Toán học - Phương trình lượng giác cơ bản

 Trang 1 
 Trang 2 
 Trang 3 
MỤC LỤC 

∗
 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN...........................................3 
II. MỘT SỐ DẠNG 
 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN.......................................10 
III.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC 
 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT ...................................29 
IV.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CHỨA THAM SỐ......................35 
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 
 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ..............................................................42 
VI.TRẮC NGHIỆM.........................................................................................4 
 Trang 4 

 
I.PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Cơ sở của phương pháp là biến đổi sơ cấp các phương trình lượng giác của 
đề ra về một trong bốn dạng chuẩn sau và được chia thành 2 loại: 
1.Phương trình lượng giác cơ bản: 
Cĩ bốn dạng: sin ,cos , tan ,cotx m x m x m x m= = = = 
Cơng thức nghiệm; k∈Z 
 Phương trình Điều kiện cĩ nghiệm 
Dạng 1 Dạng 2 
Sinx = m 
1 1− ≤ ≤m x ( 1) arcsin= − + pik m k 
2
2
( sin )
pi
= α + pi
 = −α + pi
= α
x k
x k
m
Cosx = m 1 1− ≤ ≤m arccos 2= ± + pix m k 
x 2
( cos )
= ±α + pi
= α
k
m
Tanx = m ;
2
pi
∀ ≠ + pim x k arctan= + pix m k 
( tan )
= α + pi
= α
x k
m
Cotx = m ;∀ ≠ pim x k x arccot= + pim k 
( cot )
= α + pi
= α
x k
m
∗Chú ý: sin 1 2 ;cos 1 2
2
pi
= ⇔ = + pi = ⇔ = pix x k x x k 
sin 0 ;cos 0
2
sin 1 2 ;cos 1 2
2
pi
pi
= ⇔ = pi = ⇔ = + pi
= − ⇔ = − + pi = − ⇔ = −pi+ pi
x x k x x k
x x k x x k
2.Phương trình lượng giác thuộc dạng cơ bản: 
Cĩ một trong các dạng sau: 
Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m với f(x) là biểu thức chứa 
biến x 
Hoặc là : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)] 
 Tan[f(x)] = tan[g(x)]; cot[f(x)] = cot[g(x)] 
Ta sử dụng các cơng thức nghiệm như trên 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PHẦN I 
 Trang 5 
II.VÍ DỤ: Giải phương trình: 
 Ví dụ 1 
tan tan
2
x
x= 
2
x 2 2
x 2
⇔ = + pi
⇔ = + pi
⇔ = − pi ( ∈Ζ)
x
x k
x k
k k
Vậy phương trình cĩ 1 họ nghiệm 2x k pi= − (k∈ )Z 
. 
Ví dụ 2 
sin 2 sin5 cos
2 sin5 sin cos
2 sin5 2 sin
4
sin5 sin
4
5 2
4
5
4
2
16
5
24 3
x x x
x x x
x x
x x
x x k
x x
x k
x k
pi
pi
pi pi
pipi
pi pi
pipi
= +
⇔ = −
 ⇔ = − 
 
 ⇔ = − 
 
  = − +   ⇔ ∈
  = − −  
 
 = − +
⇔ ∈
 = +
 (k )
 (k )
Z
Z
Vậy phương trình cĩ 2 họ nghiệm 
2
2
5
24 3
 (k
pi pi
pipi
 = +
∈ )
 = +
Z
x k
x k
 Trang 6 
Ví dụ 3 
2 1sin 2 sin
2
1 cos2 1
sin 2
2 2 2
sin 2 cos2 0
sin 2 1
cos2 2
1
tan 2
2
1
2 arctan
2
1 1
x arctan
2 2
x x
x
x
x x
x
x
x
x k
k
pi
pi
+ =
⇔ + − =
⇔ 2 − =
⇔ =
⇔ =
⇔ = + ∈
⇔ = + ∈
 (k )
 (k )
Z
Z
Vậy phương trình cĩ 1 họ nghiệm 
1 1
arctan
2 2
 (k )pi= + ∈Zx k 
Ví dụ 4 
3sin cos 2sin3 0
3 1
sin cos sin3 0
2 2
sin .sin cos cos sin3 0
3 3
cos sin3 0
3
cos sin3
3
cos cos 3
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
24 2
5
12
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x k
x x k
k
x
x k
pi pi
pi
pi
pi pi
pi pi pi
pi pi pi
pi pi
pi pi
− + =
⇔ − + =
⇔ − + =
 ⇔ − + + = 
 
 ⇔ + = 
 
   ⇔ + = −   
   
 + = − +
⇔ 
 + = − +
 = +
⇔ 
= −

∈


 (k )Z
 Trang 7 
Vậy phương trình cĩ 2 họ nghiệm 24 2
5
12
 (k Z)
pi pi
pi pi
 = +
∈
 = −

k
x
x k
Ví dụ 5 
1 tan 2 2 sinx x+ = (1) 
Điều kiện : cosx 0≠ 
2
x k
pi pi⇔ ≠ + 
Với điều kiện trên (1) 
sin
1 2 2 sin
cos
x
x
x
⇔ + = 
cos x sin 2 2 sin .cos
2 sin 2 sin 2
4
2 2
4
2 2
4
2
4 (k )
2
4 3
 (loại)
pi
pi pi
pipi pi
pi pi
pi pi
⇔ + =
 ⇔ + = 
 
