức:
 Bi1:ChođathứcP(x)=x152x12+4x77x4+2x35x2+x1
 3
 TínhP(1,25);P(4,327);P(5,1289);P(1 )
 4
H.Dẫn:
 LậpcôngthứcP(x)
 Tínhgiátrịcủađathứctạicácđiểm:dùngchứcnăng CALC 
 Kếtquả:P(1,25)=;P(4,327)=
 3
 P(5,1289)=;P(1 )=
 4
 Bi2:Tínhgiátrịcủacácbiểuthứcsau:
 P(x)=1+x+x2+x3+...+x8+x9tạix=0,53241
 Q(x)=x2+x3+...+x8+x9+x10tạix=2,1345
H.Dẫn:
 ápdụnghằngđẳngthức:anbn=(ab)(an1+an2b+...+abn2+bn1).Tacó:
 (x− 1)(1 + x + x2 + ... + x 9 ) x 10 − 1
 P(x)=1+x+x2+x3+...+x8+x9= = 
 x−1 x − 1
 TừđótínhP(0,53241)=
 T−ơngtự:
 x9 −1
 Q(x)=x2+x3+...+x8+x9+x10=x2(1+x+x2+x3+...+x8)= x2 
 x −1
 TừđótínhQ(2,1345)=
 Bi3:ChođathứcP(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e.BiếtP(1)=1;P(2)=4;P(3)=9;P(4)=16;
 P(5)=25.TínhP(6);P(7);P(8);P(9)=?
H.Dẫn:
B−ớc1:ĐặtQ(x)=P(x)+H(x)saocho:
 +BậcH(x)nhỏhơnbậccủaP(x)
 +BậccủaH(x)nhỏhơnsốgiátrịđbiếtcủaP(x),trongbibậcH(x)nhỏhơn5,nghĩal:
 4 3 2
 Q(x)=P(x)+a1x +b1x +c1x +d1x+e
B−ớc2:Tìma1,b1,c1,d1,e1đểQ(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=0,tứcl:
 + + + + + =
 a1 b 1 c 1 d 1 e 1 1 0
 
 16a+ 8 b + 4 c + 2 d + e + 4 = 0
  1 1 1 1 1
 + + + + + = ⇒
 81a1 27 b 1 9 c 1 3 d 1 e 1 9 0  a1=b1=d1=e1=0;c1=1
 
 256a+ 64 b + 16 c + 4 d + e + 16 = 0
  1 1 1 1 1
 + + + + + =
 625a1 125 b 1 25 c 1 5 d 1 e 1 25 0
 Vậytacó:Q(x)=P(x)x2
  1  
 Vìx=1,x=2,x=3,x=4,x=5lnghiệmcủaQ(x),mbậccủaQ(x)bằng5cóhệsốcủax5
 bằng1nên:Q(x)=P(x)x2=(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)
 ⇒P(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)+x2.
 Từđótínhđ−ợc:P(6)=;P(7)=;P(8)=;P(9)=
 Bi4:ChođathứcP(x)=x4+ax3+bx2+cx+d.BiếtP(1)=5;P(2)=7;P(3)=9;P(4)=11.
 TínhP(5);P(6);P(7);P(8);P(9)=?
H.Dẫn:
 Giảit−ơngtựbi3,tacó:P(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)+(2x+3).Từđótínhđ−ợc:P(5)=
 ;P(6)=;P(7)=;P(8)=;P(9)=
 Bi5:ChođathứcP(x)=x4+ax3+bx2+cx+d.BiếtP(1)=1;P(2)=3;P(3)=6;P(4)=10.
 P(5)− 2 P (6)
 Tính A = = ?
 P(7)
H.Dẫn:
 x( x + 1)
 Giảit−ơngtựbi4,tacó:P(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)+ .Từđótínhđ−ợc:
 2
 P(5)− 2 P (6)
 A = = 
 P(7)
 Bi6:Chođathứcf(x)bậc3vớihệsốcủax3lk,k∈Zthoảmn:
 f(1999)=2000;f(2000)=2001
 Chứngminhrằng:f(2001)f(1998)lhợpsố.
H.Dẫn:
 *Tìmđathứcphụ:đặtg(x)=f(x)+(ax+b).Tìma,bđểg(1999)=g(2000)=0
 1999a+ b + 2000 = 0  a = − 1
  ⇔ ⇔  ⇒g(x)=f(x)x1
 2000a+ b + 2001 = 0  b = − 1
 *Tínhgiátrịcủaf(x):
 Dobậccủaf(x)l3nênbậccủag(x)l3vg(x)chiahếtcho:
 (x1999),(x2000)nên:g(x)=k(x1999)(x2000)(xx0)
 ⇒f(x)=k(x1999)(x2000)(xx0)+x+1.
 Từđótínhđ−ợc:f(2001)f(1998)=3(2k+1)lhợpsố.
  2  
 Bi7:Chođathứcf(x)bậc4,hệsốcủabậccaonhấtl1vthoảmn:
 f(1)=3;P(3)=11;f(5)=27.TínhgiátrịA=f(2)+7f(6)=?
H.Dẫn:
 Đặtg(x)=f(x)+ax2+bx+c.Tìma,b,csaochog(1)=g(3)=g(5)=0⇒a,b,cl
 nghiệmcủahệph−ơngtrình:
 a+ b + c +3 = 0  a = −1
  
