Tuyển tập các đề thi đại học 2002-2012 theo chủ đề môn Toán

Nguyễn Tuấn Anh
Tuyển tập các đề thi đại học
2002-2012
theo chủ đề
Trường THPT Sơn Tây
Mục lục
1 Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 3
1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 8
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . . . . . 12
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Bất đẳng thức 17
2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Hình học giải tích trong mặt phẳng 22
3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Tổ hợp và số phức 30
4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
4.2 Công thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Khảo sát hàm số 36
5.1 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Hình học giải tích trong không gian 44
6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 51
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Tích phân và ứng dụng 57
7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: . . . . 59
7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng (H) khi quay
quanh Ox. Biết (H) được giới hạn bởi các đường sau: . . . . . . . 59
Đáp Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1
Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ
BPT
1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . 8
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . 12
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Phương trình và bất phương trình
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
Bài 1.1 (B-12). Giải bất phương trình
x+ 1 +
√
x2 − 4x+ 1 ≥ 3√x.
Bài 1.2 (B-11). Giải phương trình sau:
3
√
2 + x− 6√2− x+ 4
√
4− x2 = 10− 3x (x ∈ R)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 4
Bài 1.3 (D-02). Giải bất phương trình sau:
(x2 − 3x)
√
2x2 − 3x− 2 ≥ 0.
Bài 1.4 (D-05). Giải phương trình sau:
2
√
x+ 2 + 2
√
x+ 1−√x+ 1 = 4.
Bài 1.5 (D-06). Giải phương trình sau:
√
2x− 1 + x2 − 3x+ 1 = 0. (x ∈ R)
Bài 1.6 (B-10). Giải phương trình sau:
√
3x+ 1−√6− x+ 3x2 − 14x− 8 = 0.
Bài 1.7 (A-04). Giải bất phương trình sau:√
2(x2 − 16)√
x− 3 +
√
x− 3 > 7− x√
x− 3 .
Bài 1.8 (A-05). Giải bất phương trình sau:
√
5x− 1−√x− 1 > √2x− 4.
Bài 1.9 (A-09). Giải phương trình sau:
2 3
√
3x− 2 + 3√6− 5x− 8 = 0.
Bài 1.10 (A-10). Giải bất phương trình sau:
x−√x
1−√2(x2 − x+ 1) ≥ 1.
1.1.2 Phương trình lượng giác
Bài 1.11 (D-12). Giải phương trình sin 3x+ cos 3x˘ sinx+ cosx =
√
2 cos 2x
Bài 1.12 (B-12). Giải phương trình
2(cosx+
√
3 sinx) cosx = cosx−
√
3 sinx+ 1.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 5
Bài 1.13 (A-12). Giải phương trình sau:
√
3 sin 2x+ cos 2x = 2 cos x− 1
Bài 1.14 (D-11). Giải phương trình sau:
sin 2x+ 2 cosx− sinx− 1
tanx+
√
3
= 0.
Bài 1.15 (B-11). Giải phương trình sau:
sin 2x cosx+ sinx cosx = cos 2x+ sinx+ cosx
Bài 1.16 (A-11). Giải phương trình
1 + sin 2x+ cos 2x
1 + cot2 x
=
√
2 sinx sin 2x.
Bài 1.17 (D-02). Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình:
cos 3x− 4 cos 2x+ 3 cosx− 4 = 0.
Bài 1.18 (D-03). Giải phương trình sau:
sin2 (
x
2
− pi
4
) tan2 x− cos2 x
2
= 0.
Bài 1.19 (D-04). Giải phương trình sau:
(2 cosx− 1)(2 sinx+ cosx) = sin 2x− sinx.
Bài 1.20 (D-05). Giải phương trình sau:
cos4 x+ sin4 x+ cos (x− pi
4
) sin (3x− pi
4
)− 3
2
= 0.
Bài 1.21 (D-06). Giải phương trình sau:
cos 3x+ cos 2x− cosx− 1 = 0.
Bài 1.22 (D-07). Giải phương trình sau:
(sin
x
2
+ cos
x
2
)
2
+
√
3 cosx = 2.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 6
Bài 1.23 (D-08). Giải phương trình sau:
2 sinx(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cosx.
Bài 1.24 (D-09). Giải phương trình sau:
√
3 cos 5x− 2 sin 3x cos 2x− sinx = 0.