 = + +
⇔
  = − + +   
 = +
⇔ ∈
 = +
Z
x x x
x x x
x x k
x x k
x k
k
x
2
x
4 3
kpi pi
⇔ = + (k )Z∈ 
Vậy phương trình cĩ một họ nghiệm 
2
x
4 3
pi pi
⇔ = +
k
(k )∈Z 
 Trang 8 
Ví dụ 6 
3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
2 2 3
3
3
sin .cos3 cos .sin3 sin 4
sin (4cos 3cos ) cos (3sin 4sin ) sin 4
4sin .cos 3sin .cos 3sin .cos 4sin .cos sin 4
3sin .cos (cos sin ) sin 4
3
sin 2 .cos2 4sin 4
2
3sin 4 4sin
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x
+ =
⇔ − + − =
⇔ − + − =
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
3
4
3sin 4 4sin 4 0
sin12 0
x
12
x
x x
x
kpi
⇔ − =
⇔ =
⇔ = ∈ (k Z)
Vậy phương trình cĩ một họ nghiệm x
12
 (k )
pi
= ∈Z
k
Ví dụ 7 
sin cot 5
1
cos9
x x
x
= (1) 
Điều kiện : 
5
sin5 0 5 (k )
cos9 0 9
2
18 9
pipi
pi pi pipi
≠ ≠ ≠  ⇔ ⇔ ∈  ≠ ≠ +   ≠ + 
Z
k
x k x
x
x kx k
x
cos5
(1) sin . cos9
sin5
sin .cos5 cos9 .sin5
sin6 sin 4 sin14 sin 4
sin14 sin 6
14 6 2
14 6 2
8 2
20 2
4 ( )
20 10
pi
pi pi
pi
pi
pi
pi pi
⇔ =
⇔ =
⇔ − = −
⇔ =
= +
⇔  = − +
=
⇔  = +
 =
⇔ ∈
 = +
x
x x
x
x x x x
x x x x
x x
x x k
x x k
x k
x k
k
x
k Z
k
x
 Trang 9 
Vậy phương trình cĩ 2 họ nghiệm 4 ( )
20 10
pi
pi pi
 =
∈
 = +
Z
k
x
k
k
x
III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Giải các phương trình sau: 
2
4 4
2
1) 2 tan3 3 0
2
2)sin cos2
3
3)cos2 sin 0
4)2sin 2cos x 1 3
sin 2
5) 2cos 0
1 sin
2
6)2 tan cot x 3
sin 2
sin cos 1
7) (tan cot x)
sin 2 2
8)cos sin 2 cos3
1 1 1
9)
sin 2 cos2 sin 4
10)cos10 2cos 4 6c
pi
− =
 − = 
 
− =
− = −
+ =
+
+ = +
+
= +
− =
+ =
+ +
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x 3
2 2
os3 .cosx cos 8cos .cos 3
11) tan cot x 2(sin 2 cos2 )
cot tan
12) 16(1 cos4 )
cos2
= +
+ = +
−
= +
x x x x
x x x
x x
x
x
 Trang 10 
IV.HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 
2
1) .
9 3
7 2 7
2) ; 2 . cos2 sin 2
18 3 6 2
1 1 cos2
3) arccos . sin
3 2
2 3 1
4) 2 ; 2 . sin
6 3 122 2
2
5) .
6 3
 Hướng dẫn : 
 Hướng dẫn : 
 Hướng dẫn : 
 Hướng d
pi pi
pi pi pi pipi
pi
pi pi pipi pi
pi pi
+
  + − + = −    
− ± + = 
 
 −
+ − + = 
 
− +
k
k
k x x
x
k x
k k
k ( )
( )4 4 2 2
cos ) 0
2
6) .
3 sin 2
7) sin 2 0,sin cos 1 2sin .cos
8) ; .
8 16 2
ẫn : ĐK 1+sinx 0 , đưa pt ve àdạng 2(sin2x +
 Hướng dẫn : tanx + cotx =
Vo ânghiệm . Hướng dẫn : ĐK 
 Hướng dẫn :
pi pi
pi pi pipi
≠ =
 +  
 
≠ + = −
+ − +
x
k
x
x x x x x
k
k
( )
( )
4 4 2 2
3
cos sin . 2
4
9) sin cos 1 2sin cos
10) 2 . cos3 4cos 3cos
11)
Vo ânghiệm. Hướng dẫn : ĐK sin2x 0, 
 Hướng dẫn : chuyện vế đặt nhân tử chung,áp dụng công thức 
pi
pi
pi
  − = +    
≠ + = −
= −
x x x
x x x x
k x x x
2
2
2
; .
8 2 4 2 sin 2
4cos2
12) . , cos 2
16 8 sin 2 .cos2
 Hướng dẫn : Tìm ĐK, phương trình = 2(sin2x + cos2x) 
 Hướng dẫn : Viết vế trái dưới dạng vế phải dưới dạng 32
pi pi pi
pi pi
 + + ⇔ 
 
