Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích - Chương I: Khảo sát hàm số

CHƯƠNG I
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần 1. Bổ sung một số công thức tính đạo hàm
Một số đạo hàm hữu tỉ
Phần 2. Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm
Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số 
Một vài kiến thức cần nhớ:
Với mọi 
Nếu thì là hàm số đồng biến
Nếu thì là hàm số nghịch biến
Nếu , hàm số đồng biến
Nếu , hàm số đồng biến
Nếu hàm số không đổi dấu trên TXĐ
Một số dạng toán cơ bản:
¬ Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
¬ Bài tập áp dụng
Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. 	b. 	
c. 	d.
e.	f.
g. 	h. 
¬ Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định.
¬ Bài tập áp dụng
Định m để hàm số đồng biến trên R
Định m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định 
Định m để hàm số đồng biến với 
Định m để hàm số đồng biến khi và 
¬ Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng 
¬ Bài tập áp dụng
Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 
Định m để hàm số .
Đồng biến khi 
Đồng biến khi 
Nghịch biến trên 
Đồng biến trên 
Chủ đề 2. Cực trị của hàm số 
Một vài kiến thức cần nhớ
 đgl điểm cực đại và 
 đgl điểm cực tiểu và 
Một số dạng toán cơ bản
¬ Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số 
¬ Bài tập áp dụng
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
¬ Dạng 2: Bài toán có tham số m
¬ Bài tập áp dụng
Định m để hàm số đạt cực đại tại 
Định m để hàm số 
Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm , và đạt cực đại tại điểm .
Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm và đồ thị của hàm số đi qua điểm 
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số 
Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 
Một vài kiến thức cần nhớ:
Cho hàm số xác định trên 
Nếu tồn tại sao cho thì số đgl giá trị lớn nhất của hàm số trên , kí hiệu 
Nếu tồn tại sao cho thì số đgl giá trị lớn nhất của hàm số trên , kí hiệu 
Một số dạng toán cơ bản:
¬ Dạng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên đoạn 
¬ Bài tập áp dụng:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a. trên đoạn 
b. trên đoạn 
c. trên khoảng 
d. 
e. trên đoạn 
f. 
Phần 3. Khảo sát hàm số
A – Hàm đa thức
1. Hàm số bậc 3 
¬ Bài tập áp dụng
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
2. Hàm số trùng phương 
¬ Bài tập áp dụng
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
B – Hàm phân thức
1. Hàm số 
¬ Bài tập áp dụng
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. 	b. 
2. Hàm số 
¬ Bài tập áp dụng
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
Phần 4. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
@ Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị
J Bài tập 
Cho hàm số ( m là tham số ) (1) ( ĐH Khối A – 2003 )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có hoành độ dương.
Cho hàm số và đường thẳng 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của đồ thị.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1.
Cho hàm số . Tìm m sao cho:
Đường thẳng cắt đường cong tại 2 điểm phân biệt.
Tiệm cận xiên của hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 8.
Cho hàm số . Tìm m để:
Đồ thị hàm số có ba điểm chung với trục hoành
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Cho hàm số . Định k để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đoạn EF ngắn nhất.
Cho hàm số và 
Tìm m để d tiếp xúc với (C).
Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm A, B, C với và 
 Cho hàm số ( ĐHKT 2000 )
Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho .
Cho hàm số 
Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 
Tìm k sao cho trên đồ thị có hai điểm khác nhau thỏa 
Cho hàm số . Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 
Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng.
@ Chủ đề 2. Tiếp tuyến 
J Bài tập:
Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
Cho hàm số (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Cho hàm số (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox.
Chứng minh hai tiếp tuyến này vuông góc nhau.
Cho hàm số (C). 
Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng .
Tìm các điểm trên đường thẳng sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đên đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số song song với đường thẳng 
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị kẻ từ gốc tạo độ O là vuông góc với nhau.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với .
Tìm trên đồ thị (C) ( với ) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số (C). Tìm trên đường thẳng những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Cho hàm số (C). Tìm trên đường thẳng những điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Cho hàm số (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị xuất phát từ điểm .
Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
@ Chủ đề 3. Vấn đề cố định của hàm số
J Bài tập: 
Cho hàm số . Chứng minh rằng khi m thay đổi họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Cho hàm số . Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số.
Cho hàm số 
Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định.
Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị hàm số nào đi qua.
Cho hàm số . Tìm trên đường những điểm mà đồ thị hàm số không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào.
Cho hàm số 
Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định, tại một điểm cố định.
Tìm trên đường những điểm mà đồ thị hàm số không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào.
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
Cho hàm số . Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Cho hàm số . Tìm a để đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định với mọi m.
Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi , tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.
@ Chủ đề 4. Biến đổi đồ thị 
J Bài tập
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên.
Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
 ; ; 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị hàm số 
@ Chủ đề 5. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 
J Bài tập
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình .
Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đùng 2 nghiệm nhỏ hơn 1.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh rằng phương trình luôn có 1 nghiệm 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Với giá trị nào của m thì phương trình 
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 
Cho hàm số ( m là tham số )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 
Tìm k để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
@ Chủ đề 6. Cực trị
J Bài tập
Cho hàm số . Tìm a, b để hàm số đạt cực trị tại và .
Cho hàm số . Xác định a, b, c để đồ thị có tam đối xứng là và đồ thị hàm số đạt cực trị tại .
Cho hàm số . Tìm a, b, c để đồ thị hàm số đạt cực trị và tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa 
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ thỏa .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía khác nhau của trục tung.
Cho hàm số . Xác định m để hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ thỏa .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị trái dấu nhau.
 Cho hàm số . Viết phương trình đường thẳng di qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định.
Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
 Cho hàm số . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.