 9a+ 3 b + c + 11 = 0 ⇒bằngMTBTtagiảiđ−ợc: b = 0 
  
 25a+ 5 b + c + 27 = 0 c = − 2
 ⇒g(x)=f(x)x22
 Vìf(x)bậc4nêng(x)cũngcóbậcl4vg(x)chiahếtcho(x1),(x3),(x5),dovậy:g(x)
 2
 =(x1)(x3)(x5)(xx0)⇒f(x)=(x1)(x3)(x5)(xx0)+x +2.
 Tatínhđ−ợc:A=f(2)+7f(6)=
 Bi8:Chođathứcf(x)bậc3.Biếtf(0)=10;f(1)=12;f(2)=4;f(3)=1.
 Tìmf(10)=?(ĐềthiHSGCHDCĐức)
 H.Dẫn:
 Giảsửf(x)códạng:f(x)=ax3+bx2+cx+d.Vìf(0)=10;f(1)=12;f(2)=4;f(3)=1nên:
 d =10
 
 a+ b + c + d =12
  
 8a+ 4 b + 2 c + d = 4
 27a+ 9 b + 3 c + d = 1
lấy3ph−ơngtrìnhcuốilầnl−ợttrừchoph−ơngtrìnhđầuvgiảihệgồm3ph−ơngtrìnhẩna,b,c
 5 25
trênMTBTchotakếtquả: a=; b = − ; c = 12; d = 10 
 2 2
 5 25
 ⇒ f( x )= x3 − x 2 + 12 x + 10 ⇒ f (10) = 
 2 2
 Bi9:Chođathứcf(x)bậc3biếtrằngkhichiaf(x)cho(x1),(x2),(x3)đềuđ−ợcd−l6v
 f(1)=18.Tínhf(2005)=?
H.Dẫn:
 Từgiảthiết,tacó:f(1)=f(2)=f(3)=6vcóf(1)=18
 Giảit−ơngtựnh−bi8,tacóf(x)=x36x2+11x
 Từđótínhđ−ợcf(2005)=
  3  
 1 1 13 82 32
 Bi10:Chođathức P( x ) = x9 − x 7 + x 5 − x 3 + x 
 630 21 30 63 35
 a)Tínhgiátrịcủađathứckhix=4;3;2;1;0;1;2;3;4.
 b)ChứngminhrằngP(x)nhậngiátrịnguyênvớimọixnguyên
 Giải:
 a)Khix=4;3;2;1;0;1;2;3;4thì(tínhtrênmáy)P(x)=0
 b) Do 630 = 2.5.7.9 v x = 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4 l nghiệm của đa thức P(x) nên
 1
 P( x )= ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 
 2.5.7.9
 Vìgiữa9sónguyênliêntiếpluôntìmđ−ợccácsốchiahếtcho2,5,7,9nênvớimọixnguyênthì
 tích: (x− 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chiahếtcho2.5.7.9(tíchcủacácsốnguyêntố
 cùngnhau).ChứngtỏP(x)lsốnguyênvớimọixnguyên.
 4x
 Bi11:Chohmsố f( x ) = .Hytínhcáctổngsau:
 4x + 2
 1   2   2001 
 a) S= f   +f   + ... + f   
 1 2002   2002  2002 
 π  2 π   2001 π 
 b) S= f  sin2  +f  sin 2  +... + f  sin 2  
 2 2002  2002   2002 
H.Dẫn:
 *Vớihmsốf(x)đchotr−ớchếttachứngminhbổđềsau:
 Nếua+b=1thìf(a)+f(b)=1
 *ápdụngbổđềtrên,tacó:
    