 +  
 
k k
x
k x
x
x x
 Trang 11 

 
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Dạng 1. Dạng bình phương của các phương trình lượng giác cơ bản 
Dạng chuẩn Cơng thức 
nghiệm; k Z∀ ∈ 
a ] ]2 2sin ( ) sin ( )f x g x =  
1 
b ] ]2 2cos ( ) cos ( )f x g x =  
( ) ( )
( ), ( )
f x g x k
f x g x
pi= ± +


2 
] ]2 2tan ( ) tan ( )f x g x =  ( ) ( )
( )
2
( ), ( )
f x g x k
f x k
f x g x
pi
pi pi
= ± +
 ≠ +


3 
] ]2 2cot ( ) cot ( )f x g x =  ( ) ( )
( )
( ), ( )
f x g x k
f x k
f x g x
pi
pi pi
= ± +
 ≠ +


Dạng 2. Phương trình bậc hai đưa về một hàm lượng giác 
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác: 
Dạng Điều kiện(a,b,c ; 0R a∈ ≠ ) Cách giải 
1 
2
2
sin sin 0
sin [ ( ) sin[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =
 Đặt 
sin
sin ( )
x t
f x t
=
=
2 
2
2
cos cos 0
cos [ ( ) cos[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =
 Đặt
cos
cos ( )
x t
f x t
=
=
3 
2
2
tan tan 0
tan [ ( ) sin[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =
 Đặt
tan
tan ( )
x t
f x
=
=
4 
2
2
cot cot 0
cot [ ( ) cot[ ( )] 0
a x b x c
a f x b f x c
+ + =
+ + =
 Đặt
cot
cot ( )
x t
f x t
=
=
PHẦN II 
MỘT SỐ DẠNG 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN 
 Trang 12 
 Chú ý : 
1.Nếu đặt t = sinx, t = cosx thì phải cĩ đk t ≤ 1 
2.Sinx =α 
arcsin 2
 (k )
( arcsin ) 2
x k
x k
pi
pi pi
 = α +
⇔ ∈ = − α +
Z 
 Cosx =α ⇔ x =± arccosα + 2k pi 
 Tanx =α ⇔ x = arctanα +kpi 
 Cotx =α ⇔ x = arccotα +kpi 
Dạng 3. Đại số hĩa phương trình lượng giác 
Cơ sở của phương pháp cần thcự hiện ba bước: 
• B1 nhận dạng ( ) (sin ;cos )R x R x x= và đặt : 
(ĐK: (2 1) ; )x k k Zpi≠ + ∈ 
• B2: sử dụng các biến đổi 
Để đưa ( ) (sin ;cos )R x R x x= về phương trình bậc hai: 
 2( ) 0f t at t= +β + γ = 
Hay phương trình bậc cao ( ) 0g t = phải cĩ cách giải đặc biệt. 
• B3: kiểm tra hiện tượng mất nghiệm của phương trình: sin sina x b x c+ = 
 (2 1) ;x k k Zpi= + ∈ khi 0a b c+ + = 
tan
2
x
t = 
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
1
1
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
2
2
tan
1
t
x
t
=
−
 Trang 13 
Dạng 4. Sử dụng hạng tử khơng âm 
Dạng 5. Các phương trình lượng giác cĩ phương pháp giải tổng quát 
 1.asinx + bcosx = c 
Ta cĩ: a.sinx + bcosx = c 
2 2 2 2 2 2
a b c
sin cos
a b a b a b
x x⇔ + =
+ + +
 (1) 
Vì 
2 2
2 2 2 2
a b
1
a b a b
   
+ =      + +   
Nên ∃ϕ sao cho :
2 2
2 2
a
sin
a b
b
cos
a b

ϕ =
 +

 ϕ =
 +
Cơ sở của phương pháp là sử dụng các tìm nghiệm nguyên của phương trình 
phi tuyến đặc biệt: 
1 2
1
22 2
21 1 2 2
( ) 0
( ) 0[ ( )] [ ( )] [ ( )] 0
, 0
( ) 0
nmm m
n n
n
f x
f xA f x A f x A f x
A B
f x
=
 =+ + ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⇔ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅≥ 
 =
Qua ba bước: 
 B1: biến đổi sơ cấp đưa phương trình ở giả thiết về dạng 1.(đơn giản)hay 
tổng quát (dạng hai). 
 B2: giải các phương trình tương đương mà để các phương trình trogn hệ cĩ 
cách giải đơn giản đã đọc: 
1
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0n
f x
f x
f x
=
 =
⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 =
 cho dạng tổng quát 
 B3:thơng thường phải tìm nghiệm chung cho hệ đã biết để kết luận nghiệm 
tổng quát 
 Trang 14 
Do đĩ : (1) 
2 2
c
sinx.sin cosx.cos
a b
⇔ ϕ+ ϕ =
+
2 2
c
cos(x )
a b
⇔ −ϕ =
+
 (2) 
Vì vậy 
• Nếu 
2 2
c
1
a b
≤
+
 hay 2 2 2c a b≤ + 
Thì (2) 
2 2 2 2
c c
x arccos x arccos
a b a b
   
