Bài tập khoảng cách Hình học không gian 11 NC

Bµi tËp kho¶ng c¸ch
Lý ThuyÕt:
d(M,(P))=MH : H lµ h/c cña M lªn (P).
 Chó ý khi x¸c ®Þnh H, th­êng dïng c¸c KQ sau ®©y:
 -
 - H×nh chiÕu cña ®Ýnh chãp ®Òu xuèng mf ®¸y chÝnh lµ t©m cña ®¸y.


Bài1.Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC, Hãy dựng đường vuông góc chung của CD’ và MC’ và tính khoảng cách giữa chúng.
Giải:

D’

A
B
C
C’
A’
M
F
D
B’
E
K
H
I
J




Mf(ADC’B’) CD’ vì CD’ C’D và CD’AD.
Gọi E và F là tâm hai mặt bên như hình vẽ, nối M và trung điểm K của EF, dễ thấy MK song song với CF suy ra: hình chiếu của C’M lên Mf(ADC’B’) là C’K.
Trong mf(ADC’B’): hạ FH C’K.
Trong mf(KMC’), kẻ đường thẳng Ht và song song với KM, Ht cắt MC’ tại I, Kẻ Ip song song HF cắt CD’ Tại J : IJ chính là đường vuông góc chung của CD’ và C’M..

Tính khoảng cách:
Có IJ = HF
KFC’ vuông tại F, FH là đường cao :
.

Bµi2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a.
 Hãy dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và C1O ( O là tâm của hình vuông ABCD)

D1
A


C
B
B1
S
C1



M
F
C


I
J

D
A
F
E


O
M

C
B

T
K



D



mf(ADC1B1) A1B.
Ta xđ hình chiếu của C1O lên mf(ADC1B1) :
h/c của C1 là chính nó.
Từ O kẻ đường thẳng song song với CF cắt AF thị K, 
do FC mf(ADC1B1) suy ra OK mf(ADC1B1) nên h/c của O là K. Vậy hình chiếu của C1O lên mf(ADC1B1) là C1K.
 Trong mf(ADC1B1), dựng EM C1K.
Để xác định xem M nằm trong hay ngoài đoạn C1K, ta cần xác định xem các góc EC1K, EKC1 là nhọn hay tù.
Dễ thấy EC1K là góc nhọn ( do EC1K<B1C1D).
.Sau đây ta cm góc EKC1 là góc nhọn dựa vào định lý cos:
 - Dễ thấy EC1=; ;
Từ đó suy ra suy ra goc EKC1 nhọn. Vậy M nằm trong đoạn KC1. 
Từ M dựng Mt // KO, Mt cắt C1O tại J.
Từ J dựng Jx//ME, Jx cắt A1B tại I.
Vì EMA1B nên IJ A1B
Vì EMKC1 nên EMC1O ( Định lý ba đường vuông góc). Suy ra IJC1O.

Vậy đã dựng được đường vuông góc chung của A1B và C1O. 

Tính khoảng cách: IJ= EM=.

Bµi3(bµi 59 BTHH11/126).
Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y AABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, c¹nh SA=a vu«ng gãc víi ®¸y.
a.Gäi E lµ trung ®iÓm cña SA, tÝnh k/c tõ S tíi mfECD.
b.TÝnh k/c gi÷a AC vµ SD.
Lêi gi¶i:

A
D
C
B
S
E
H

+ X¸c ®Þnh k/c: Do BC(SAB) (EBC) (SAB) theo giao tuyÕn BE, do ®ã h¹ SH BH SH (EBC). VËy d(S,(EBC))=SH.
+TÝnh k/c: HSE®ång d¹ng víi ABE .
 b. C¸ch 1: (§­a vÒ k/c gi÷a ®­êng th¼ng vµ mf song song)
F
A
D
C
B
S
I

+ X¸c ®Þnh k/c:
 KÎ ®­êng th¼ng qua D, song song víi AC c¾t Ab kÐo dµi t¹i F
 AC//(SDF). VËy d(AC,SD)=d(AC,(SDF))=d(A,(SDF)).
+TÝnh k/c: 
 DÔ thÊy h×nh chãp A.SDF ®Òu v× AS=AF=AD=a, SF=FD=DS=
 h/c I cña A lªn (SDF) lµ t©m cña tam gi¸c ®Òu SDF vµ:
 AI=

 C¸ch 2: (§o¹n vu«ng gãc chung)
C¸ch21:

