Toán - Bài tập tích phân

Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 1 
 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ 
Dạng 1: Tỏch phõn thức 
Cõu 1. xI dx
x x
2 2
2
1 7 12
=
- +
ũ 
 ã I dx
x x
2
1
16 91
4 3
ổ ử
= + -ỗ ữ- -ố ứũ = 
( )x x x
2
116 ln 4 9 ln 3+ - - - = 1 25ln 2 16 ln3+ - . 
Cõu 2. dxI
x x
2
5 3
1
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= - + +
+ +
 ị I x x
x
2
2
21 1 3 1 3ln ln( 1) ln 2 ln5
2 2 2 812
ộ ự
= - - + + = - + +ờ ỳ
ở ỷ
Cõu 3. xI dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
- - +
ũ ã I
2 4 13 7 14ln ln ln 2
3 3 15 6 5
= - + + 
Dạng 2: Đổi biến số 
Cõu 4. xI dx
x
2
4
( 1)
(2 1)
-
=
+
ũ ã Ta cú: 
x xf x
x x
2
1 1 1( ) . .
3 2 1 2 1
Âổ ử ổ ử- -
= ỗ ữ ỗ ữ+ +ố ứ ố ứ
 ị xI C
x
3
1 1
9 2 1
ổ ử-
= +ỗ ữ+ố ứ
Cõu 5. 
( )
( )
xI dx
x
991
101
0
7 1
2 1
-
=
+
ũ 
 ã 
( )
x dx x xI d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
ổ ử ổ ử ổ ử- - -
= =ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
+ + +ố ứ ố ứ ố ứ+
ũ ũ 
 x
x
100
1001 1 7 1 11 2 1
09 100 2 1 900
ổ ử- ộ ự= ì = ở - ỷỗ ữ+ố ứ
Cõu 6. xI dx
x
1
2 2
0
5
( 4)
=
+
ũ ã Đặt t x2 4= + ị I
1
8
= 
Cõu 7. I dx
x x
4 3
4
1
1
( 1)
=
+
ũ ã Đặt t x2= ị 
tI dt
t t
3
2
1
1 1 1 3ln
2 4 21
ổ ử
= - =ỗ ữ
+ố ứ
ũ 
Cõu 8. dxI
x x
3
6 2
1 (1 )
=
+
ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 2 
 ã Đặt : x
t
1
= ị tI dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
11
1 1
ổ ử
= - = - + -ỗ ữ
+ +ố ứ
ũ ũ = 
117 41 3
135 12
p-
+ 
Cõu 9. dxI
x x
2
10 2
1 .( 1)
=
+
ũ ã 
x dxI
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
ũ . Đặt t x5= ị 
dtI
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)
=
+
ũ 
Cõu 10. xI dx
x
1 7
2 5
0 (1 )
=
+
ũ ã Đặt t x dt xdx21 2= + ị = ị 
tI dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1.
2 4 2
-
= =ũ 
Cõu 11. xI dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )
-
=
+
ũ ã 
x xI dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
-
=
+
ũ . Đặt t x7= ị 
tI dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
-
=
+ũ 
Cõu 12. xI dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )
=
+
ũ 
 ã xI dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1. .
(1 ) 1 1
= =
+ ổ ử
+ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ . Đặt t dt dx
x x2 3
1 21= + ị = - . 
 Cỏch 2: Ta cú: x xdxI
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )
=
+ +
ũ . Đặt t x dt xdx21 2= + ị = 
 ị tI dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 11 1
2 2 2002.2
ổ ử ổ ử-
= = - - =ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ 
Cõu 13. I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= -ũ 
 ã Đặt dt t tt x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 11 3 (1 )
3 3 7 8 1683
ổ ử-
= - ị = - ị = ị = - = - =ỗ ữ
ố ứũ 
Cõu 14. xdxI
x
1
0 3( 1)
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x x x x
x x
2 3
3 3
1 1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
- -+ -= = + - +
+ +
 I x x dx1 2 3
0
1( 1) ( 1)
8
- -ộ ựị = + - + =ở ỷũ 
Cõu 15. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
+
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x x
x x
x
2 2
4 2
2
11
1
11
+
+
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
ổ ử
= - ị = +ỗ ữ
ố ứ
 ị dtI dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
ổ ử
= = -ỗ ữ
- +- ố ứ
ũ ũ
t
t
3 / 21 2 1 2 1.ln ln
12 2 2 2 2 2 1
ổ ử- -
= = ỗ ữỗ ữ+ +ố ứ
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 3 
Cõu 16. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
-
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x x
x x
x
2 2
4 2
2
1 1
1
11
-
-
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
ổ ử
= + ị = -ỗ ữ
ố ứ
 ị dtI
t
5
2
2
2 2
= -
+
ũ . 