 a) =1  +  2001  + +  1000 +  1002 +  1001  
 S1  f  f   ...  f  f   f  
 2002   2002    2002   2002   2002 
 1 1   1   1
  =1 + ... + 1 +f  + f    =1000 + = 1000, 5 
 2 2   2   2
 π2001 π 1000 π 1002π
 b)Tacó sin2= sin 2 ,..., sin 2 = sin 2 .Dođó:
 2002 2002 2002 2002
  π   π   π  π 
 =2 + 2 2 + + 2 1000 + 2 1001 
 S2 2 f sin  f  sin ... f  sin  f  sin 
  2002  2002   2002   2002 
 π  1000 π    500 π   501 π    π 
  =2f sin2  + f sin 2   + ... +  f  sin 2 + f sin2   + f sin2  
 2002   2002    2002   2002   2 
 π   π    500 π  500π  
  =2f sin 2  + f cos 2   +... +  f  sin 2 + f cos 2   + f (1) 
 2002  2002    2002  2002  
 4 2 2
  =2[ 1 + 1 + ... + 1 ] + = 1000 + = 1000 
 6 3 3
  4  
 2.Tìmth−ơngvd−trongphépchiahaiđathức:
Bitoán1:Tìmd−trongphépchiađathứcP(x)cho(ax+b)
Cáchgiải:
 b   b  −b 
Taphântích:P(x)=(ax+b)Q(x)+r⇒ P−  =0. Q  −  + r ⇒r= P   
 a   a  a 
 Bi12:Tìmd−trongphépchiaP(x)=3x35x2+4x6cho(2x5)
 Giải:
 5   5   5  5 
 Tacó:P(x)=(2x5).Q(x)+r⇒ P =0. Q   + r⇒ r= P   ⇒r= P   
 2   2   2  2 
 5 
 Tínhtrênmáytađ−ợc:r= P   =
 2 
Bitoán2:Tìmth−ơngvd−trongphépchiađathứcP(x)cho(x+a)
Cáchgiải:
Dùngl−ợcđồHoocnerđểtìmth−ơngvd−trongphépchiađathứcP(x)cho(x+a)
Bi13:Tìmth−ơngvd−trongphépchiaP(x)=x72x53x4+x1cho(x+5)
H.Dẫn:Sửdụngl−ợcđồHoocner,tacó:
  1 0 2 3 0 0 1 1
 5 1 5 23 118 590 2950 14751 73756
 *Tínhtrênmáytínhcácgiátrịtrênnh−sau:
 (− ) 5 SHIFT  STO  M 
 1 ì  ANPHA  M  + 0 = (5):ghiragiấy5
  ì  ANPHA  M  +  - 2 = (23):ghiragiấy23
  ì  ANPHA  M  - 3 = (118):ghiragiấy118
  ì  ANPHA  M  + 0 = (590):ghiragiấy590
  ì  ANPHA  M  + 0 = (2950):ghiragiấy2950
  ì  ANPHA  M  + 1 = (14751):ghiragiấy14751
  ì  ANPHA  M  - 1 = (73756):ghiragiấy73756
 x72x53x4+x1=(x+5)(x65x5+23x4118x3+590x22950x+14751)73756
Bitoán3:Tìmth−ơngvd−trongphépchiađathứcP(x)cho(ax+b)
  5  
 Cáchgiải:
 Đểtìmd−:tagiảinh−bitoán1
 Đểtìmhệsốcủađathứcth−ơng:dùngl−ợcđồHoocnerđểtìmth−ơngtrongphépchiađathức
 b 1
 P(x)cho(x+ )sauđónhânvoth−ơngđóvới tađ−ợcđathứcth−ơngcầntìm.
 a a
 Bi14:Tìmth−ơngvd−trongphépchiaP(x)=x3+2x23x+1cho(2x1)
 Giải:
 1 
 ThựchiệnphépchiaP(x)chox −  ,tađ−ợc:
 2 
 1  5 7  1
 P(x)=x3+2x23x+1=x −  x2 + x −  + .Từđótaphântích:
 2  2 4  8
 1  1 5 7  1
 P(x)=x3+2x23x+1=2.x −  . .x2 + x −  + 
 2  2 2 4  8
 1 5 7  1
 =(2x1). x2 + x −  + 
 2 4 8  8
 Bi15:TìmcácgiátrịcủamđểđathứcP(x)=2x3+3x24x+5+mchiahếtchoQ(x)=3x+2
H.Dẫn:
 3 2
 PhântíchP(x)=(2x +3x 4x+5)+m=P1(x)+m.Khiđó:
 P(x)chiahếtchoQ(x)=3x+2khivchỉkhi:P1(x)+m=(3x+2).H(x)
 2   2 
 Tacó: P−  + m = 0 ⇒ m= − P  −  
 1 3 1  3 
 2
 TínhtrênmáygiátrịcủađathứcP (x)tại x = − tađ−ợcm=
 1 3
 Bi16:ChohaiđathứcP(x)=3x24x+5+m;Q(x)=x3+3x25x+7+n.Tìmm,nđểhaiđa
 1
 thứctrêncónghiệmchung x = 
 0 2
H.Dẫn:
  