− ϕ = ± ⇔ = ϕ±      + +   
• Nếu 
2 2
c
1
a b
>
+
hay 2 2 2c a b≤ + thì pt vơ nghiệm 
a) Pt a.sinx + bcosx = c cĩ ngiệm khi và chỉ khi a 2+ b 2 0> 
b) Phương pháp giải thường dùng :Chia 2 vế cho 2 2a b+ từ đĩ dưa về pt dạng 
cơ bản 
 2. a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 
_ Kiểm tra với x = 
2
k
pi pi+ xem cĩ là nhiệm của pt hay khơng 
_Chia 2 vế của pt cho cos2x (x 
2
k
pi pi≠ + ), ta được pt : 
a.tan2x + b.tanx + c = 0 
 Chú ý: 
1. Gặp pt khơng thuần nhất : a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (d≠ 0) 
Ta cĩ thể chọn 1 trong 2 cách trình bày sau: 
a) Viết d = d(sin2x + cos2x) sau đĩ đưa về pt thuần nhất 
b) _Trước hết kiểm tra với x = 
2
k
pi pi+ 
 _Với x 
2
k
pi pi≠ + , chia 2 vế của pt cho cos2x với lưu ý 2
2
1
1 tan
cos
x
x
= + 
2.Ngồi cách giải trên với pt thuần nhất hoặc khơng thuần nhất đối với sinx và 
cosx ta cĩ thể sử dụng cách giải sau : Dùng cơng thức đưa pt về dạng Asin2x + 
Bcos2x = C 
• sin2x = 
1 cos2
2
x−
• cos2x = 
1 cos2
2
x+
 Trang 15 
• sinx.cosx = 
sin2
2
x
Tuy nhiên cách giải này chỉ nên sử dụng đối với những pt cĩ chứa tham số 
 3. a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c (∗) 
Đặt t = sinx + cosx ( t 2≤ ) 
Ta cĩ : sinx.cosx = 
2t 1
2
−
Thay vào (*) ta được pt bậc 2 theo t, tìm t từ đĩ tìm x bằng cách thay t vào (*) 
 Chú ý: 
_Với dạng a(sinx− cosx) + bsinx.cox = c 
 Đặt t = sinx − cosx ( t 2≤ ) 
_Với dạng a sinx cosx+ + bsinx.cosx = c 
Đặt t = sinx cosx+ (0 t 2)≤ ≤ 
_với dạng a sinx cosx− + bsinx.cosx = c 
Đặt t = sinx cosx− (0 t 2)≤ ≤ 
II. VÍ DỤ 
 Trang 16 
Ví dụ 1 :Giải pt : 
2
2
tan x ( 3 1)tanx 3 0 (pt bậc hai theo tan)
 Đặt t = tanx ta được pt 
t ( 3 1)t 3 0
t 1
t 2
_ Với t =1: tanx =1 x = k (k )
4
 _Với t = 3 : tanx = 2 x k (k )
3
 Vậy pt co ù2 họ nghiệm x = 
4
pi pi
pi pi
pi
− + + =
− + + =
 =
⇔ 
=
⇔ + ∈
⇔ = + ∈
+
Z
Z
k ; x = k (k )
3
pipi pi+ ∈Z
Ví dụ 2 : Giải pt : 
3 2
3 2
2
cos x 3cos x + 2= 0 (pt bậc 3 đối với cosx)
 Đặt t = cosx ( t 1)
 Ta co ùpt : t 3t + 2 = 0
 (t 1)(t 2t 2) = 0
t 1
 t 1 3
t 1 3 (loại)
 _Với t =1 : cosx =1 x = k2
 _Với t = 1 3 :
pi
−
≤
−
⇔ − − −
 =

⇔ = −
 = +
⇔
−
x arccos(1 3) k2
cosx =1 3 (k )
x arccos(1 3) k2
pi
pi
 = − +
− ⇔ ∈
 = − − +
Z
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (1) 
Đặt u = sinx – cosx = 2 sin
4
x
pi − 
 
 với 2 2u− ≤ ≤ (2) 
Khi đĩ: u2 = 1 – sin2x ⇒ sin2x = 1 – u2 
Phương trình (1) với ẩn u cĩ dạng: 
21 (1 ) 6( 1)
2
u u− = − 
⇔ u2 + 12u -13 = 0 
 Trang 17 
 thỏa mãn (2) 
Trở về tìm x, giải: 
1
2 sin 1 sin
4 4 2
x x
pi pi   − = ⇔ − =   
    
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
Sinx + cosx +sinxcosx = 1 (1) 
Đặt s inx cos 2 sin
4
u x x
pi = + = + 
 
với 2 2u− ≤ ≤ (2) 
Khi đĩ u2 = 1 +2sinxcosx 
2 1
sin x cos
2
u
x
−
⇒ = 
Phương trình (1) với ẩn u cĩ dạng: 
 loại 
Trở về tìm x, giải: 
1
2 sin 1 sin
4 4 2
x x
pi pi   + = ⇔ + =   
   