 Đặt dut u dt
u2
2 tan 2
cos
= ị = ; u u u u1 2
5 5tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= ị = = ị = 
 ị 
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
ổ ử
= = - = -ỗ ữ
ố ứ
ũ 
Cõu 17. xI dx
x
1 4
6
0
1
1
+
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ - + + - +
= = + = +
+ + + - + + + +
 ị d xI dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
3 4 3 4 31 ( ) 1
p p p
= + = + =
+ +
ũ ũ 
Cõu 18. 
xI dx
x x
2 2
3
1
1-
=
+
ũ ã Ta cú: xI dx
x
x
2 2
1
1 1
1
-
=
+
ũ . Đặt t x x
1
= + ị I 4ln
5
= 
Cõu 19. xdxI
x x
1
4 2
0 1
=
+ +
ũ . ã Đặt t x2= ị 
dt dtI
t t
t
1 1
2 220 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2
p
= = =
+ + ổ ửổ ử
+ + ỗ ữỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ 
Cõu 20. xI dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1
+
+
=
- +
ũ 
 ã Ta cú: x x
x x x
x
2 2
4 2 2
2
11
1
11 1
+
+
=
- + + -
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
ổ ử
= - ị = +ỗ ữ
ố ứ
 ị dtI
t
1
2
0 1
=
+
ũ . Đặt 
dut u dt
u2
tan
cos
= ị = ị I du
4
0 4
p
p
= =ũ 
Cõu 21. xI dx
x
3
23
4
0 1
=
-
ũ 
 ã xI dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
pổ ử
= = + = - +ỗ ữ
- + - +ố ứ
ũ ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 4 
 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ Vễ TỈ 
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 
Cõu 1. xI dx
x x23 9 1
=
+ -
ũ 
 ã xI dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = - - = - -
+ -
ũ ũ ũ ũ 
 + I x dx x C2 31 13= = +ũ + I x x dx22 9 1= -ũ x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 19 1 (9 1) (9 1)
18 27
= - - = - +ũ 
 ị I x x C
3
2 321 (9 1)
27
= - + + 
Cõu 2. x xI dx
x x
2
1
+
=
+
ũ 
 ã x x dx
x x
2
1
+
+
ũ 
x xdx dx
x x x x
2
1 1
= +
+ +
ũ ũ . 
 + xI dx
x x
2
1
1
=
+
ũ . Đặt t= x x t x x21 1+ Û - = x t3 2 2( 1)Û = - x dx t t dt2 2
4 ( 1)
3
Û = - 
 ị t dt t t C2 34 4 4( 1)
3 9 3
- = - +ũ = ( )x x x x C
3
1
4 41 1
9 3
+ - + + 
 + xI dx
x x
2
1
=
+
ũ = 
d x x
x x
2 (1 )
3 1
+
+
ũ = x x C2
4 1
3
+ + 
 Vậy: ( )I x x C
34 1
9
= + + 
Cõu 3. xI dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
ũ ã Đặt t x2 1= + . I = 
t dt
t
3 2
1
2 ln 2
1
= +
+ũ . 
Cõu 4. dxI
x x
6
2 2 1 4 1
=
+ + +
ũ ã Đặt t x4 1= + . I
3 1ln
2 12
= - 
Cõu 5. I x x dx
1
3 2
0
1= -ũ ã Đặt: t x21= - ị ( )I t t dt
1
2 4
0
2
15
= - =ũ . 
Cõu 6. xI dx
x
1
0
1
1
+
=
+
ũ 
 ã Đặt t x= ị dx t dt2 .= . I = t tdt
t
1 3
0
2
1
+
+ũ = t t dtt
1
2
0
22 2
1
ổ ử
- + -ỗ ữ+ố ứũ = 
11 4 ln2
3
- . 
Cõu 7. xI dx
x x
3
0
3
3 1 3
-
=
+ + +
ũ 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 5 
 ã Đặt t x tdu dx1 2= + ị = ị t tI dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1(2 6) 6
13 2
-
= = - +
++ +
ũ ũ ũ
33 6 ln
2
= - + 
Cõu 8. I x x dx
0
3
1
1
-
= +ũ 
 ã Đặt t tt x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
91 1 3 3( 1) 3
7 4 28
ổ ử
= + ị = + ị = ị = - = - = -ỗ ữ
ố ứũ 
Cõu 9. xI dx
x x
5 2
1
1
3 1
+
=
+
ũ 
 ã Đặt tdtt x dx 23 1
3
= + ị = ị 
t
tdtI
t t
22
4
2
2
1 1
3 2.
31.
3
ổ ử- +ỗ ữỗ ữ
ố ứ=
-
ũ 
dtt dt
t
4 4
2
2
2 2
2 ( 1) 2
9 1
= - +
-
ũ ũ 
 tt t
t
3
4 42 1 1 100 9ln ln .