 = 1 − 1 2
 x lnghiệmcủaP(x)thìm= P   ,vớiP1(x)=3x 4x+5
 0 2 1 2 
  
 = 1 − 1 3 2
 x lnghiệmcủaQ(x)thìn= Q   ,vớiQ1(x)=x +3x 5x+7.
 0 2 1 2 
 1  1 
 Tínhtrênmáytađ−ợc:m= −P   =;n= −Q   =
 1 2  1 2 
  6  
 Bi17:ChohaiđathứcP(x)=x4+5x34x2+3x+m;Q(x)=x4+4x33x2+2x+n.
 a)Tìmm,nđểP(x),Q(x)chiahếtcho(x2)
 b)XétđathứcR(x)=P(x)Q(x).Vớigiátrịm,nvừatìmchứngtỏrằngđathứcR(x)chỉcóduy
 nhấtmộtnghiệm.
H.Dẫn:
 a)Giảit−ơngtựbi16,tacó:m=;n=
 b)P(x)⋮(x2)vQ(x)⋮(x2)⇒R(x)⋮(x2)
 Talạicó:R(x)=x3x2+x6=(x2)(x2+x+3),vìx2+x+3>0vớimọixnênR(x)chỉcómột
 nghiệmx=2.
 8
 Bi18:Chiax chox+0,5đ−ợcth−ơngq1(x)d−r1.Chiaq1(x)chox+0,5đ−ợcth−ơngq2(x)d−r2.
 Tìmr2?
H.Dẫn:
 8
 Taphântích:x =(x+0,5).q1(x)+r1
 q1(x)=(x+0,5).q2(x)+r2
 Dùngl−ợcđồHoocner,tatínhđ−ợchệsốcủacácđathứcq1(x),q2(x)vcácsốd−r1,r2:
  1 0 0 0 0 0 0 0 0
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 −  1 −   −   −   −  
 2 2 4 8 16 32 64 128 256
 1 3 1 5 3 7 1 
 −  1 1  −   −   − 
 2 4 2 16 16 64 16
 