Bài 1.25 (D-10). Giải phương trình sau:
sin 2x− cos 2x+ 3 sinx− cosx− 1 = 0.
Bài 1.26 (B-02). Giải phương trình sau:
sin2 3x− cos2 4x = sin2 5x− cos2 6x.
Bài 1.27 (B-03). Giải phương trình sau:
cotx− tanx+ 4 sin 2x = 2
sin 2x
.
Bài 1.28 (B-04). Giải phương trình sau:
5 sinx− 2 = 3(1− sinx) tan2 x.
Bài 1.29 (B-05). Giải phương trình sau:
1 + sin x+ cosx+ sin 2x+ cos 2x = 0.
Bài 1.30 (B-06). Giải phương trình sau:
cotx+ sinx(1 + tan x tan
x
2
) = 4.
Bài 1.31 (B-07). Giải phương trình sau:
2 sin2 2x+ sin 7x− 1 = sin x.
Bài 1.32 (B-08). Giải phương trình sau:
sin3 x−
√
3 cos3 x = sinx cos2 x−
√
3 sin2 x cosx.
Bài 1.33 (B-09). Giải phương trình sau:
sinx+ cosx sin 2x+
√
3 cos 3x = 2(cos 4x+ sin3 x).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 7
Bài 1.34 (B-10). Giải phương trình sau:
(sin 2x+ cos 2x) cosx+ 2 cos 2x− sinx = 0.
Bài 1.35 (A-02). Tìm ngiệm thuộc khoảng (0; 2pi) của phương trình:
5
(
sinx+
cos 3x+ sin 3x
1 + 2 sin 2x
)
= cos 2x+ 3.
Bài 1.36 (A-03). Giải phương trình sau:
cotx− 1 = cos 2x
1 + tan x
+ sin2 x− 1
2
sin 2x.
Bài 1.37 (A-05). Giải phương trình sau:
cos2 3x cos 2x− cos2 x = 0.
Bài 1.38 (A-06). Giải phương trình sau:
2(cos6 x+ sin6 x)− sinx cosx√
2− 2 sinx = 0.
Bài 1.39 (A-07). Giải phương trình sau:
(1 + sin2 x) cosx+ (1 + cos2 x) sinx = 1 + sin 2x.
Bài 1.40 (A-08). Giải phương trình sau:
1
sinx
+
1
sin (x− 3pi
2
)
= 4 sin (
7pi
4
− x).
Bài 1.41 (A-09). Giải phương trình sau:
(1− 2 sinx) cosx
(1 + 2 sinx)(1− sinx) =
√
3.
Bài 1.42 (A-10). Giải phương trình sau:
(1 + sin x+ cos 2x) sin (x+
pi
4
)
1 + tan x
=
1√
2
cosx.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 8
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit
Bài 1.43 (D-11). Giải phương trình sau:
log2(8− x2) + log 1
2
(
√
1 + x+
√
1− x)− 2 = 0 (x ∈ R)
Bài 1.44 (D-03). Giải phương trình sau:
2x
2−x − 22+x−x2 = 3.
Bài 1.45 (D-06). Giải phương trình sau:
2x
2+x − 4.2x2−x − 22x + 4 = 0.
Bài 1.46 (D-07). Giải phương trình sau:
log2 (4
x + 15.2x + 27) + 2 log2 (
1
4.2x − 3) = 0.
Bài 1.47 (D-08). Giải bất phương trình sau:
log 1
2
x2 − 3x+ 2
x
≥ 0.
Bài 1.48 (D-10). Giải phương trình sau:
42x+
√
x+2 + 2x
3
= 42+
√
x+2 + 2x
3+4x−4 (x ∈ R)
Bài 1.49 (B-02). Giải bất phương trình sau:
logx (log3 (9
x − 72)) ≤ 1.
Bài 1.50 (B-05). Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:
(
12
5
)
x
+ (
15
4
)
x
+ (
20
3
)
x
≥ 3x + 4x + 5x.
Khi nào đẳng thức sảy ra?
Bài 1.51 (B-06). Giải bất phương trình sau:
log5 (4
x + 144)− 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 9
Bài 1.52 (B-07). Giải phương trình sau:
(
√
2− 1)x + (
√
2 + 1)x − 2
√
2 = 0.