9 3 1 27 52 2
ổ ử -
= - + = +ỗ ữ +ố ứ
Cõu 10. x xI dx
x
3 2
0
2 1
1
+ -
=
+
ũ 
 ã Đặt x t x t21 1+ = Û = - ị dx tdt2= 
 ị t t tI tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 542 2 (2 3 ) 2
5 5
ổ ử- + - -
= = - = - =ỗ ữ
ố ứũ ũ 
Cõu 11. x dxI
x x
1 2
0
2
( 1) 1
=
+ +
ũ 
 ã Đặt t x t x tdt dx21 1 2= + ị = + ị = 
 t tI tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2.2 2 2 2
3 3
ổ ửổ ử- -
ị = = - = - - =ỗ ữỗ ữ
ố ứ ố ứũ ũ 
Cõu 12. 
( )
xI dx
x
4
2
0
1
1 1 2
+
=
+ +
ũ 
 ã Đặt dxt x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
= + + ị = ị = -
+
 và t tx
2 2
2
-
= 
 Ta cú: I = t t t t t tdt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 23
2 2 2
ổ ử- + - - + -
= = - + -ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ 
 = t t t
t
21 23 4 ln
2 2
ổ ử
- + +ỗ ữỗ ữ
ố ứ
= 12 ln 2
4
- 
Cõu 13. xI dx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 6 
 ã xI dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
ổ ử
= -ỗ ữỗ ữ+ +ố ứ
ũ = ( )x x x
8
2 2
31 ln 1
ộ ự+ - + +ở ỷ = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - + 
Cõu 14. I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2= - -ũ 
 ã I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= - - = - + - -ũ ũ . Đặt t x x22= - ị I
2
15
= - . 
Cõu 15. x x xI dx
x x
2 3 2
20
2 3
1
- +
=
- +
ũ 
 ã x x xI dx
x x
2 2
20
( )(2 1)
1
- -
=
- +
ũ . Đặt t x x2 1= - + I t dt
3
2
1
42 ( 1)
3
ị = - =ũ . 
Cõu 16. x dxI
x
2 3
3 20 4
=
+
ũ 
 ã Đặt t x x t xdx t dt3 2 2 3 24 4 2 3= + ị = - ị = ị I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8( 4 ) 4 2
2 2 5
ổ ử
= - = - +ỗ ữ
ố ứ
ũ 
Cõu 17. dxI
x x
1
211 1-
=
+ + +
ũ 
 ã Ta cú: x x x xI dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 )- -
+ - + + - +
= =
+ - +
ũ ũ 
xdx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 11
2 2- -
ổ ử +
= + -ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ 
 + I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 11 ln | 1
2 2 --
ổ ử ộ ự= + = + =ỗ ữ ở ỷố ứ
ũ 
 + xI dx
x
1 2
2
1
1
2-
+
= ũ . Đặt t x t x tdt xdx2 2 21 1 2 2= + ị = + ị = ị I2= 
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)
=
-
ũ 
 Vậy: I 1= . 
 Cỏch 2: Đặt t x x2 1= + + . 
Cõu 18. 
( )x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3
-
= ũ ã Ta cú: I dx
x x
1
1 3
2 3
1
3
1 11 .ổ ử= -ỗ ữ
ố ứ
ũ . Đặt t
x2
1 1= - ị I 6= . 
Cõu 19. xI dx
x
2 2
1
4 -
= ũ 
 ã Ta cú: xI xdx
x
2 2
2
1
4 -
= ũ . Đặt t = x t x tdt xdx2 2 24 4- ị = - ị = - 
 ị I = t tdt t tdt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2(1 ) ln
24 4 4
ổ ử- -
= = + = +ỗ ữ+- - - ố ứ
ũ ũ ũ = 
2 33 ln
2 3
ổ ử-ỗ ữ- +
ỗ ữ+ố ứ
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 7 
Cõu 20. xI dx
x x
2 5
2 22 ( 1) 5
=
+ +
ũ ã Đặt t x2 5= + ị 
dtI
t
5
2
3
1 15ln
4 74
= =
-
ũ . 
Cõu 21. xI dx
x x
27
3 21
2-
=
+
ũ 
 ã Đặt t x6= ị t tI dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 15 5 1
( 1) 1 1
ộ ự-
= = - + -ờ ỳ
+ + +ở ỷ
ũ ũ
2 55 3 1 ln
3 12
pổ ử
= - + -ỗ ữ
ố ứ
Cõu 22. I dx
x x
1
20
1
1
=
+ +
ũ 
 ã Đặt t x x x2 1= + + + ị dtI t
t
1 3 1 3
1
1
2 3 2 3ln(2 1) ln
2 1 3
+ + +
= = + =
+ũ 
Cõu 23. xI dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +
ũ 
 ã Đặt x t2 1+ + = ị I t dt
t t
4
2
3
42 36 42 16 12 42 ln
3
ổ ử
= - + - = - +ỗ ữ
ố ứ
ũ 
Cõu 24. xI dx
x x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1
=
+ + + + +
ũ 
 ã Đặt t x 1= + ị t t dtI t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1) 2 ( 1)
( 1)
-
= = -
+
ũ ũ t
23
1
2 2( 1)
3 3
= - = 
Cõu 25. x x xI dx
x
32 2 3
4
1
2011- +
= ũ 
 ã Ta cú: xI dx dx M N
x x
32 2 2 22
3 3
1 1
1 1
2011
-
= + = +ũ ũ 
 xM dx
x
32 2 2
3
1
1 1-
= ũ . Đặt t
x
3
2
1 1= - ị M t dt
3 7
32
3
0
3 21 7
2 128
-
= - = -ũ 
 N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 140772011
162
- ộ ự= = = - =ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ 
 ị I
314077 21 7
16 128
= - . 
