Toán học - Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: 
Bảng 1 Bảng 2 
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C 
a ( hằng số) ax + C 
xα 
1
1
x C
α
α
+
++ 
( )ax b α+ 
a
1 1( )
1
ax b C
α
α
++ ++ 
1
x
 ln x C+ 1
ax b+ 
1 ln ax b C
a
+ + 
xa 
 ln
xa C
a
+ 
xe xe C+ ax be + 1 ax be C
a
+ + 
sinx -cosx + C sin(ax+b) 
1 cos( )ax b C
a
− + + 
cosx Sinx + C cos(ax+b) 
1 sin( )ax b C
a
+ + 
2
1
cos x
tgx + C 
2
1
cos ( )ax b+ 
1 ( )tg ax b C
a
+ + 
2
1
sin x
-cotgx + C 
2
1
sin ( )ax b+ 
1 cot ( )g ax b C
a
− + + 
' ( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+ 
2 2
1
x a− 
1 ln
2
x a C
a x a
− ++ 
tgx 
ln cos x C− + 
2 2
1
x a+
 2 2ln x x a C+ + + 
cotgx ln sin x C+ 
Phương pháp 1: 
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên 
hàm cơ bản 
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi 
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. 
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 1. 3 1( ) cos
1
f x x
x x
= + + − 2. 2
2x 5f(x)
x 4x 3
−= − + 
 83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân 
Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2. costgx dxx∫ 3. 1 ln x dxx+∫ 
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 
 thì: 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )b ba
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 
2. Các tính chất của tích phân: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
b
a
f x dx =∫ 
• Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ 
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ];a b thì: ( )b
a
cdx c b a= −∫ 
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b
a
f x dx ≥∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì 
 ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ 
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì 
 ( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ − 
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
b
a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì 
 . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa 
là : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ =
 84
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
 85
1) 
1
3
0
x dx
(2x 1)+∫ 2) 
1
0
x dx
2x 1+∫ 3) 
1
0
x 1 xdx−∫ 4) 1 2
0
4x 11 dx
x 5x 6
+
+ +∫ 
5) 
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +∫ 6) 
3 3
2
0
x dx
x 2x 1+ +∫ 7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+∫ 8) 32
0
4sin x dx
1 cosx
π
+∫ 
9)
4
2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+∫ 10) 2 4
0
cos 2xdx
π
∫ 11) 2
6
1 sin 2x cos2xdx
sin x cosx
π
π
+ +
+∫ 12)
1
x
0
1 dx
e 1+∫ . 
13) dxxx )sin(cos
4
0
44∫ −
π
 14) ∫ +
4
0 2sin21
2cos
π
dx
x
x 15) ∫ +
2
0 13cos2
3sin
π
dx
x
x 16) ∫ −
2
0 sin25
cos
π
dx
x
x 
17) ∫ −+−
0
2
2 32
4 dx
xx
 18) ∫ ++−
1
1
2 52xx
dx 
Bài 2: 
1) 
3
2
3
x 1dx
−
−∫ 2) 
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 3) 5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 4) 
2
2
2
1
2
1x 2
x
+ −∫ dx 
5) 
3
x
0
2 4dx−∫ 6) 
0
1 cos2xdx
π
+∫ 7) 2
0
1 sin xdx
π
+∫ 8) dxxx∫ −2
0
2 
Bài 3: 
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện 
 và 'f (1) 2=
2
0
f(x)dx 4=∫ 
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫ 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 
 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) 
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx∫
Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()( '=⇒=
Bước 2: Đổi cận : 
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=⇒=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được 
 [ ]∫= b fI (tiếp tục tính tích phân mới) ∫= )(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu
Tính các tích phân sau: 
1) 
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 2) 2 5
0
cos xdx
π
∫ 3) 4 2
0
sin 4x dx
1 cos x
π
+∫ 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 
5) 
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+∫ 6) 4 4
0
1 dx
cos x
π
∫ 7) e
1
1 ln xdx
x
+∫ 8) 4
0
1 dx
cosx
π
∫ 
9) 
e 2
1
1 ln xdx
x
+∫ 10) 11) 1 5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫ 6 2
0
cosx dx
6 5sin x sin x
π
− +∫ 12) 
3 4
0
tg x dx
cos2x∫ 
13) 
4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx
x
π
+
+∫ 14) ∫ +
2
0 22 sin4cos
2sin
π
dx
xx
x 15) ∫ −+ −
5ln
3ln 32 xx ee
dx 16) ∫ +
2
0
2)sin2(
2sin
π
dx
x
x 
17) ∫3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx 18) ∫ −4
0
8 )1(
π
dxxtg 19) ∫ +
−2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx 20) ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx 
21) ∫ +
2
0 cos1
cos2sin
π
dx
x
xx 22) ∫ +2
0
sin cos)cos(
π
xdxxe x 23) ∫ −+
2
1 11
dx
x
x 24) ∫ +
e
dx
x
xx
1
lnln31 
25) ∫ +
−4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x 