(k, l ∈ Z) 
1
13 2
u
u
=
⇔ 
= − < −
2
4 4
3 2
4 4
x k
x l
pi pi pi
pi pi pi
 − = +
⇔ 
 − = +
2
( , )2
2
x k
k l Z
x l
pi pi
pi pi
 = +⇔ ∈

= +
2
2
1
1
2
2 3 0
1
3 2
u
u
u u
u
u
−
+ =
⇔ + − =
=
⇔ 
= − < −
2
4 4
3
4 4
2
2
2
x k
x
x k
x l
pi pi pi
pi pi
pi
pi pi
 + = +
⇔ 
 + =
=
⇔
 = +

(loại) 
Thỏa mãn (2) 
 Trang 18 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
6
4sin 3cos 6
4sin 3cos 1
x x
x x
+ + =
+ +
 (1) 
Điều kiện: 4sinx+3cosx+1 ≠ 0 
Đặt u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ϕ ) 
Trong đĩ ϕ là gĩc mà 3tan
4
ϕ = 
Điều kiện 
5 5
1
u
u
− ≤ ≤
 ≠ −
 (2) 
Phương trình (1) với ẩn u cĩ dạng: 
6
6
1
u
u
+ =
+
2 05 0
5
u
u u
u
=
⇔ − = ⇔  =
 thỏa mãn (2) 
Trở về tìm x, giải 
a) 5sin( ) 0x ϕ+ = 
b) 5sin( ) 5x ϕ+ = 
 (k, l ∈ Z) 
Ví dụ 6. Giải phương trình 
2(1- sinx – cosx) + tanx + cotx = 0 (1) 
Điều kiện: 
s inx 0
cos 0 2
x k
x
pi≠
⇔ ≠ ≠
 k Z∈ 
Biến đổi phương trình (1) về dạng: 
1
2[1 (s inx cos )] 0
s inx.cos
x
x
− + + = 
Đặt s inx cos 2 sin
4
u x x
pi = + = + 
 
2 211 2sin x cos sin cos ( 1)
2
2 2
(2)
1
u x x x u
u
u
⇒ = + ⇒ = −
− ≤ ≤⇒ 
≠ ±
sin( ) 0x
x k
x k
ϕ
ϕ pi
ϕ pi
⇔ + =
⇔ + =
⇔ = − +
sin( ) 1
2
2
2
2
x
x l
x l
ϕ
piϕ pi
pi ϕ pi
⇔ + =
⇔ + = +
 ⇔ = − + 
 
 Trang 19 
Phương trình (1) với ẩn u cĩ dạng: 
2
2
2(1 ) 0
1
u
u
− + =
−
2( 1) 0
0
1 5
2
u u u
u
u
⇔ − − =
=
⇔ ± =
Chỉ cĩ u=0 và 
1 5
2
u
−
= (thỏa mãn điều kiện(2)) 
Trở về tìm x, giải: 
a) 2 sin 0
4
x
pi + = 
 
b) 
1 5
2 sin
4 2
x
pi − + = 
 
 (k, l, m ∈ Z) 
Ví dụ 7. Giải phương trình 
4 4 2tan cot 8(t anx cotx) 9x x+ = + − (1) 
Điều kiện 
s inx 0
sin 2 0
cos 0 2
x x k
x
pi≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠
Biến đổi (1) về dạng 
4 4 2 2(1) tan cot 8(tan cot ) 7x x x x⇔ + = + + 
Đặt u = tan2x + cot2x 
2u⇒ ≥ (2) 
2 4 2tan cot 2u x x⇒ = + + 
Phương trình (1) với ẩn u cĩ dạng 
4
4
x k
x k
pi pi
pi pi
⇔ + =
⇔ = − +
1 5
sin sin
4 2 2
2
4
2
4
2
4
3 2
4
x
x l
x n
x l
x n
pi α
pi α pi
pi pi α pi
piα pi
pi α pi
− ⇔ + = = 
 
 + = +
⇔ 
 + = − +
 = − +
⇔ 
 = − +
 Trang 20 
u2 -8u – 9 = 0 
 loại 
 thỏa mãn (2) 
Trở về tìm x, giải: tan2x + cot2x = 9 
 (k∈Z) 
Ví dụ 8. Giải phương trình 
1 1 1 1
(s inx cos ) 1 t anx cotx 0
2 2 s inx cos
x
x
 + + + + + + = 
 
Điều kiện 
s inx 0
sin 2 0
cos 0 2
x x k
x
pi≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠
Biến đổi phương trình về dạng: 
1 s inx cos
s inx cos 2 0
sin x cos sin x cos
x
x
x x
+
+ + + + = 
Đặt s inx cos 2 sin
4
u x x
pi = + = + 
 
Ta được 
2
2 11 2sin x cos 1 sin x cos
2
u
u x x
−
= + ≠ ⇒ = 
Và điều kiện của u: 
2 2
1
u
u
− ≤ ≤