Cõu 26. dxI
x x
1
33 30 (1 ). 1
=
+ +
ũ 
 ã Đặt t x3 31= + ị t dtI dt
t t t t
3 32 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
= =
- -
ũ ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 8 
 dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 13 342 3
33
11
11 1. 1
-
ổ ử
-ỗ ữ
ố ứ= = =
ộ ự ổ ửổ ử -- ỗ ữờ ỳỗ ữ
ố ứố ứở ỷ
ũ ũ ũ 
 Đặt dtu du
t t3 4
1 31= - ị = ị u uI du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0 0
0
1 1 1
13 3 3 2
3
-
-
ổ ử
ỗ ữ
= = = = =ỗ ữ
ỗ ữỗ ữ
ố ứ
ũ ũ 
Cõu 27. xI dx
x x
x
2 2 4
23
1 1
=
ổ ử
- +ỗ ữ
ố ứ
ũ 
 ã Đặt t x2 1= + 
 ị tI dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2
-
=
-
ũ = 
t t dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2ln
3 4 4 22 2
ổ ử- + +
= + = + ỗ ữỗ ữ-- - ố ứ
ũ ũ ũ 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 
Cõu 28. ( )xI x x dx
x
1
0
1 2 ln 1
1
ổ ử-ỗ ữ= - +ỗ ữ+ố ứ
ũ 
 ã Tớnh xH dx
x
1
0
1
1
-
=
+
ũ . Đặt x t tcos ; 0; 2
pộ ự
= ẻ ờ ỳ
ở ỷ
 ị H 2
2
p
= - 
 ã Tớnh K x x dx
1
0
2 ln(1 )= +ũ . Đặt 
u x
dv xdx
ln(1 )
2
ỡ = +
ớ
=ợ
 ị K 1
2
= 
Cõu 29. I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
= + -ũ 
 ã I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
+ -ũ = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ũ + x x dx
2
2 2
2
4
-
-ũ = A + B. 
 + Tớnh A = x x dx
2
5 2
2
4
-
-ũ . Đặt t x= - . Tớnh được: A = 0. 
 + Tớnh B = x x dx
2
2 2
2
4
-
-ũ . Đặt x t2sin= . Tớnh được: B = 2p . 
 Vậy: I 2p= . 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 9 
Cõu 30. 
( )x dxI
x
2 2
4
1
3 4
2
- -
= ũ 
 ã Ta cú: xI dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2
-
= -ũ ũ . 
 + Tớnh I1 = dxx
2
4
1
3
2
ũ = x dx
2
4
1
3 7
2 16
- =ũ . 
 + Tớnh xI dx
x
2 2
2 4
1
4
2
-
= ũ . Đặt x t dx tdt2sin 2 cos= ị = . 
 ị tdtI t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
p p p
p p p
ổ ử
= = = - =ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ 
 Vậy: ( )I 1 7 2 3
16
= - . 
Cõu 31. x dxI
x
1 2
60 4
=
-
ũ 
 ã Đặt t x dt x dx3 23= ị = ị dtI
t
1
20
1
3 4
=
-
ũ . 
 Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2
pộ ự
= ẻ ị =ờ ỳở ỷ
ị I dt
6
0
1
3 18
p
p
= =ũ . 
Cõu 32. xI dx
x
2
0
2
2
-
=
+ũ ã Đặt x t dx tdt2 cos 2sin= ị = - ị 
tI dt
2
2
0
4 sin 2
2
p
p= = -ũ . 
Cõu 33. x dxI
x x
1 2
20 3 2
=
+ -
ũ 
 ã Ta cú: x dxI
x
1 2
2 20 2 ( 1)
=
- -
ũ . Đặt x t1 2 cos- = . 
 ị t tI dt
t
22
22
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2 cos )
p
p
+
= -
-
ũ = ( )t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2
p
p
+ +ũ = 
3 3 4
2 2
p
+ - 
Cõu 34. x x dx
1
2
2
0
1 2 1- -ũ ã Đặt x tsin= ị I t t tdt
6
0
3 1(cos sin )cos
12 8 8
p
p
= - = + -ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 10 
 Dạng 3: Tớch phõn từng phần 
Cõu 35. I x dx
3
2
2
1= -ũ 
 ã Đặt 
xdu dxu x
xdv dx v x
2
21 1
ỡỡ =ù ù= - ịớ ớ -=ùợ ù =ợ
 xI x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 11 . 5 2 1
2 1 1
ộ ự
ị = - - = - - +ờ ỳ
ờ ỳ- -ở ỷ
ũ ũ 
 dxx dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
= - - -
-
ũ ũ I x x2 3 25 2 ln 1= - - + - 
 ị ( )I 5 2 1ln 2 1 ln2
2 4
= - + + 
 Chỳ ý: Khụng được dựng phộp đổi biến x
t
1
cos
= vỡ [ ]2;3 1;1ộ ự ẽ -ở ỷ 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 11 
 TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1: Biến đổi lượng giỏc 
Cõu 1. x xI dx
x x
28cos sin 2 3
sin cos
- -
=
-ũ 
 ã ( )x x xI dx x x x x dx
x x
2(sin cos ) 4 cos2 sin cos 4(sin cos
sin cos
- + ộ ự= = - - +ở ỷ-ũ ũ 
 x x C3cos 5sin= - + . 