 1
 Vậy: r = − 
 2 16
  7  
 PhầnII:CácbitoánvềDysố
MáytínhđiệntửCasiofx570MScónhiềuđặcđiểm−uviệthơncácMTBTkhác.SửdụngMTĐT
Casiofx570MSlậptrìnhtínhcácsốhạngcủamộtdysốlmộtvídụ.Nếubiếtcáchsửdụng
đúng,hợplýmộtquytrìnhbấmphímsẽchokếtquảnhanh,chínhxác.NgoiviệcMTBTgiúpcho
việcgiảmđángkểthờigiantínhtoántrongmộtgiờhọcmtừkếtquảtínhtoánđótacóthểdự
đoán,−ớcđoánvềcáctínhchấtcủadysố(tínhđơnđiệu,bịchặn...),dựđoáncôngthứcsốhạng
tổngquátcủadysố,tínhhộitụ,giớihạncủady...từđógiúpchoviệcpháthiện,tìmkiếmcách
giảibitoánmộtcáchsángtạo.Việcbiếtcáchlậpraquytrìnhđểtínhcácsốhạngcủadysốcòn
hìnhthnhchohọcsinhnhữngkỹnăng,t−duythuậttoánrấtgầnvớilậptrìnhtrongtinhọc.
Sauđâylmộtsốquytrìnhtínhsốhạngcủamộtsốdạngdysốth−ờnggặptrongch−ơngtrình,
trongngoạikhoávthigiảiToánbằngMTBT:
I/Lậpquytrìnhtínhsốhạngcủadysố:
1)Dysốchobởicôngthứcsốhạngtổngquát:
 
 ∈ *
un=f(n),ntrongđóf(n)lbiểuthứccN ủa
nchotr−ớc.
Cáchlậpquytrình:
Ghigiátrịn=1voônhớ A :1 SHIFT  STO  A 
Lậpcôngthứctínhf(A)vgángiátrịônhớ :  A  =  A  + 1
Lặpdấubằng: = ... = ...
Giảithích:
1 SHIFT  STO  A :ghigiátrịn=1voônhớ A 
f(A)  :  A  =  A  + 1:tínhun=f(n)tạigiátrị A (khibấmdấubằngthứlầnnhất)vthực
hiệngángiátrịônhớ A thêm1đơnvị: A = A + 1(khibấmdấubằnglầnthứhai).
*Côngthứcđ−ợclặplạimỗikhiấndấu = 
 8  
 Vídụ1:Tính10sốhạngđầucủadysố(un)chobởi:
 n n 
 1 1+ 5   1 − 5 
 u=  −    ; n = 1,2,3... 
 n     
 5 2   2  
 Giải:
 Talậpquytrìnhtínhunnh−sau:
 1 SHIFT  STO  A 
 ( 1 ữ  5 )  (  (  ( 1 +  5 )  ữ 2 )  ∧  ANPHA  A  - (  ( 1 - 
 5 )  ữ 2 )  ∧  ANPHA  A )  ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  =  ANPHA 
 A  + 1 = 
 Lặplạiphím: = ... = ...
 Tađ−ợckếtquả:u1=1,u2=1,u3=2,u4=3,u5=5,u6=8,u7=13,u8=21,
 u9=34,u10=55.
2)Dysốchobởihệthứctruyhồidạng:
 
 u1 = a trongđóf(un)lbiểuthứccủa
  u chotr−ớc.
  u = f(u ) ; n ∈ N* n
  n+1 n
 Cáchlậpquytrình:
 Nhậpgiátrịcủasốhạngu1:a = 
 Nhậpbiểuthứccủaun+1=f(un):(trongbiểuthứccủaun+1chỗnocóuntanhậpbằng ANS )
 Lặpdấubằng: = 
 Giảithích:
 Khibấm:a = mnhìnhhiệnu1=avl−ukếtquảny
 Khinhậpbiểuthứcf(un)bởiphím ANS ,bấmdấu = lầnthứnhấtmáysẽthựchiệntínhu2=
 f(u1)vlạil−ukếtquảny.
 Tiếptụcbấmdấu = talầnl−ợtđ−ợccácsốhạngcủadysốu3,u4...
 Vídụ1:Tìm20sốhạngđầucủadysố(un)chobởi:
  9  
  u = 1
  1
   u + 2 
 u=n , n ∈ N *
  n+1 +
  un 1
 Giải:
 Lậpquytrìnhbấmphímtínhcácsốhạngcủadysốnh−sau:
 1 = (u1)
 ữ
 (  ANS  + 2 )   (  ANS  + 1 )  = (u2)
 = ... = 
 Tađ−ợccácgiátrịgầnđúngvới9chữsốthậpphânsaudấuphảy:
 u1=1u8=1,414215686
 u2=1,5u9=1,414213198
 u3=1,4u10=1,414213625
 u4=1,416666667u11=1,414213552
 u5=1,413793103u12=1,414213564
 u6=1,414285714u13=1,414213562
 u7=1,414201183u14=...=u20=1,414213562
 Vídụ2:Chodysốđ−ợcxácđịnhbởi:
  = 3
  u1 3
   
