Bài tập và đáp án môn toán -Lớp 10 chương trình nâng cao

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO -THPT
 Câu 1. Giải phương trình : .
Câu 2 . Cho hệ phương trình : .
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.Tìm các giá trị của m để nghiệm duy nhất (x;y) là các số nguyên.
Câu 3. Cho phương trình : 
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho : .
Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho DABC với . Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của DABC.
ĐÁP ÁN: (từ câu 1 đến câu 4).
Câu
ý
Đáp án
Điểm
1
* 
* .
0.25đ
0.5đ
2
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
* Điều kiện : .
* Tính và giải được và .
Tìm m để nghiệm duy nhất là các số nguyên 
* Khi và thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với và .
* Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
3
a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành : .
* Khi thì (1) là phương trình bậc hai có .
 + Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm.
 + Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm : .
Kết luận : 
 + m = 0 : .
 + m > 4 : .
 + và : Phương trình (1) có hai nghiệm : .
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b
* Khi và thì phương trình (1) có hai nghiệm .
* .
* Thay vào và tính được : thoả mãn điều kiện và .
0.25đ
0.25đ
4
Toạ độ trọng tâm G : .
Toạ độ trực tâm H : 
* .
* H (3 ; - 1 ).
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I : 
* .
* .
0.75đ
0.75đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Câu 5. (3.0 điểm)
	1. Cho hai tập hợp: A=[1; 4); .Hãy xác định các tập hợp: ?
	2. Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x= 2.
Câu 6. (3.0 điểm)
Cho hệ phương trình: . Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Cho phương trình: . Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
Câu 7. (1.0 điểm)
	Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì .
Câu 8. (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ: Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Cho . Tính giá trị biểu thức: .	
Câu 9. (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: .
ĐÁP ÁN:(từ câu 5 đến câu 9)
Câu
Đáp án
Điểm
5.1
1.0 đ
A=[1; 4); = [-3,3]
0.5
0.5
5.2
2.0 đ
-Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được: . 
Vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 4x +6 .
0.5
0.5
0.5
0.5
6.1
1.5 đ
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
* Điều kiện : .
* Tính và giải được và .
Vậy với và thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất 
 (x ; y) với và .
0.25
0.25
0.25
6.2
1.5 đ
Phương trình: có hai ngiệm phân biệt khi 
TheoYCBT thì: 
Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
7
1.0 đ
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
 (1)
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
 (2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được: . đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
8.1
1.0 đ
Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2).
Toạ độ trọng tâm G : .
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H.
* .
* .
0.25
0.25
0.25
0.25
8.2
1.0 đ
Ta có: . Tìm được 
Thay vào biểu thức: .
0.5
0.5
9
1.0 đ
Ta có 
0.5
0.5
Câu10. ( 3 điểm). Cho hàm số y = ax2 + bx + 3
( 1, 5 điểm) Xác định a, b của hàm số biết đồ thị hàm số đi qua A(1;0) và B(-2;15)
( 1, 5 điểm) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a).
Câu11. ( 2 điểm). Giải các phương trình sau :
	a) ( 1 điểm) 
	b) ( 1 điểm) 
câu12. ( 2 điểm). Cho tam giác ABC, có A(-3;2), B(1;3), C(-1;-6).
( 1 điểm). Chứng minh rằng tam ABC vuông tại A. 
( 1 điểm ). Tính các góc của tam giác.
Câu13. (2 điểm). Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AN, P là điểm thuộc cạnh AC sao cho 2AP=3PC. Đặt =, =.Biểu diễn véctơ và theo hai véctơ và .
Câu14.(1 điểm). Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (từ câu 10 đến câu 14)
Câu10.
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A và B nên ta có hệ phương trình 
Giải hệ ta được nghiệm 
Vậy hàm số là y = x2 – 4x + 3.
b) Tọa độ đỉnh I(2;-1)	
 Trục đối xứng x= -1 0,5
 Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;3)
 Đồ thị cắt Ox tạ N(1;0) và P(3;0) 
 Bảng biến thiên: x - 2 + 
 + + 0,5
 y
 	-1
Đồ thị : ( 0,5) y
 3
 O 1 2 3
 -1 	 x
 I 
Câu11. Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể
a) Đặt đk: 	0,25
Pt 
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1 0,25
b) Đặt đk: { Không nhất thiết phải giải điềm kiện}
Pt
So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x = 0,25
Câu12. a) Ta có và 0,5
 0,25
	 Tam giác ABC vuông tại A 0,25
 	b) Ta có và 0,25
 0,25
Câu13.