Cõu 2. x x xI dx
x
cot tan 2 tan 2
sin 4
- -
= ũ 
 ã Ta cú: x x x xI dx dx dx C
x x xx2
2cot 2 2 tan 2 2 cot 4 cos4 12
sin 4 sin 4 2sin 4sin 4
-
= = = = - +ũ ũ ũ 
Cõu 3. 
x
I dx
x x
2cos
8
sin 2 cos2 2
pổ ử+ỗ ữ
ố ứ=
+ +
ũ 
 ã Ta cú: 
x
I dx
x
1 cos 21 4
2 2 1 sin 2
4
p
p
ổ ử
+ +ỗ ữ
ố ứ=
ổ ử
+ +ỗ ữ
ố ứ
ũ 
x dxdx
x x x
2
cos 21 4
2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8
p
p p p
ổ ử
ổ ửỗ ữ+ỗ ữỗ ữố ứ= +ỗ ữổ ử ộ ựổ ử ổ ửỗ ữ+ +ỗ ữ + + +ỗ ữ ỗ ữờ ỳ ữố ứỗ ố ứ ố ứở ỷ ứố
ũ ũ 
x dxdx
x x2
cos 21 14
2 32 2 1 sin 2 sin
4 8
p
p p
ổ ửổ ử
+ỗ ỗ ữ ữố ứỗ ữ= +
ổ ử ổ ửỗ ữ+ + +ỗ ữ ỗ ữ ữỗ ố ứ ố ứ ứố
ũ ũ 
 x x C1 3ln 1 sin 2 cot
4 84 2
p pổ ửổ ử ổ ử
= + + - + +ỗ ữỗ ữ ỗ ữữỗ ố ứ ố ứứố
Cõu 4. dxI
x x
3
2 3 sin cos
p
p
=
+ -
ũ 
 ã dxI
x
3
1
2 1 cos
3
p
p p
=
ổ ử
- +ỗ ữ
ố ứ
ũ = 
dxI
x2
3
1
4 2sin
2 6
p
p p
=
ổ ử
+ỗ ữ
ố ứ
ũ = 
1
4 3
. 
Cõu 5. I dx
x
6
0
1
2sin 3
p
=
-
ũ 
 ã Ta cú: I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2 sin sin sin sin
3 3
p p
p p
= =
- -
ũ ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 12 
x x
dx dx
x xx
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2 cos .sin
3 2 6 2 6
p p p pp
p p p
ổ ửổ ử ổ ử
+ - -ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứố ứ= =
ổ ử ổ ử- + -ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ 
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2sin cos
2 6 2 6
p pp p
p p
ổ ử ổ ử
- +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ= +
ổ ử ổ ử
- +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
p pp pổ ử ổ ử
= - - + =ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Cõu 6. I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
p
= + +ũ . 
 ã Ta cú: x x x x4 4 6 6(sin cos )(sin cos )+ + x x33 7 3cos4 cos8
64 16 64
= + + ị I 33
128
p= . 
Cõu 7. I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
p
= +ũ 
 ã I x x dx x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
p p
ổ ử ổ ử
= - = - =ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ 
Cõu 8. I x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .
p
= -ũ 
 ã A = ( )xdx x d x
2 2 25 2
0 0
cos 1 sin (sin )
p p
= -ũ ũ = 
8
15
 B = x dx x dx
2 2
2
0 0
1cos . (1 cos2 ).
2
p p
= +ũ ũ = 4
p 
 Vậy I = 8
15
 – 
4
p . 
Cõu 9. 