Bài 1.53 (B-08). Giải bất phương trình sau:
log0,7 (log6 (
x2 + x
x+ 4
)) < 0.
Bài 1.54 (A-06). Giải phương trình sau:
3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
Bài 1.55 (A-07). Giải bất phương trình sau:
2 log3 (4x− 3) + log 1
3
(2x+ 3) ≤ 2.
Bài 1.56 (A-08). Giải phương trình sau:
log2x−1 (2x
2 + x− 1) + logx+1 (2x− 1)2 = 4.
1.2 Hệ Phương trình
Bài 1.57 (D-12). Giải hệ phương trình{
xy + x− 2 = 0
2x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0 ; (x; y ∈ R)
Bài 1.58 (A-12). Giải hệ phương trình{
x3 − 3x2 − 9x+ 22 = y3 + 3y2 − 9y
x2 + y2 − x+ y = 1
2
(x, y ∈ R).
Bài 1.59 (A-11). Giải hệ phương trình:{
5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2(x+ y) = 0
xy(x2 + y2) + 2 = (x+ y)2
(x, y ∈ R)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 10
Bài 1.60 (D-02). Giải hệ phương trình sau:2
3x = 5y2 − 4y
4x + 2x+1
2x + 2
= y.
Bài 1.61 (D-08). Giải hệ phương trình sau:{
xy + x+ y = x2 − 2y2
x
√
2y − y√x− 1 = 2x− 2y (x, y ∈ R).
Bài 1.62 (D-09). Giải hệ phương trình sau:{
x(x+ y + 1)− 3 = 0
(x+ y)2 − 5
x2
+ 1 = 0
(x, y ∈ R).
Bài 1.63 (D-10). Giải hệ phương trình sau:{
x2 − 4x+ y + 2 = 0
2 log2 (x− 2)− log√2 y = 0 (x, y ∈ R).
Bài 1.64 (B-02). Giải hệ phương trình sau:{
3
√
x− y = √x− y
x+ y =
√
x+ y + 2.
Bài 1.65 (B-03). Giải hệ phương trình sau:
3y =
y2 + 2
x2
3x =
x2 + 2
y2
.
Bài 1.66 (B-05). Giải hệ phương trình sau:{ √
x− 1 +√2− y = 1
3 log9 (9x
2)− log3 y3 = 3.
Bài 1.67 (B-08). Giải hệ phương trình sau:{
x4 + 2x3y + x2y2 = 2x+ 9
x2 + 2xy = 6x+ 6
(x, y ∈ R).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 11
Bài 1.68 (B-09). Giải hệ phương trình sau:{
xy + x+ 1 = 7y
x2y2 + xy + 1 = 13y2
(x, y ∈ R).
Bài 1.69 (B-10). Giải hệ phương trình sau:{
log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y2.
Bài 1.70 (A-03). Giải hệ phương trình sau: x−
1
x
= y − 1
y
2y = x3 + 1.
Bài 1.71 (A-04). Giải hệ phương trình sau: log 14 (y − x)− log4
1
y
= 1
x2 + y2 = 25.
Bài 1.72 (A-06). Giải hệ phương trình sau:{
x+ y −√xy = 3√
x+ 1 +
√
y + 1 = 4.
Bài 1.73 (A-08). Giải hệ phương trình sau:
x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5
4
x4 + y2 + xy(1 + 2x) = −5
4
.
Bài 1.74 (A-09). Giải hệ phương trình sau:{
log2 (x
2 + y2) = 1 + log2 (xy)
3x
2−xy+y2 = 81.
Bài 1.75 (A-10). Giải hệ phương trình sau:{
(4x2 + 1)x+ (y − 3)√5− 2y = 0
4x2 + y2 + 2
√
3− 4x = 7.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 12
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số
Bài 1.76 (D-11). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm{
2x3 − (y + 2)x2 + xy = m
x2 + x− y = 1− 2m (x, y ∈ R)
Bài 1.77 (D-04). Tìmm để hệ phương trình sau có nghiệm:{ √
x+
√
y = 1
x
√
x+ y
√
y = 1− 3m.
Bài 1.78 (D-04). Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
x5 − x2 − 2x− 1 = 0.
Bài 1.79 (D-06). Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất: {
ex − ey = ln (1 + x)− ln (1 + y)
y − x = a.
