Toán học - Phương trình chứa căn đặc biệt

 Đề 1:
Câu 1 :
Chứng minh : số A = là một số nguyên.
Hướng dẫn câu 1: A = 
Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh : a+ b + c = 
Hướng dẫn câu 2 
Câu 3 : Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh : 
Hướng dẫn câu 3: 
 suy ra 
Tương tự : z + x - y = ; x + y - z = 
Do đó ta có : 
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị x,y,z thỏa mãn điều kiện :
Hướng dẫn câu 4:
điều kiện x,y,z ³ 0 và x +z ³y
Vậy x = y ³0 hoặc y = z ³0
Câu 5 :Cho biết (1)
Hãy tính : E = x+ y.
Hướng dẫn câu 5:
Nhân hai vế (1) cho ta có : -3()
Nhân hai vế (1) cho ta có -3()
Cộng 2 và 3 ta có : x+y = 0.
Câu 6 : Cho x và y thỏa (1)
Chứng minh x + y = 1.
Hướng dẫn câu 6:
Cách 1: làm giống câu 5.
Cách 2: 1 suy ra 
Suy ra 
Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và (1)
Chứng minh : 
Hướng dẫn câu 7:
Điều kiện x+y, y + z và x+z ³0
Bình phương hai vế (1) ta có 
Câu 8 :
Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh :
 là một số hửu tỉ 
Hướng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0
Ta có 
Câu 9: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
	 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :B = 
Hướng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại là x ³ 0 do đó A = + x ³ 0 Nên MinA = 0 khi và chỉ khi x =0
chú ý : cách giải sai : A = ( Ở đây dấu bằng không thể xảy ra vì khi đó là điều vô lí.
b) Điều kiện x £ 3 ; Đặt y = suy ra y2 = 3-x Do đó B = 3-y2 + y = 
Câu 10 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x,y là số dương và 2x + xy = 4.
Hướng dẫn câu 10 :
Ta có A = . áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2x và xy ta có : 
A = £
Câu 11 : 
ĐỀ II
Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2005-2006)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :
b) Chứng minh rằng : , với mọi số nguyên dương n .
Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T = 
Câu 3: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 1999-2000)
Rút gọn : B = 
Câu 4: (65/400)
Tìm các số x,y, z thỏa 
Câu 5 : (67/400)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1. chứng minh rằng số :
A = là một số hữu tỉ.
Câu 6 (80/1001)
Tìm x biết : x = trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Câ 7: (82/1001)
Rút gọn : A = 
Câu 8: (84/1001)
Cho số x = 
a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x2 - 3x - 18 = 0 .
b) Tính x .
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a) 
b) ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A = 
b) Giải phương trình: = -x2 + 2x +1
Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999)
Tính giá trị biểu thức : A = (3x3 +8x2 +2 )2006 với x = 
Câu 12 ( bài 11/tr120 cđbđtvà cực trị)
Cho a,b,c ³ 0
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ³ ĐỀ 3:
Câu 1 :
Cho A = 	;So sánh A và B.
Hướng dẫn : Ta có : 
Do đó A > B
Câu 2:Rút gọn biểu thức :
.
Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây)
Tìm các giá trị của x,y,z thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn:Đk : x³ 2000 ;y³ 2001 ; z ³ 2002
Phương trình đã cho tương đương 
Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh đẳng thức :
Hướng dẫn:
Ta có VT = 
CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh rằng số : x0 là một nghiệm của phưong trình: x4 - 16x2 + 32 = 0
Hướng dẫn: Ta có
: 
Vậy x0 là nghiệm của phương trình x4 - 16x2 + 32 = 0
Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây)
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:
Hướng dẫn:
Đặt 
Phương trình đã cho tương đương a+ Û a2 -6a + 1 =0 có nghiệm a1 = 3-2
- Với a1 = 3-2suy ra (loại).
- Với a1 = 3+2suy ra
Vậy n = 2
Câu 7:
a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì 
b) Rút gọn : 
Câu 8 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = 
Hướng dẫn:
Đk x ³ 2002
Đặt a = ; và b = Ta có a2= x -2001 Þ x +2= a2 + 2003 
và x-2002 = b2 ; x = b2 + 2002.
A = 
Aùp dụng bất đẳng thức côsi ta có : 
Do đó A £ ; Đẳng thức xảy ra khi 
CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh)
	a) Tính giá trị biểu thức : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004.
	Trong đó .
	b) Rút gọn :
	P = 
Hướng dẫn :
Do đó : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x3-3x + y 3-3y +2004=6+34+2004=2044.
Câu 10:
Tìm số nguyên n thỏa mãn đẳng thức :
Hướng dẫn:
Gọi x = 
Ta có x3 -3x(-2) -2n =0 suy ra n = (83 -2.8.(-2)):2 =280
Câu 11:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho : 
Hướng dẫn : ta có vì là số vô tỉ nên là những căn thức đồng dạng chứa
Do đó đặt với a, b Ỵ N ; Ta có : a+b=3.
Vậy 
Các cặp số x, y cần tìm là : (221;884);(884;221);(0;1989);(1989;0)
ĐỀ 4
Câu 1
Với x, y là các số dương thỏa mãn : 
Tính giá trị biểu thức : S = 
Hướng dẫn :với x,y > 0 ta có :
Do đó : 2000 = S2 +1 suy ra S =
 Câu 2: Trục căn thức ở mẫu : A = 
Hướng dẫn :
A = 
Câu 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Hướng dẫn :
Câu 4:Rút gọn biểu thức :
Câu 5:
Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.; b) Rút gọn A.; c) So sánh A với 
Câu 6: Không dùng máy tính hãy so sánh: và 
Câu 7: Chứng minh đẳng thức : Với a, b trái dấu.
Hướng dẫn :
Vì a,b trái dấu nên ;Ta có : 
Câu 8: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đà Nẵng)
Thu gọn biểu thức : P = .
Hướng dẫn.
P = 
 Câu 9:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 
Hướng dẫn:
P = =
Vậy P ³ 1, Đẳng thức xảy ra khi :(-x - 2006)(x+2007) ³0Û -2007£ x £ -2006
Câu 10: 
Rút gọn biểu thức : 	P=
Hướng dẫn:
Nếu a+b³ c thì P=2
Nếu a+b< c thì P=2
Câu 11:Tính giá trị biểu thức : P = x3 +3x +2 với