 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = 
b
a
f(x)dx∫ (t)ϕ 
Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒=
Bước 2: Đổi cận : α
β
=
=⇒=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được 
 (tiếp tục tính tích phân mới) [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Tính các tích phân sau: 
1) 
1
2
0
1 x dx−∫ 2) 1 2
0
1 dx
1 x+∫ 3) 
1
2
0
1 dx
4 x−∫ 4)
1
2
0
1 dx
x x 1− +∫ 
5)
1
4 2
0
x dx
x x 1+ +∫ 6) 
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +∫ 7) 
2
22
2
0
x dx
1 x−∫ 8) 
2
2 2
1
x 4 x dx−∫ 
 86
9) 
2
3
2
2
1 dx
x x 1−∫ 10) 
3 2
2
1
9 3x dx
x
+∫ 11) 1 5
0
1
(1 )
x dx
x
−
+∫ 12) 
2
2
2
3
1
1
dx
x x −∫ 
13) 
2
0
cos
7 cos2
x dx
x
π
+∫ 14) 
1 4
6
0
1
1
x dx
x
+
+∫ 15) 20
cos
1 cos
x dx
x
π
+∫ 16) ∫ ++−
0
1
2 22xx
dx 
17) ∫ ++
1
0 311 x
dx 18) ∫ −
−2
1 5
1 dx
x
xx 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: 
Tính các tích phân sau: 
1)
8
2
3
1
1
dx
x x +∫ 2) 
7 3
3 2
0 1
x dx
x+∫ 3) 
3
5 2
0
1x x dx+∫ 4) ln2 x
0
1 dx
e 2+∫ 
5) 
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+∫ 6) 
2
2 3
0
1x x d+∫ x 7) ∫ +
32
5 2 4xx
dx 
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 
Công thức tích phân từng phần: 
 [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
 Hay: [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Cách thực hiện: 
Bước 1: Đặt 
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=⇒=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
 Bước 3: Tính [ và ]bavu. ∫b
a
vdu
Tính các tích phân sau: 
 1) 
2
5
1
ln xdx
x∫ 2) 
2
2
0
x cos xdx
π
∫ 3) 1 x
0
e sin xdx∫
 4) 
2
0
sin xdx
π∫ 5) 6) e 2
1
x ln xdx∫ 3 2
0
x sin xdx
cos x
π
+∫ 
 87
 7) 8) 2
0
xsin x cos xdx
π∫ 4 2
0
x(2 cos x 1)dx
π
−∫ 9) 
2
2
1
ln(1 x)dx
x
+∫ 
 10) 11) 12) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫
e
2
1
(x ln x) dx∫ 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+∫ 
 13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +∫ 14) 
1
2
0
xtg xdx∫ 15) ∫ −1
0
2)2( dxex x
 16) 17) ∫ +
1
0
2 )1ln( dxxx ∫
e
dx
x
x
1
ln 18) ∫ +2
0
3 sin)cos(
π
xdxxx 
 19) 20) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG 
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ 
 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: 
 a) 
2 2
0 0
f(sin x)dx f(cos x)dx
π π
=∫ ∫ 
 b) 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
π ππ=∫ ∫ 
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 
 88
1) 
n2
+
n n
0
cos x dx với n Z
cos x sin x
π
∈+∫ 2) 
42
4 4
0
cos x dx
cos x sin x
π
+∫ 3) 
62
6 6
0
sin x dx
sin x cos x
π
+∫ 
4) 5) 5
0
xsin xdx
π∫ 2 2
2
4 sin
x cosx dx
x
π
π−
+
−∫ 6) 
1 4
2
1
sin
1
x x dx
x−
+
+∫ 
7) 2
0
xsin x dx
4 cos x
π
−∫ 8) 4 30 cos sinx x xd
π∫ x 
Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +
0
( ) ( ) với R và a > 0
1x
f x dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈+∫ ∫ ; a 1≠ 
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 
 2) 
1 2
1
1
1 2x
x dx
−
−
+∫ 3) 
2sin
3 1x
x dx
π
π− +∫ 1) 
1 4
1 2 1
x
x dx
− +∫
IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
 Công thức: 
 89
1C
y
2C
y
2C
x
1C
x
]dxxgxfS )()(
 [∫ −= b
a
[ ]∫ −= b
a
dyygyfS )()(
Tính diện tích của các hình phẳng sau: 
1) (H1):
2
2
xy 4
4
xy
4 2
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 2) (H2) : 
2y x 4x 3
y x 3
⎧ = − +⎪⎨ = +⎪⎩
 3) (H3):
3x 1y
x 1
y 0
x 0
− −⎧ =⎪ −⎪ =⎨⎪ =⎪⎩
4) (H4): 5) (H
2
2
y x
x y
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
5): 2
y x
y 2 x
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
 6) (H6):
2y x 5 0
x y 3 0
⎧ + − =⎨ + − =⎩
7) (H7):
ln xy
2 x
y 0
x e
x 1
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
 8) (H8) : 
2
2
y x 2x
y x 4
⎧ = −⎪⎨
x= − +⎪⎩
 9) (H9):
2 3 3y x x
2
y x
⎧
2
= + −⎪⎨⎪ =⎩
10) (H10): 11) 
2y 2y x 0
x y 0
⎧ − + =⎨ + =⎩ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
 12) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Δ
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. 
 Công thức: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)( 1 yfxC =
)(:)( 2 ygxC =
ay =
by =
O
y
x
x
)(H
a b
)(:)( 1 xfyC
a= =
)(:)( 2 xgyC
bx =
O
=
b
a
x
y
0=x
O
)(:)( yfxC =
by =
ay =
a b0=y
)(:)( xfyC =ax =
bx =
x
y
O
 [ ] dxxfV b
a
2
)(∫= π [ ] dyyfV b
a
2
)(∫= π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy 
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 2y (x 2)= −
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: 
 a) Trục Ox 
 b) Trục Oy 
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ;y x y x 2= − = + . 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
2
2
1 ;
1 2
xy y
x
= =+ 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 
------------------------------Hết------------------------------- 
 90