Bài 1.80 (D-07). Tìm giá trị của tham sốm để phương trình sau có nghiệm thực:
x+
1
x
+ y +
1
y
= 5
x3 +
1
x3
+ y3 +
1
y3
= 15m− 10.
Bài 1.81 (B-04). Xác địnhm để phương trình sau có nghiệm
m
(√
1 + x2 −
√
1− x2
)
= 2
√
1− x4 +
√
1 + x2 −
√
1− x2.
Bài 1.82 (B-06). Tìmm để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
√
x2 +mx+ 2 = 2x+ 1.
Bài 1.83 (B-07). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương
trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
x2 + 2x− 8 =
√
m(x− 2).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 13
Bài 1.84 (A-02). Cho phương trình:
log23 x+
√
log23 x+ 1− 2m− 1 = 0 (m là tham số).
1. Giải phương trình khim = 2.
2. Tìmm để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√
3].
Bài 1.85 (A-07). Tìmm để phương trình sau có nghiệm thực:
3
√
x− 1 +m√x+ 1 = 2 4
√
x2 − 1.
Bài 1.86 (A-08). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai
nghiệm thực phân biệt:
4
√
2x+
√
2x+ 2 4
√
6− x+ 2√6− x = m (m ∈ R).
Đáp số
1.1
[
0 ≤ x ≤ 1
4
x ≥ 4
1.2 x = 6
5
1.3
 x ≤ −12x = 2
x ≥ 3
1.4 x = 3
1.5 x = 1 ∨ x = 2−√2
1.6 x = 5
1.7 x > 10−√34
1.8 2 ≤ x < 10
1.9 x = −2
1.10 x = 3−
√
5
2
1.11
[
x = − pi
12
+ k2pi
x = 7pi
12
+ k2pi
1.12
[
x = ±2pi
3
+ k2pi
x = k2pi
1.13
 x = pi2 + kpix = k2pi
x = 2pi
3
+ k2pi
1.14 x = pi
3
+ k2pi
1.15 cosx = −1; cosx = 1
2
1.16
[
x = pi
2
+ kpi
x = pi
4
+ k2pi
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 14
1.17 x = pi
2
; x = 3pi
2
; x = 5pi
2
; x = 7pi
2
1.18
[
x = pi + k2pi
x = −pi
4
+ kpi
(k ∈ Z)
1.19
[
x = ±pi
3
+ k2pi
x = −pi
4
+ kpi
(k ∈ Z)
1.20 x =
pi
4
+ kpi (k ∈ Z)
1.21
[
x = kpi
x = ±2pi
3
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.22
[
x = pi
2
+ k2pi
x = −pi
6
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.23
[
x = ±2pi
3
+ k2pi
x = pi
4
+ kpi
(k ∈ Z)
1.24
[
x = pi
18
+ k pi
3
x = −pi
6
+ k pi
2
(k ∈ Z)
1.25
[
x = pi
6
+ k2pi
x = 5pi
6
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.26
[
x = kpi
9
x = kpi
2
(k ∈ Z)
1.27 x = ±pi
3
+ kpi (k ∈ Z)
1.28
[
x = pi
6
+ k2pi
x = 5pi
6
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.29
[
x = −pi
4
+ kpi
x = ±2pi
3
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.30
[
x = pi
12
+ kpi
x = 5pi
12
+ kpi
(k ∈ Z)
1.31 x = pi
8
+ k pi
4
x = pi
18
+ k 2pi
3
x = 5pi
18
+ k 2pi
3
1.32
[
x = pi
4
+ k pi
2
x = −pi
3
+ kpi
(k ∈ Z)
1.33
[
x = −pi
6
+ k2pi
x = pi
42
+ k 2pi
7
(k ∈ Z)
1.34 x = pi
4
+ k pi
2
(k ∈ Z)
1.35
[
x = pi
3
x = 5pi
3
1.36 x = pi
4
+ kpi (k ∈ Z)
1.37 x = k pi
2
(k ∈ Z)
1.38 x = 5pi
4
+ k2pi (k ∈ Z)
1.39 x = −pi
4
+ kpi
x = pi
2
+ k2pi
x = k2pi
1.40 x = −pi
4
+ kpi
x = −pi
8
+ kpi
x = 5pi
8
+ kpi
1.41 x = − pi
18
+ k 2pi
3
(k ∈ Z)
1.42
[
x = −pi
6
+ k2pi
x = 7pi
6
+ k2pi
(k ∈ Z)