≠ ±
 (2) 
Phương trình đối với u cĩ dạng 
1
9
u
u
= −
⇔  =
2 2
2 2
4 4 2 2
2 2
2
sin os
9
os sin
sin os 9sin os
1 9
1 sin 2 sin 2
2 4
11
sin 2 1
4
3
os4
11
3
4 ar cos 2
11
3
ar cos 111
4 2
x c x
c x x
x c x xc x
x x
x
c x
x k
x k
pi
pi
⇔ + =
⇔ + =
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
⇔ = ± +
±
⇔ = +
 Trang 21 
2
2( 1)
2 0
1
2
( 2) 0
1
( 1) 0
0
u
u
u
u
u
u u
u
+
+ + =
−
⇔ + + =
−
⇔ + =
⇔ =
(do u+1≠ 0, thỏa mãn điều kiện (2)) 
Trở về tìm x, ta giải: 
2 sin 0
4
4
x
x k
pi
pi pi
 + = 
 
⇔ = − +
(k∈Z) 
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
sinx 2cosx
 y = 
sinx cosx+2
+
−
Vì sinx −cosx +2 = 2sin x 2 0 x
4
pi 
− + ≠ ∀ ∈ 
 
R 
Nên 
0
y là 1 giá trị của hàm số 
0 0
sinx 2cosx
y co ùnghiệm x 
sinx cosx+2
+
= ∈
−
R 
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2
0 0
0
 (y 1)sinx (y 2)cosx 2y co ùnghiệm x
(y 1) (y 2) 2y ) co ùnghiệm x
2y 2y 5 0
1 11 1 11
y
2 2
1 11
 Vậy gia ùtrị lớn nhất của y là 
2
1 1
 gia ùtrị nhỏ nhất của y là 
− − + = − ∈
⇔ − − + ≥ (− ∈
⇔ − − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
+
−
R
 R
1
2
 Trang 22 
Ví dụ 10 : Tìm k để giá trị của hàm số 
sinx 1
y = 
cosx+2
k +
 nhỏ hơn 1 
0
0
0 0
0 0
2 2 2
0 0
Vì cox + 2 0 x nên y làgia ùtrị của hàm số
sinx 1
 y co ùnghiệm x 
cox + 2
 y cox 2y sinx 1 co ùnghiệm x 
y cox sinx 1 2y co ùnghiệm x 
y 1 2y ) 
k
k
k
k
≠ ∀ ∈
+
⇔ = ∈
⇔ + = + ∈
⇔ − = − ∈
⇔ + ≥ ( −
R
R
R
R
2 2
0 0
2
2
2
2 2
0
 co ùnghiệm x 
3y y 1 0 co ùnghiệm x 
13
12
13
2 2
13
2 2
1 12 13 12 13
y
6 6
k
k
k
k
k
k
k k
∈
⇔ − − + ≤ ∈
∆ =1+12 −12 ≥ 0
 ⇔12 −13 ≥ 0
 ⇔ ≥

≥
 ⇔ 
 < −

− − 1+ −
⇒ ≤ ≤
R
R
2
2
2
1 12 13
Max y = ,theo đe àMax y 1 1 12 13 6
6
 12 13 5
k
k
k
+ −
< ⇔ + − <
⇔ − <
2 19 
6
19
6
19
6
k
k
k
⇔ <

>
⇔

 < −

 Trang 23 
Ví dụ 11 : Giải pt 
 2sin2x + 3sinx.cosx + cos2x = 0 (1) 
_Ta thấy x = 
2
k
pi pi+ khơng là nghiệm của (1) 
_Với x 
2
k
pi pi≠ + , chia 2 vế của pt cho cos2x ,ta được 
 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 
tan 1
4
( )1 1tan arctan2 2
x kx
k
x
x k
pi pi
pi

= − + = − 
 ⇔ ⇔ ∈  = − = − +     
Z 
Ví dụ 12: Với m nào pt sau cĩ nghiệm 
 sin2x + msinx.cosx + 3cos2x = 3 (1) 
Ta cĩ (1) 
1 cos2 sin2 1 cos2
. 3. 3
2 2 2
x x x
m
− +
⇔ + + = 
1 cos2 sin2 3 3cos2 6
sin2 2cos2 2
x m x x
m x x
⇔ − + + + =
⇔ + =
Pt này cĩ nghiệm 2 2 22 2m⇔ + ≥ , điều này đúng m∀ 
Vậy m∀ pt đã cho luơn cĩ nghiệm 
Ví dụ 13: Giải pt 
(1 2)+ (sinx + cosx) − sin2x 1 2 0− − = 
Đặt t = sinx + cosx ( t 2≤ ) 
Ta cĩ : sin2x = 2t 1− nên pt đã cho trở thành 
2
2
(1 2)t (t 1) 1 2 0
t (1 2)t + 2 0
t =1
t = 2
+ − − − − =
⇔ − + =

⇔ 

_Với t = 1 ta cĩ sinx + cosx = 1 
 Trang 24 
2sin x 1
4
1
sin x
4 2
x 2
4 4 ( )
3
x 2
4 4
x = 2
 ( )
x = 2
2
k
k
k
k
k
k
pi
pi
pi pi pi
pi pi pi
pi pi
 
