Vấn đề 2. Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Vấn đề 2. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác:
Ví dụ 1. Vẽ ra phía ngoài DABC các hình vuông ABDE và ACFK. Chứng minh rằng:
	a) EK vuông góc với trung tuyến AM của DABC và EK = 2AM.
b) Nếu I là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAKI thì I thuộc đường cao AH của DABC.
	c) CD = BI và CD ^ BI; BF = CI và BF ^ CI.
	d) CD, BF, AH đồng quy.
2. Sử dụng tứ giác nội tiếp:
Ví dụ 2. Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A', B', C' là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).
3. Chứng minh các đường thẳng chia một đoạn (trong hoặc ngoài) theo các tỉ số bằng nhau:
Chú ý: Các khái niệm đường thẳng chia trong (ngoài) một đoạn thẳng.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác bất kì, các đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác với trọng tâm tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
3. Sử dụng phép đối xứng:
Ví dụ 4. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB tại các điểm A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2. Chứng minh rằng: Nếu các đường thẳng vuông góc với các cạnh của DABC và tương ứng đi qua A1, B1, C1 đồng quy, thì các đường thẳng vuông góc với các cạnh của DABC và tương ứng đi qua A2, B2, C2 cũng đồng quy.
4. Áp dụng định lí Céva:
Chú ý: (Định lí Céva)
	Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của DABC, lần lượt lấy các điểm P, Q, R. Khi đó:
	AP, BQ, CR đồng quy Û .
Ví dụ 5. Gọi A', B', C' là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp DABC với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.

II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho DABC. Vẽ ra phía ngoài ba tam giác đều ABC', BCA', CAB'.
	a) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' bằng nhau.
	b) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.
Bài 2. Cho ba đường tròn (O1), (O2) và (O3) có bán kính bằng nhau và bằng R, cùng cắt nhau tại điểm O. Gọi giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn trên là A, B, C. 
Chứng minh rằng: 
	a) Đường tròn qua A, B, C có bán kính R.
b) Ba đường thẳng xác định bởi tâm đường tròn này và giao điểm (khác O) của hai đường tròn kia đồng quy.
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB > CD). Gọi E là giao điểm hai cạnh bên AD và BC; F là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy.
b) Biết diện tích hình thang bằng 1. Đường chéo hình thang có thể lấy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
c) Cho hình thang ngoại tiếp một đường tròn (O). Đáy AB, CD tiếp xúc (O) tại M, N. Trên AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB. Chứng minh rằng: AD, BC, NM đồng quy.