2
2
0
I cos cos 2x xdx
p
= ũ 
 ã I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
2 4
p p p
= = + = + +ũ ũ ũ 
 x x x
2
0
1 1( sin2 sin 4 )
4 4 8
p
p
= + + = 
Cõu 10. xI dx
x
3
2
0
4sin
1 cos
p
=
+ũ 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 13 
 ã x x x x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin
-
= = - = -
+
 I x x dx2
0
(4sin 2sin 2 ) 2
p
ị = - =ũ 
Cõu 11. I xdx
2
0
1 sin
p
= +ũ 
 ã x x x xI dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
p pổ ử
= + = +ỗ ữ
ố ứũ ũ
x dx
2
0
2 sin
2 4
p pổ ử
= +ỗ ữ
ố ứũ 
 x xdx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4
p
p
p
p p
ộ ự
ờ ỳổ ử ổ ử
= + - +ờ ỳỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứờ ỳ
ờ ỳở ỷ
ũ ũ 4 2= 
Cõu 12. dxI
x
4
6
0 cos
p
= ũ ã Ta cú: I x x d x
4
2 4
0
28(1 2 tan tan ) (tan )
15
p
= + + =ũ . 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 
Cõu 13. xdxI
x x
sin 2
3 4sin cos2
=
+ -ũ 
 ã Ta cú: x xI dx
x x2
2sin cos
2sin 4sin 2
=
+ +
ũ . Đặt t xsin= ị I x Cx
1ln sin 1
sin 1
= + + +
+
Cõu 14. dxI
x x3 5sin .cos
= ũ 
 ã ũ ũ== xx
dx
xxx
dxI 23233 cos.2sin
8
cos.cos.sin
 Đặt t xtan= . I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 13 tan tan 3ln tan
4 2 2 tan
-ổ ử= + + + = + + - +ỗ ữ
ố ứũ 
 Chỳ ý: tx
t2
2sin 2
1
=
+
. 
Cõu 15. dxI
x x3sin .cos
= ũ 
 ã dx dxI
x x x x x2 2
2
sin .cos .cos sin2 .cos
= =ũ ũ . Đặt t xtan= 
dx tdt x
x t2 2
2; sin2
cos 1
ị = =
+
 dt tI dt
t t
t
2
2
12
2
1
+
ị = =
+
ũ ũ
t xt dt t C x C
t
2 21 tan( ) ln ln tan
2 2
= + = + + = + +ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 14 
Cõu 16. x xI xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin cot
sin
-
= ũ 
 ã Ta cú: xxI xdx xdx
x x
2011 2011 22
4 4
11
cotsin cot cot
sin sin
-
-
= =ũ ũ 
 Đặt t xcot= ị I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 20112011 2011t (1 )
4024 8046
= + = + +ũ 
 = x x C
4024 8046
2011 20112011 2011cot cot
4024 8046
+ + 
Cõu 17. x xI dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos
p
=
+ũ 
 ã Ta cú: x xI dx
x
22
0
sin .cos2
1 cos
p
=
+ũ . Đặt t x1 cos= + ị 
tI dt
t
2 2
1
( 1)2 2 ln2 1-= = -ũ 
Cõu 18. I x xdx
3
2
0
sin tan
p
= ũ 
 ã Ta cú: x x xI x dx dx
x x
23 3
2
0 0
sin (1 cos )sinsin .
cos cos
p p
-
= =ũ ũ . Đặt t xcos= 
 ị uI du
u
1
22
1
1 3ln 2
8
-
= - = -ũ 
Cõu 19. I x x dx2
2
sin (2 1 cos2 )
p
p
= - +ũ 
 ã Ta cú: I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2
p p
p p
= - + = +ũ ũ 
 + H xdx x dx2
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2
p p
p p
p pp= = - = - =ũ ũ 
 + K x x x xdx2 2 2
2 2
sin 2 cos 2 sin cos
p p
p p
= = -ũ ũ xd x2
2
22 sin (sin )
3
p
p
= - =ũ 
 I 2
2 3
p
ị = - 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 15 
Cõu 20. 
dxI
x x
3
2 4
4
sin .cos
p
p
= ũ 
 ã 
dxI
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
p
p
= ũ . Đặt t xtan= ị dxdt
x2cos
= . 
t dt tI t dt t
tt t
33 32 2 3
2
2 2
11 1
(1 ) 1 1 8 3 42 2
3 3
ổ ửổ ử+ -
= = + + = - + + =ỗ ữỗ ữ ố ứố ứ
ũ ũ
Cõu 21. 
( )
2
2
0
sin 2
2 sin
xI dx
x
p
=
+ũ 
 ã Ta cú: x x xI dx dx
x x
2 2
2 2
0 0
sin2 sin cos2
(2 sin ) (2 sin )
p p
= =
+ +
ũ ũ . Đặt t x2 sin= + . 
 ị tI dt dt t
t tt t
33 3
2 2
2 2 2
2 1 2 22 2 2 lnổ ử ổ ử-= = - = +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
3 22 ln
2 3
= - 
Cõu 22. xI dx
x
6
0
sin
cos2
p
= ũ 
 ã x xI dx dx
x x
6 6
2
0 0
sin sin
cos2 2 cos 1
p p
= =
-
ũ ũ . Đặt t x dt xdxcos sin= ị = - 
 Đổi cận: x t x t 30 1;
6 2
p
= ị = = ị = 
 Ta được tI dt
tt
3 1
2
2
31
2
1 1 2 2ln
2 2 2 22 1
-
= - =
+-
ũ = 
1 3 2 2ln
2 2 5 2 6
-
-
Cõu 23. xI e x x dx
22 sin 3
0
.sin .cos .
p
= ũ ã Đặt t x2sin= ị I = te t dt
1
0
1 (1 )
2
-ũ = e
1 1
2
- . 