⇔ + = 
 
 
⇔ + = 
 

+ = +
⇔ ∈
 + = +
 pi
⇔ ∈
 +
Z
Z
_Với t = 2 ta cĩ sinx + cosx = 2 
2sin x 2
4
sin x 1
4
x 2 )
4 2
x = 2 )
4
k k
k k
pi
pi
pi pi
pi
 
⇔ + ⇔ 
 
 
⇔ + = 
 
⇔ + = + pi ( ∈
⇔ + pi ( ∈
Z
Z
Vậy pt đã cho cĩ 2 họ nghiệm 
 Trang 25 
III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Giải các phương trình sau 
1. 3 37 t anx 2 t anx 3+ + − = 
2.
2 2sin os81 81 30x c x+ = 
3. 3 2 3 2 3sin os 4x c x+ = 
4. 2 2s inx 2 sin s inx 2 sin 3x x+ − + − = 
5. 4 4
1 1
os2 os2 1
2 2
c x c x− + + = 
6. 2 24 410 8sin 8 os 1 1x c x+ − − = 
7. 2s inx s inx sin cos 1x x+ + + = 
8. 2 2 24 3 4 sin 2 os( ) 13 4 os ( )
2
x y
x x c x y c x y
+ − + + = + +  
9. 2 2
17
sin 2 cos 8 sin( 10 )
2
pi
− = +x x x 
10. 33sin 3 3 cos9 sin 3x x x− = 4 
11.
2cos (2sin 3 2) 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
12.
3(cos2 cot 2 )
2sin 2 2
cot 2 cos2
+
− =
−
x x
x
x x
13. 2 2cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = + 
14. 1 sin 1 sin 2cosx x x+ + − = 
 Trang 26 
IV. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 
1. Đặt 
3
3
7 t anx
2 t anx
u
v
= +
= −
Ta thu được hệ: 
3 3
3
9
u v
u v
+ =
 + =
Kết quả: 
4
arctan( 6)
( )
x k
x k
k Z
pi pi
pi
 = +

= − +
∈
2. Đặt 
2
2
sin
os
81 1 81
1 8181
x
c x
u u
vv
 = ≤ ≤ ⇒  ≤ ≤=
Ta thu được hệ: 
30
81
u v
uv
+ =
 =
Kết quả: 
3
6
( )
x k
x k
k Z
pi pi
pi pi
 = ± +

 = ± +
∈
3. Đặt 
3 2
3 2
sin 0 1
0 1os
u x u
uv c x
 = ≤ ≤ ⇒  ≤ ≤=
Ta thu được hệ: 
3
3 3
4
1
u v
u v
 + =

+ =
Kết quả: 
4 2
( )
x k
k Z
pi pi
= +
∈
4. Đặt 
2
s inx 1 1
1 22 sin
u u
vv x
= − ≤ ≤  ⇒ 
≤ ≤= −  
Ta thu được hệ: 
2 2
3
2
u v uv
u v
+ + =
 + =
Kết quả: 
3
3
7 tan
2 t anx
u x
v
 = +
⇒ 
= −
 Trang 27 
2
2
( )
x k
k Z
pi pi= +
∈
5. ĐK: 
1 1
os2
2 2
c x− ≤ ≤ 
Đặt 
4
4
1
os2
0 12
0 11
os2
2
u c x
u
v
v c x

= − ≤ ≤ ⇒  ≤ ≤ = +
Ta được hệ: 
4 4 2 2 2 2
1 1 1
1 [( ) 2 ] 2 1 ( 2) 0
u v u v u v
u v u v uv u v uv uv
+ = + = + =  
⇔ ⇔  + = + − − = − =  
 Kết quả: 
6
3
( )
x k
x k
k Z
pi pi
pi pi
 = ± +

 = ± +
∈
6. ĐK: 2
1
os 1
8
c x≤ ≤ 
Đặt 
24 4 4
424
10 8sin 10 18
0 78 os 1
u x u
vv c x
 = + ≤ ≤ ⇒ 
≤ ≤= − 
Ta được hệ: 
4 4
1
17
u v
u v
− =
 + =
Kết quả: 
3
x k
pi pi= ± + (k∈Z) 
7. Hướng dẫn: 
(1) 2s inx s inx cos os 0x c x⇔ + + + = 
Đặt s inx 0 1u u= ⇒ ≤ ≤ 
Ta được: 2 2cos cos 0u u x+ + − = 
Phương trình ẩn u, giải u theo cosx 
Kết quả: 
2
5 1
arcsin 2
2
( )
x k
x k
k Z
pi
pi pi
=

 − = − +  
 
∈
 Trang 28 
8. 2 2 2(1) 4 os ( ) 2[4 3 4 ]cos( ) [6 4 13] 0c x y x x x y x x⇔ + − − − + − − − = (2) 
Đặt u=cos(x+y) 
2 2 2(2) (1) 4 2[4 3 4 ] [6 4 13] 0u x x u x x⇔ ⇔ − − − − − − = 
Xét '∆ , ta được hệ: 
2
2
4 3 4
os( )
4
x
x x
c x y
=