1.43 x = 0
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 15
1.44
[
x = −1
x = 2
1.45 x = 0 ∨ x = 1
1.46 x = log2 3
1.47 S = [2−√2; 1) ∪ (2; 2 +√2]
1.48 x = 1 ∨ x = 2
1.49 log9 73 < x ≤ 2
1.50 x = 0
1.51 2 < x < 4
1.52 x = 1 ∨ x = −1
1.53 S = (−4;−3) ∪ (8; +∞)
1.54 x = 1
1.55 3
4
< x ≤ 3
1.56 x = 2 ∨ x = 5
4
1.57
 (x; y) = (1; 1)(−1+√5
2
;
√
5)
(−1−
√
5
2
;−√5)
1.58 (x; y) =
(
3
2
;−1
2
)
;
(
1
2
; −3
2
)
1.59 (1; 1); (−1;−1); (2
√
2√
5
;
√
2√
5
);
(−2
√
2√
5
;−
√
2√
5
)
1.60
{
x = 0
y = 1
∨
{
x = 2
y = 4
1.61 (x; y) = (5; 2)
1.62 (x; y) = (1; 1); (2;−3
2
)
1.63 (x; y) = (3; 1)
1.64 (x; y) = (1; 1); (3
2
; 1
2
)
1.65 x = y = 1
1.66 (x; y) = (1; 1); (2; 2)
1.67 (x; y) = (−4; 17
4
)
1.68 (x; y) = (1; 1
3
); (3; 1)
1.69 (x; y) = (−1; 1
2
)
1.70 (x; y) = (1; 1); (−1+
√
5
2
; −1+
√
5
2
)
(−1−
√
5
2
; −1−
√
5
2
)
1.71 (x; y) = (3; 4)
1.72 (x; y) = (3; 3)
1.73 (x; y) = ( 3
√
5
4
;− 3
√
25
16
) = (1;−3
2
)
1.74 x = y = 2
x = y = −2
1.75 (x; y) = (1
2
; 2)
1.76 m ≤ 2−
√
3
2
1.77 0 ≤ m ≤ 1
4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 16
1.78 f(x) = vt đb trên[1; +∞)
1.80
[ 7
4
≤ m ≤ 2
m ≥ 22
1.81
√
2− 1 ≤ m ≤ 1
1.82 m ≥ 9
2
1.83
1.84 1.x = 3±
√
3
2.0 ≤ m ≤ 2
1.85 −1 < m ≤ 1
3
1.86 2
√
6 + 2 4
√
6 ≤ m < 3√2 + 6
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 2
Bất đẳng thức
2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Bất đẳng thức
Bài 2.1 (A-09). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z
thỏa mãn x(x+ y + z) = 3yz, ta có:
(x+ y)3 + (x+ z)3 + 3(x+ y)(x+ z)(y + z) ≤ 5(y + z)3.
Bài 2.2 (A-05). Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4. Chứng
minh rằng
1
2x+ y + z
+
1
x+ 2y + z
+
1
x+ y + 2z
≤ 1.
Bài 2.3 (A-03). Cho x, y, z là ba số dương và x+ y + z ≤ 1. Chứng minh rằng√
x2 +
1
x2
+
√
y2 +
1
y2
+
√
z2 +
1
z2
≥
√
82.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 2.Bất đẳng thức 18
Bài 2.4 (D-07). Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng :
(
2a +
1
2a
)b
≤(
2b +
1
2b
)a
.
Bài 2.5 (D-05). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng√
1 + x3 + y3
xy
+
√
1 + y3 + z3
yz
+
√
1 + z3 + x3
zx
≥ 3
√
3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất
Bài 2.6 (D-12). Cho các số thực x, y thỏa mãn (x˘4)2 + (y˘4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy˘1)(x+ y˘2).
Bài 2.7 (B-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x+ y + z = 0 và
x2 + y2 + z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x5 + y5 + z5.
Bài 2.8 (A-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| −
√
6x2 + 6y2 + 6z2
Bài 2.9 (B-11). Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn
2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= 4
(
a3
b3
+
b3
a3
)
− 9
(
a2
b2
+
b2
a2
)
.