A
D
C
B
S
T
I
J

-X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung:
Trong mf(ABCD) kÎ Am A C mf(SAm) AC.
KÎ Dn // AC , gäi D1=Dn Am SD1 lµ h×nh chiÕu cña SD lªn mÆt (SAm).
Trong (SAm) kÎ AT SD1. TI //AC, kÎ Ip // TA, Gäi J=Ip AC Þ lµ ®­êng vu«ng gãc chung.
-TÝnh K/c: d(AC,SD)=IJ=AT. AT cã cahs tÝnh nh­ C¸ch1 

C¸ch 2.2









D
C
B
S
A
T
x
O
K
L
N

 
+ X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung
-Tõ O, dùng Ox //AS Ox (ABCD) Ox AC AC mf( BD,Ox).
-X¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña SD lªn mf( BD,Ox): h/c cña D lµ chÝnh D, kÎ St//AO St mf( BD,Ox). Gäi T lµ giao cña Ox vµ St T lµ h/c cña S. VËy TD lµ h/c cña SD.
- Trong mf(BDT): kÎ ON DT ( Do DOT=1v nªn N n»m gi÷a S vµ T) ON AC ( v× AC (DBT)) (1)
ON SD ( §Þnh lý 3 ®­êng vu«ng gãc). (2)
KÎ Ny//AO, Ny c¾t SD t¹i K, kÎ Kz//ON gäi L lµ giao cña Kz vµ AO.
V× KN //ON nªn tõ (1)&(2) KN lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña SD vµ AC.
+)TÝnh k/c: 
 d(AC,SD)=KL=ON.
 Trong tg vu«ng DOT cã: .
Hái thªm: X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K, N trªn SD vµ AC
 C¸ch 3 ( Ph­¬ng ph¸p vÐc t¬)
®¬n gi¶n! HS tù lµm.

Bµi05: Cho tø diÖn A.BCO trong ®ã: Tam gi¸c BOC vu«ng t¹i O, mf(AOB) mf(AOC). OA=OB= OC=a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC
Chøng minh r»ng OA, OB, OC ®«I mét vu«ng gãc.
X¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña O lªn mf(ABC) vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ O tíi mf(ABC).
TÝnh kho¶ng c¸ch gi­a OA vµ BC.
X¸c ®Þnh ®­êng vu«ng gãc chung cña AI vµ OC . TÝnh d( AI,OC).

O
C
A
B
I
H
E
FI
K




a), b) c): ®¬n gi¶n.
d)+ X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung
- mf(AOB) OC.
-H¹ IE OB ( EOB) EA lµ h×nh chiÕu cña IA lªn mf(OAB).
-Trong mf(OAB): dùng OH AE. D­ng Ht//OK gäi F=HtAI.
 Dùng Fx//HO, Gäi K=Fx OC. FK lµ ®oanh vu«ng gãc chung cña AI vµ OC.
 +)TÝnh k/c: 
 D(AI,OC)=FK=OH.
Trong tg vu«ng OAE: .
Bµi 6 : Cho h×nh chãp S.ABC cã SA (ABC). Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, SA=BC=a, AC=2a. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB.
a TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D tíi (SBC).
b TÝnh Kd( AC,SD)



C
S
B
A
D
M
F
K



C¸ch 1 (PP ThÓ tÝch ):
 (1).
DÔ dµng tÝnh ®­îc: ;
Tõ ®ã suy ra : d(D,(SBC))=
 C¸ch 2: Do D lµ trung ®iÓm cña AB , dÔ thÊy d(D,(SBC))=
 DÔ thÊy (SAC) (SBC) theo giao tuyÕn SC, nªn tõ A h¹ AM SC th× AM (SBC) d(A,(SBC))=AM.
 Ta cã : 
 C¸ch 3: KÎ DF // CB FD//(SBC) d(D,(SBC))=d(E,(SBC)) , B»n c¸ch xÐt tam gi¸c ®ång d¹ng dÔ dµng tÝnh ®­îc FK.
 C¸ch 4: B
A
D
S
C
E
N




 













KÎ DE//AC, DN//AS ta t¹o ®­îc mf (DNF) chøa D vµ vu«ng gãc víi (SBC) theo giao tuyÕn NE.
Trong (NDE) H¹ DH NE DH (SBC). TÝnh to¸n rÊt ®¬n gi¶n !
C¸ch 5 (PP vÐc t¬)
Chän hÖ vt c¬ së:


 tõ GT 
A
S
B
C
D
Gäi G lµ h/c cña D lªn mÆt (SBC)





.®iÒu kiÖn (1) t­¬ng ®­¬ng víi:
Cã x+y+z=1 ®Ó:
(3)
.§iÒu kiÖn (2) t­¬ng ®­êng víi (4)
Tõ c¸c ®iÒu kiÖn (3)&(4) dÉn tíi hÖ pt