 − −
+ =

Kết quả: 
1
1
2
2
2 2
3
x
y k
pi pi
=


= − +
 hoặc 
2
1
2
2
2 2
3
x
y k
pi pi
=


= − − +
( )k Z∈ 
9. 
1 cos 4 1 cos6 17 17
sin cos10 cos sin10
2 2 2 2
x x
x x
pi pi− −
⇔ − = + 
 cos10 cos 4 cos16 0x x x⇔ 2 + + = 
 cos10 cos10 cos6 0x x x⇔ 2 + 2 = 
 cos10 (1 cos6 ) 0x x⇔ + = 
Kết quả: 
pi pi
pi
= +
=
20 10
6
k
x
k
x
10. ⇔ sin 9 3 cos9x x= 
 Kết quả: 
 ⇔
27 9
k
x
pi pi
= + ( )k Z∈ 
11. ⇔ 2sin 2 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2x x x x+ − − = + 
 ⇔ 22cos 3 2 cos 12 0x x− − = 
 Kết quả: 2
4
x k
pi pi= + ( )k Z∈ 
12. 
( )k Z∈ 
 Trang 29 
cos2
3(cos2 )3(cos2 cot 2 ) sin 2
cos2cot 2 cos2 cos2
sin 2
1
3cos2 (1 )
sin 2
1
cot 2 ( 1 )
sin 2
3(sin 2 1)
(1 sin 2 )
3(sin 2 1)
2(sin 2 1)
(1 sin 2 )
x
xx x x
xx x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
++
=
− −
+
=
− +
+
=
−
+
⇒ = +
−
Kết quả: 
( )
4
12
7
12
)
x k
x k
x k
k Z
pi pi
pi pi
pi pi
= +
= − +
= +
∈
13. 
2 2 2 2
2
(cos3 2 cos 3 ) (cos 3 2 cos 3 )2
cos3 2 cos 3
x x x x
x x
+ − ≤ + − ≤ 4
⇔ + − ≤ 2
 Mà 22(1 cos ) 2x+ ≥ 
Kết quả: vơ nghiệm 
14. Kết quả: 
 x kpi= 
 Trang 30 

 
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Phương pháp 1: một số phương trình lượng giác khơng ở dạng chính tắc, ta cĩ 
thể sử dụng các cơng thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương 
trình tích: 
Phương pháp 2: khi phép phân tích thành tích khơng thực hiện được, ta cố gắng 
biễu diễn tất cả số hạng bằng một hàm số lượng giác duy nhất, đĩ là ẩn số của 
phương trình. Cĩ thể chọn ẩn số bằng quy tắc sau: 
_Nếu phương trình khơng thay đổi khi ta thế: 
a) x bởi −x, chọn ẩn la cosx 
b) x bởi pi − x, chọn ẩn là sinx 
c) x bởi pi + x, chọn ẩn là tanx 
 _Nếu cả ba cách đều thực hiện được, chọn ẩn là cos2x 
 _Nếu cả ba cách đều khơng thực hiện được, chọn ẩn là tan
2
x
PHẦN III PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT 
f(x).g(x).h(x) = 0⇔ f(x) = 0 ∨ h(x) = 0 
(f(x), g(x), h(x) là các hàm số lượng giác) 
 Trang 31 
II. VÍ DỤ 
Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx + sin3x + sin5x = 0 
 GIẢI 
Sinx + sin3x + sin5x = 0 ⇔ sin3x + 2sin3x . cos2x = 0 
1
2sin3 cos2 0
2
sin3 0
1
cos2 0
2
3
3
pi
pi pi
 ⇔ + = 
 
=
⇔
 + =

 =
⇔ 
 = ± +
x x
x
x
x k
x k
Ví dụ 2: Giải phương trình : tan3x + tan2x − 3tanx = 3 
 GIẢI 
Điều kiện: x 
2
pi
≠ + 2pik , ∈k Z 
3 2
2
2
2
tan tan 3tan 3 0
tan (tan 1) 0
tan 3)(tan 1) 0
tan 3 0
tan 1 0
(
3
(
4
nhận)
nhận)
pi pi
pi pi
+ − − =
⇔ + =
⇔ ( − + =
 − =
⇔  + =
 = ± +
⇔ 
 = − +
x x x
x x
x x
x
x
x k
x k
Ví dụ 3:Giải phương trình:
2
1 sin 2
1 tan 2
cos 2
−
+ =
x
x
x
 GIẢI 
Điều kiện 2 x , Z
2 4 2
pi pi pipi≠ + ⇔ ≠ + ∈x k k k 
Phương trình tương đương: 
 Trang 32 
2 2
2
cos 2 sin 2 .cos 2 sin 2 1 0
sin 2 (cos 2 sin 2 1) 0
sin 2 0 2
sin 2 cos2 1 2
sin 2
4 2
pi
pi
+ + − =
⇔ − + =
 == ⇔ ⇔ − =    − =   
x x x x
x x x
x k
x
x x
x
2
4
2
pi
pi pi
pi pi
 =

⇔ = +

 = +

x k
x k
x k
(loại) ( )∈k Z 
2
pi
⇔ =x