Bài 2.10 (A-11). Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
2x+ 3y
+
y
y + z
+
z
z + x
.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 2.Bất đẳng thức 19
Bài 2.11 (D-11). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
2x2 + 3x+ 3
x+ 1
trên đoạn [0; 2].
Bài 2.12 (A-07). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
x2(y + z)
y
√
y + 2z
√
z
+
y2(z + x)
z
√
z + 2x
√
x
+
z2(x+ y)
x
√
x+ 2y
√
y
.
Bài 2.13 (A-06). Cho hai số thực x 6= 0, y 6= 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
(x+ y)xy = x2 + y2 − xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
1
x3
+
1
y3
.
Bài 2.14 (B-10). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab+ bc+ ca) + 2
√
a2 + b2 + c2.
Bài 2.15 (B-09). Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãm (x+ y)3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2)− 2(x2 + y2) + 1.
Bài 2.16 (B-08). Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
2(x2 + 6xy)
1 + 2xy + 2y2
.
Bài 2.17 (B-07). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
P = x
(
x
2
+
1
yz
)
+ y
(
y
2
+
1
zx
)
+ z
(
z
2
+
1
xy
)
.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 2.Bất đẳng thức 20
Bài 2.18 (B-06). Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
A =
√
(x− 1)2 + y2 +
√
(x+ 1)2 + y2 + |y − 2|.
Bài 2.19 (B-03). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x+
√
4− x2.
Bài 2.20 (D-10). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
√
−x2 + 4x+ 21−
√
−x2 + 3x+ 10.
Bài 2.21 (D-09). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x+ y = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
Bài 2.22 (D-08). Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
(x− y)(1− xy)
(1 + x)2(1 + y)2
.
Bài 2.23 (D-03). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x+ 1√
x2 + 1
trên đoạn [−1; 2].
2.3 Nhận dạng tam giác
Bài 2.24 (A-04). Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện
cos 2A+ 2
√
2 cosB + 2
√
2 cosC = 3.
Tính ba góc của tam giác ABC.
Đáp số
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 2.Bất đẳng thức 21
2.6 Amin = 17−5
√
5
4
2.7 P =
5
√
6
36
2.8 Pmin = 3
2.9 minP = −23
4
2.10 Pmin = 3433
2.11 GTLN là 17
3
;GTNN
là 3
2.12 Pmin = 2
2.13 Amax = 16
2.14 Mmin = 2
2.15 Amin =
9
16
2.16 Pmax = 3;Pmin =
−6
2.17 Pmin =
9
2
2.18 Amin = 2 +
√
3
2.19 max
[−2;2]
y = 2
√
2
min
[−2;2]
y = −2
2.20 ymin =
√
2
2.21 Smax = 252 ;Smin =
191
16
2.22 Pmin =
−1
4
;Pmax =
1
4
2.23 ymax =
√
2; ymin =
0
2.24 A = 90o;B = C =
45o
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 3
Hình học giải tích trong mặt phẳng
3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Đường thẳng
Bài 3.1 (D-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.
Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y = 0 và x˘y+4 = 0;
đường thẳng BD đi qua điểm M (−1
3
; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
ABCD.
Bài 3.2 (A-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi
M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử
M
(
11
2
; 1
2
)
và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
A.
Bài 3.3 (D-11). Trongmặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnhB(−4; 1),
trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
x− y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 3.Hình học giải tích trong mặt phẳng 23
Bài 3.4 (B-11). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x−y−4 =
0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường
thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
Bài 3.5 (A-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh
AB và AC có phương trình x+ y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm
E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Bài 3.6 (A-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình
chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
∆ : x+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 3.7 (A-06). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho các
đường thẳng :
d1 : x+ y + 3 = 0, d2 : x− y − 4 = 0, d3 : x− 2y = 0.
Tìm tọa độ điểmM nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
Bài 3.8 (A-05). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
đường thẳng :
d1 : x− y = 0 và d2 : 2x+ y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C
thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Bài 3.9 (A-04). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
điểm A(0;2) và B(−√3;−1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác OAB.
Bài 3.10 (A-02). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, xét tam
giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
√
3x− y −√3 = 0, các
đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 3.11 (B-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC
bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 3.Hình học giải tích trong mặt phẳng 24
Bài 3.12 (B-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ :
x−y−4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết rằng diện tích tam giác ABC
bằng 18.
Bài 3.13 (B-08). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác
định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên
đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương
trình x−