 =( ) 3 3 ∈
  un+1 u n , n N *
 Tìmsốtựnhiênnnhỏnhấtđểunlsốnguyên.
 Giải:
 Lậpquytrìnhbấmphímtínhcácsốhạngcủadysốnh−sau:
 3
 SHIFT  3 = (u1)
 ∧ 3
 ANS   SHIFT  3 = (u2)
 =  = (u4=3)
 Vậyn=4lsốtựnhiênnhỏnhấtđểu4=3lsốnguyên.
3)Dysốchobởihệthứctruyhồidạng:
 =
  u1 = a, u 2 b
   10  
 ∈ 
  un+2 = Au n+1 + Bu n + C ; n N*
 
 
 
 Cáchlậpquytrình:
 *Cách1:
 Bấmphím:b SHIFT  STO  A  ì A + B ì a + C SHIFT  STO  B 
 Vlặplạidyphím:
  ì A +  ANPHA  A  ì B + C SHIFT  STO  A 
  ì A +  ANPHA  B  ì B + C SHIFT  STO  B 
 Giảithích:Saukhithựchiện
 b SHIFT  STO  A  ì A + B ì a + C SHIFT  STO  B 
 trongônhớ A lu2=b,máytínhtổngu3:=Ab+Ba+C=Au2+Bu1+Cvđẩyvotrongô
 nhớ B ,trênmnhìnhl:u3:=Au2+Bu1+C
 ì ì
 Saukhithựchiện: A +  ANPHA  A  B + C SHIFT  STO  A máytínhtổngu4:=
Au3+Bu2+Cvđ−avoônhớ A .Nh−vậykhiđótacóu4trênmnhìnhvtrongônhớ A 
 (trongônhớ B vẫnlu3).
 ì ì
 Saukhithựchiện: A +  ANPHA  B  B + C SHIFT  STO  B máytínhtổngu5:=
Au4+Bu3+Cvđ−avoônhớ B .Nh−vậykhiđótacóu5trênmnhìnhvtrongônhớ B 
 (trongônhớ A vẫnlu4).
 Tiếptụcvònglặptađ−ợcdysốun+2=Aun+1+Bun+C
 *Nhậnxét:Trongcáchlậpquytrìnhtrên,tacóthểsửdụngchứcnăng COPY đểlậplạidylặp
 bởiquytrìnhsau(giảmđ−ợc10lầnbấmphímmỗikhitìmmộtsốhạngcủadysố),thựchiệnquy
 trìnhsau:
Bấmphím:b SHIFT  STO  A  ì A + B ì a + C SHIFT  STO  B 
  ì A +  ANPHA  A  ì B + C SHIFT  STO  A 
  ì A +  ANPHA  B  ì B + C SHIFT  STO  B 
  ∆ SHIFT COPY 
Lặpdấubằng: = ... = ...
 *Cách2:Sửdụngcáchlậpcôngthức
Bấmphím:a SHIFT 
  11  
  A b SHIFT  STO  B 
  ANPHA  C  ANPHA  = A ANPHA  B  + B ANPHA  A  + C
  ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  =  ANPHA  B 
  ANPHA  :  ANPHA  B  ANPHA  =  ANPHA  C 
Lặpdấubằng: = ... = ...
 Vídụ:Chodysốđ−ợcxácđịnhbởi:
 =
  u1 = 1, u 2 2
   