Cõu 24. I x x dx
2 12sin sin
2
6
p
p
= ì +ũ ã Đặt t xcos= . I
3 ( 2)
16
p= + 
Cõu 25. xI dx
x x
4
6 60
sin 4
sin cos
p
=
+
ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 16 
 ã xI dx
x
4
20
sin 4
31 sin 2
4
p
=
-
ũ . Đặt t x2
31 sin 2
4
= - ị I = dt
t
1
4
1
2 1
3
ổ ử
-ỗ ữ
ố ứ
ũ = t
1
1
4
4 2
3 3
= . 
Cõu 26. 
( )
xI dx
x x
2
3
0
sin
sin 3 cos
p
=
+
ũ 
 ã Ta cú: x x xsin 3 cos 2cos
6
pổ ử
+ = -ỗ ữ
ố ứ
; 
 x xsin sin
6 6
p pổ ửổ ử
= - +ỗ ữỗ ữ
ố ứố ứ
= x x3 1sin cos
2 6 2 6
p pổ ử ổ ử
- + -ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
 ị I = 
x dx
dx
x x
2 2
3 20 0
sin
63 1
16 16cos cos
6 6
p pp
p p
ổ ử
-ỗ ữ
ố ứ +
ổ ử ổ ử
- -ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ = 
3
6
Cõu 27. x xI dx
x
24
2
3
sin 1 cos
cos
p
p
-
-
= ũ 
 ã x xI x dx x dx
x x
4 4
2
2 2
3 3
sin sin1 cos . sin
cos cos
p p
p p
- -
= - =ũ ũ 
x xx dx x dx
x x
0 4
2 2
0
3
sin sinsin sin
cos cos
p
p --
= +ũ ũ 
 = x xdx dx
x x
0 2 24
2 2
0
3
sin sin
cos cos
p
p
-
- +ũ ũ
7 3 1
12
p
= - - . 
Cõu 28. I dx
x x
6
0
1
sin 3 cos
p
=
+
ũ 
 ã I dx
x x
6
0
1
sin 3 cos
p
=
+
ũ = dx
x
6
0
1 1
2 sin
3
p
pổ ử+ỗ ữ
ố ứ
ũ = 
x
dx
x
6
20
sin1 3
2 1 cos
3
p p
p
ổ ử
+ỗ ữ
ố ứ
ổ ử
- +ỗ ữ
ố ứ
ũ . 
 Đặt t x dt x dxcos sin
3 3
p pổ ử ổ ử
= + ị = - +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
 ị I dt
t
1
2
2
0
1 1 1 ln3
2 41
= =
-
ũ 
Cõu 29. I x xdx
2
2
0
1 3 sin 2 2cos
p
= - +ũ 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 17 
 ã I x x dx
2
0
sin 3 cos
p
= -ũ = I x x dx x x dx
3 2
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
p p
p
= - + -ũ ũ 3 3= - 
Cõu 30. xdxI
x x
2
3
0
sin
(sin cos )
p
=
+
ũ 
 ã Đặt x t dx dt
2
p
= - ị = - ị tdt xdxI
t t x x
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
p p
= =
+ +
ũ ũ 
 ị dx dx2I x
x x x
2 2 4
2 2 00 0
1 1 cot( ) 1
2 2 4(sin cos ) sin ( )
4
p p p
p
p
= = = - + =
+ +
ũ ũ ị I
1
2
= 
Cõu 31. x xI dx
x x
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
p
-
=
+
ũ 
 ã Xột: 
( ) ( )
xdx xdxI I
x x x x
2 2
1 23 3
0 0
sin cos;
sin cos sin cos
p p
= =
+ +
ũ ũ . 
 Đặt x t
2
p
= - . Ta chứng minh được I1 = I2 
 Tớnh I1 + I2 = 
( )
dx dx x
x x x
2 2
2 20 0
1 tan( ) 122 4sin cos 02cos ( )
4
p p
pp
p
= = - =
+ -
ũ ũ 
 ị I I1 2
1
2
= = ị I I I1 27 – 5 1= = . 
Cõu 32. x xI dx
x x
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
p
-
=
+
ũ 
 ã Đặt x t dx dt
2
p
= - ị = - ị t t x xI dt dx
t t x x
2 2
3 3
0 0
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos sin ) (cos sin )
p p
- -
= =
+ +
ũ ũ 
 ị x x x xI I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2 cos 3cos 2sin 12 1
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
p p p
- -
= + = + = =
+ + +
ũ ũ ũ ị I
1
2
= . 