Ta có 
Ta có 
Câu14. 
 Dùng bất đẳng thức cô si ta có:
	+ ( đpcm)	1 điểm
Câu 15.(2 điểm) 
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2- 2x – 3.
b) Tìm m để phương trình: x2 - - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Câu 16.(1 điểm) Tìm m để hệ phương trình :có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
Câu 17.(1 điểm) Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Câu 18.(1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho 
Câu19.(1 điểm) Cho DABC có trọng tâm G.Đặt = , .Hãy biểu thị mỗi vectơ qua các vectơ và .
ĐÁP ÁN(từ câu 15 đến19)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
15
(2 đ)
16
(1 đ)
17
(1 đ)
18
(1 đ) 
19
(1 đ)
a)
(1,25 đ)
b)
(0,75đ)
a)
(0,5)
b)
(0,5đ)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2- 2x – 3
*Tập xác định : D = 
*Đồ thị là parabol có đỉnh I: , nhận đường thẳng 
x = 1 làm trục đối xứng.
*Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong (-¥;1),đồng biến trong (1;+¥)
BBT x -¥ 1 +¥
 +¥ +¥
 y 
 - 4 
*Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0)
(Đồ thị vẽ đúng 0,5 đ)
Tìm m để phương trình: x2 - - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Ta có: x2 - - m + 1 = 0 Û x2 -2-3 = m – 4 (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C1) : y = x2 -2-3 với đường thẳng d: y = m- 4
*Vì hàm số y = x2 -2-3 là hàm số chẵn nên nên đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C ) ứng với x³ 0 và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy
* Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt thì: - 4< m – 4< -3 Û 0 < m< 1
Tìm m để hệ phương trình :có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D = 
 Dx= 
 Dy= 
*D = -(m-1)(2m+1) ¹ 0Û m¹ 1 và m ¹ - thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x = 
y = 
* Để x,y thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2.Suy ra : xÎ { 2;0;3;- 1}
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3Û(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
 Û(x2- 4x +4)(x2- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x2- 4x +4.Pt (1)Û t(t+2) – 3 = 0 Û t2 +2t – 3 = 0 
*t = 1: x2- 4x +4 = 1 Û x2 – 4x + 3 = 0 
*t = - 3: x2- 4x +4 = - 3 Û x2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1): 
 DABC có:A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
 Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
* = (-5;-2)
= (3;-6)
* Vì nên và không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
Tìm tọa độ điểm D sao cho 
Giả sử D(x;y)
* = (x-2;y-6)
Þ -2= (-16;-8)
*Û 
= , .Hãy biểu thị mỗi vectơ qua các vectơ và .
0,25
0,25
0,25
0,5 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
·Đồ thị (C ) : y = x2- 2x- 3
(Đồ thị vẽ đúng 0,5 đ)
·Đồ thị (C1)
Câu 20.(2đ): Giải phương trình:
a) (1)
b)(2)
Câu 21.(1đ)Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
Câu 22.(1đ):Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với 
Câu 23.(3đ)Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a).Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định toạ độ tr ực tâm H của tam giác ABC
Câu
Đáp án
Điểm
20
a(1điểm)
Điều kiện 
Pt(1)
 4x2-16x+2=0. 
x1,2=
Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào phương trình thì x2= không thoã mãn.
Vậy phương trình có một nghiệm là x=
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
20b (1điểm)
+)Với x phương trình trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x n ên bị loại)
+) V ới x< phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x= (lo ại)
V ậy : Phương trình vô nghiệm.
0,5đ
0,5đ
Câu 21
Áp d ụng b ất đ ẳng th ức C ôsi cho hai số dương ,ta được
 Nh ân c ác b ất đ ẳng th ức (1);(2);(3) theo từng vế ta được:
=8
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu22
Ta c ó y=(-2x+3)(x-1)=(-2x+3)(2x-2),
Với . Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và -2x+3>0. ta được:
Hay y .Vậy giá trị lớn nhất của y là , đạt tại x=
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 23a
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên (1)
Mà ;
Từ (1) ta có 
Vậy D(-6;-2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 23b
Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó 
hay 
0,25đ
0,25đ
Câu 23c
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
Ta có
0,25đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
 Hết.
 GV.Đặng Ngọc Liên