 ∈
  un+2 = 3u n+1 + 4u n + 5 ; n N*
 Hylậpquytrìnhtínhun.
 Giải:
 Thựchiệnquytrình:
 2 SHIFT  STO  A  ì 3 + 4 ì 1 + 5 SHIFT  STO  B 
 ì 3 +  ANPHA  A  ì 4 + 5 SHIFT  STO  A 
 ì 3 +  ANPHA  B  ì 4 + 5 SHIFT  STO  B 
 ∆ SHIFT COPY 
 = ... = ...
 tađ−ợcdy:15,58,239,954,3823,15290,61167,244666,978671...
 Hoặccóthểthựchiệnquytrình:
 1 SHIFT  STO  A 2 SHIFT  STO  B 
 ANPHA  C  ANPHA  = 3 ANPHA  B  + 4 ANPHA  A  + 5
 ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  =  ANPHA  B 
 ANPHA  :  ANPHA  B  ANPHA  =  ANPHA  C 
 = ... = ...
 tacũngđ−ợckếtquảnh−trên.
  12  
4)Dysốchobởihệthứctruyhồivớihệsốbiếnthiêndạng:
 
  Trong đó f({ n, u })  l kí
   u1 = a n
   hiệu của biểu thức u  tính
 { } ∈ n+1
  un+1 = f( n , un ) ; n N*
   theounvn.
 *Thuậttoánđểlậpquytrìnhtínhsốhạngcủady:
 Sửdụng3ônhớ: A :chứagiátrịcủan
  B :chứagiátrịcủaun
  C :chứagiátrịcủaun+1
 Lậpcôngthứctínhun+1thựchiệngán A := A +1v B := C đểtínhsốhạngtiếptheocủa
 dy
 Lặpphím: = 
 Vídụ:Chodysốđ−ợcxácđịnhbởi:
  u = 0
  1
   
 n ( ) ∈
  un+1 = u n +1 ; n N*
  n+1
 Hylậpquytrìnhtínhun.
 Giải:
 Thựchiệnquytrình:
 1 SHIFT  STO  A 0 SHIFT  STO  B 
  ANPHA  C  ANPHA  =  (  ANPHA  A  ữ  (  ANPHA  A  + 1 ) ) 
  ì  (  ANPHA  B  + 1 )  ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  = 
  ANPHA  A  + 1 ANPHA  :  ANPHA  B  ANPHA  =  ANPHA  C 
  = ... = ...
 1 3 5 7
 tađ−ợcdy: , 1, , 2, , 3, ,... 
 2 2 2 2
 II/SửdụngMTBTtrongviệcgiảimộtsốdạngtoánvềdysố:
  13  
 1).Lậpcôngthứcsốhạngtổngquát:
 Ph−ơngphápgiải:
 LậpquytrìnhtrênMTBTđểtínhmộtsốsốhạngcủadysố
 Tìmquyluậtchodysố,dựđoáncôngthứcsốhạngtổngquát
Chứngminhcôngthứctìmđ−ợcbằngquynạp
Vídụ1:Tìma biết: a = 0
 2004  1
 + 
  =n( n 1) + ∈
  an+1 ( a n 1) ; n N *
  (n+ 2)( n + 3)
 Giải:
 Tr−ớchếttatínhmộtsốsốhạngđầucủady(an),quytrìnhsau:
 1 SHIFT  STO  A 0 SHIFT  STO  B 
 ANPHA  C  ANPHA  =  ANPHA  A  (  ANPHA  A  + 1 ) 
 ữ (  (  ANPHA  A  + 2 )  (  ANPHA  A  + 3 )  )  ì 
 (  ANPHA  B  + 1 )  ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  = 
 ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA  B  ANPHA = ANPHA C 
 1 7 2 7 1 1 1 3 9
 Tađ−ợcdy: , , , , , , ... 
 6 2 0 5 0 1 5 1 4 8
 Từđóphântíchcácsốhạngđểtìmquyluậtchodytrên:
 a1=0 
 1 5 1.5 
 a = = = ⇒dựđoáncôngthứcsốhạngtổngquát:
 2 6 30 3.10 
  (n− 1)(2 n + 1)
 7= 2.7 = 2.7 a =
 a3=  n (1)
 20 40 4.10 10(n + 1)
 