Cõu 33. x xI dx
x20
sin
1 cos
p
=
+
ũ 
 ã Đặt t t tx t dx dt I dt dt I
t t2 20 0
( )sin sin
1 cos 1 cos
p ppp p-= - ị = - ị = = -
+ +
ũ ũ 
Bài tập Tớch phõn Trần Sĩ Tựng 
Trang 18 
 t d tI dt I
t t
2
2 2
0 0
sin (cos )2
4 4 81 cos 1 cos
p p p p pp p p
ổ ử
ị = = - = + ị =ỗ ữ
ố ứ+ +
ũ ũ 
Cõu 34. x xI dx
x x
42
3 3
0
cos sin
cos sin
p
=
+
ũ 
 ã Đặt x t dx dt
2
p
= - ị = - ị t t x xI dt dx
t t x x
0 4 42
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos sin
p
p
= - =
+ +
ũ ũ 
 ị x x x x x x x xI dx dx xdx
x x x x
4 4 3 32 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 12 sin2
2 2sin cos sin cos
p p p
+ +
= = = =
+ +
ũ ũ ũ 
 ị I 1
4
= . 
Cõu 35. I x dx
x
2
2
2
0
1 tan (cos )
cos (sin )
p
ộ ự
= -ờ ỳ
ờ ỳở ỷ
ũ 
 ã Đặt x t dx dt
2
p
= - ị = - 
 ị I t dt
t
2
2
2
0
1 tan (sin )
cos (cos )
p
ộ ự
= -ờ ỳ
ờ ỳở ỷ
ũ x dx
x
2
2
2
0
1 tan (sin )
cos (cos )
p
ộ ự
= -ờ ỳ
ờ ỳở ỷ
ũ 
 Do đú: I x x dx
x x
2
2 2
2 2
0
1 12 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )
p
ộ ự
= + - -ờ ỳ
ờ ỳở ỷ
ũ = dt
2
0
2
p
p=ũ 
 ị I
2
p
= . 
Cõu 36. x xI dx
x
4
0
cos sin
3 sin2
p
-
=
-
ũ 
 ã Đặt u x xsin cos= + duI
u
2
21 4
ị =
-
ũ . Đặt u t2sin= 
tdtI dt
t
4 4
2
6 6
2 cos
124 4sin
p p
p p
p
ị = = =
-
ũ ũ . 
Cõu 37. xI dx
x x
3
20
sin
cos 3 sin
p
=
+
ũ 
 ã Đặt t x23 sin= + = x24 cos- . Ta cú: x t2 2cos 4= - và x xdt dx
x2
sin cos
3 sin
=
+
. 
 I = x dx
x x
3
20
sin .
cos 3 sin
p
+
ũ = 
x x dx
x x
3
2 20
sin .cos
cos 3 sin
p
+
ũ = 
dt
t
15
2
2
3 4 -
ũ = dtt t
15
2
3
1 1 1
4 2 2
ổ ử
-ỗ ữ+ -ố ứũ 
Trần Sĩ Tựng Bài tập Tớch phõn 
Trang 19 
 = t
t
15
2
3
1 2ln
4 2
+
-
 = 1 15 4 3 2ln ln
4 15 4 3 2
ổ ử+ +ỗ ữ-
ỗ ữ- -ố ứ
 = ( ) ( )( )1 ln 15 4 ln 3 2
2
+ - + . 
Cõu 38. x x x xI dx
x x
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin
p
p
+ +
=
+
ũ 
 ã x dxI dx
xx
2 2
3 3
2
3 3
1 sinsin
p p
p p= + +ũ ũ . 
 + Tớnh xI dx
x
2
3
1 2
3
sin
p
p= ũ . Đặt 
u x
du dxdxdv v x
x2
cot
sin
ỡ =
ù ỡ =ịớ ớ= = -ợùợ
 ị I1 3
p
= 
 + Tớnh dx dx dxI =
x xx
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin 1 cos 2cos
2 4 2
p p p
p p pp p
= = = -
+ ổ ử ổ ử
+ - -ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ ũ 
 Vậy: I 4 2 3
3
p
= + - . 
Cõu 39. x dx
x x
I
2
2 20
sin2
cos 4sin
p
+
= ũ 
 ã x x dx
x
I
2
20
2sin cos
3sin 1
p
=
+
ũ . Đặt u x23sin 1= + ị 
udu
du
u
I
2 2
1 1
2
2 23
3 3
= == ũ ũ 
Cõu 40. 
x
I dx
x
6
0
tan
4
cos2
p pổ ử
-ỗ ữ
ố ứ= ũ 
 ã 
x xI dx dx
x x
26 6
2
0 0
tan tan 14
cos2 (tan 1)
p ppổ ử
-ỗ ữ +ố ứ= = -
+
ũ ũ . Đặt t x dt dx x dx
x
2
2
1tan (tan 1)
cos
= ị = = + 
 ị dtI
tt
1
1
3
3
2 00
1 1 3
1 2( 1)
-
= - = =
++
ũ . 
Cõu 41. xI dx
x x
3
6
cot
sin .sin
4
p
p p
=
ổ ử
+ỗ ữ
ố ứ
ũ 
 ã xI dx
x x
3
2
6
cot2
sin (1 cot )
p
p
=
+
ũ . Đặt x