 27= 3.9 
 a4= *Dễdngchứngminhcôngthức(1)đúng
 50 5.10  vớimọin∈N*bằngquynạp.
 ... 
 2003.4009
 ⇒ a = 
 2004 20050
  14  
 = =
 a11, a 2 3
 Vídụ2:Xétdysố:  
 = − + ∈ *
 a+ 2 a a 1; n N
  n2 n n
 ChứngminhrằngsốA=4an.an+2+1lsốchínhph−ơng.
 Giải:
 Tínhmộtsốsốhạngđầucủady(an)bằngquytrình:
 3 SHIFT  STO  A  ì 2 - 1 + 1 SHIFT  STO  B 
 ì 2 -  ANPHA  A  + 1 SHIFT  STO  A 
 ì 2 -  ANPHA  B  + 1 SHIFT  STO  B 
 ∆ SHIFT COPY 
 = ... = ...
 Tađ−ợcdy:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,...
 Tìmquyluậtchodysố:
 1(1+ 1)
 a =1 = 
 1 2 
 2(2+ 1) 
 a =3 = ⇒dựđoáncôngthứcsốhạngtổngquát:
 2 2 
 +
 = = 3(3 1) 
 a3 6   +
 2 = n( n 1)
 an  (1)
 +  2
 = = 4(4 1)
 a4 10 
 2 
 5(5+ 1) 
 a =15 = *Tahontonchứngminhcôngthức(1)
 5 2 
 đúngvớimọin∈N*
 ... 
 2 2
 Từđó:A=4an.an+2+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n +3n+1) .
 ⇒Almộtsốchínhph−ơng.
 Cáchgiảikhác:Từkếtquảtìmđ−ợcmộtsốsốhạngđầucủady,tathấy:
 2
Vớin=1thìA=4a1.a3+1=4.1.6+1=25=(2a21) 
 2
 Vớin=2thìA=4a2.a4+1=4.3.10+1=121=(2a31) 
 2
 Vớin=3thìA=4a3.a5+1=4.6.15+1=361=(2a41) 
 2
 TừđótachứngminhA=4an.an+2+1=(2an+11) (*)
 Bằngph−ơngphápquynạptacũngdễdngchứngminhđ−ợc(*).
2).Dựđoángiớihạncủadysố:
  15  
2.1.Xéttínhhộitụcủadysố:
BằngcáchsửdungMTBTchophéptatínhđ−ợcnhiềusốhạngcủadysốmộtcáchnhanhchóng.
Biểudiễndyđiểmcácsốhạngcủadysốsẽgiúpchotatrựcquantốtvềsựhộitụcủadysố,từ
đóhìnhthnhnêncáchgiảicủabitoán.
Vídụ1:Xétsựhộitụcủadysố(an):
 sin(n )
 a=; n ∈ N *
 n n +1
Giải:
Thựchiệnquytrình:
MODE 4 2 1 SHIFT  STO  A 
 sin  (  ANPHA  A  )  ữ  (  ANPHA  A  + 1 ) 
 ANPHA  :  ANPHA  A  ANPHA  =  ANPHA  A  + 1
 = ... = ...
tađ−ợckếtquảsau(độchínhxác109):
 n an n an n an n an
 1 0,420735492 13 0,030011931 25 0,005090451 37 0,016935214
 2 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194
 3 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884
 4 0,151360499 16 0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491
 5 0,159820712 17 0,053410971 29 0,022121129 41 0,00377673
 6 0,039916499 18 0,039525644 30 0,031871987 42 0,021314454
 7 0,082123324 19 0,00749386 31 0,012626176 43 0,018903971
 8 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376
 9 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902
 10 0,049456464 22 0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986
 11 0,083332517 23 0,035259183 35 0,011893963 47 0,00257444
 12 0,041274839 24 0,036223134 36 0,026804833 48 0,015678666
Biểudiễnđiểmtrênmặtphẳngtoạđộ(n;an):
 an
 n
 
 →
Dựavosựbiểudiễntrêngiúpchotarútranhậnxétkhincnglớnthìancnggần0(an 0)vđó
chínhlbảnchấtcủadyhộitụđếnsố0.
 16  
 2.2.Dựđoángiớihạncủadysố:
 Vídụ1:Chứngminhrằngdysố(un),(n=1,2,3...)xácđịnhbởi:
  =
  u1 2
   
 = + ∈

File đính kèm:

  • pdftoan caio.pdf
Đề thi liên quan