Hướng dẫn ôn tập học kì II môn: Toán 9

 - 1 - 
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ II 
Môn: Toán 9 
A. LÝ THUYẾT: 
I. Phần Đại số: 
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương 
pháp thế và phương pháp đồ thị. 
2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. 
3. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) 
- Tính chất và đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0). 
- Quan hệ giữa parabol và đường thẳng. 
4. Phương trình bậc hai một ẩn. 
- Giải phương trình bậc hai và các phương trình quy về 
phương trình bậc hai. 
- Hệ thức Viét và ứng dụng. 
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình. 
II. Phần Hình học: 
1. Định nghĩa, tính chất các loại góc với đường tròn (góc 
ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc 
có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn). 
2. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. 
3. Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn. 
4. Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn. 
5. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, hình 
nón, hình nón cụt. 
B. BÀI TẬP: 
I. Phần Đại số: 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 
a> 



=+
−=−
1143
112
yx
yx
 b> 





=+
=+
2
3
12
9
2
53
yx
yx
 c> 






−=
+
+
−
=
+
−
−
35
1
3
3
2
2
2
3
7
2
5
yx
yx
 d> 






=
+
+
+
=
+
+
+
4
12
3
22
8
12
2
1
3
y
y
x
x
y
y
x
x
Bài 2: Cho hệ phương trình 
1
4 3 15
mx y
x y
− =

− =
 a> Giải hệ phương trình khi m = 1 
 b> Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm. 
Bài 3: Cho hàm số 2
2
1
xy −= . 
a> Vẽ đồ thị hàm số trên. 
b> Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M và N nằm trên đồ thị hàm số trên lần lượt có hoành độ là –2; 1. 
c> Viết pt đường thẳng có hệ số góc là 2, đi qua điểm nằm trên đồ thị có tung độ –8 và có hoành độ dương. 
Bài 4: a> Vẽ parabol (P): 
2
2xy = . 
 b> Tìm tọa độ giao điểm của (d): xy 2= và (P) bằng đồ thị và bằng phép tính. 
Bài 5: Trong cùng hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): 21
4
y x= − và đường thẳng (d): y mx 2m 1= − − . 
a) Vẽ đồ thị (P). 
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P). 
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 
Bài 6: Cho hàm số y = ax2. 
 a> Tìm a biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-2; 1). Vẽ đồ thị với a vừa tìm được. 
 b> Cho đường thẳng y = x + k. Với giá trị nào của k thì parabol cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt, tại 1 điểm 
(tiếp xúc). Xác định tọa độ tiếp điểm N. 
 c> Tính chu vi và diện tích ∆MON. 
Bài 7: Cho (P): y = x2. 
 a> Gọi A là điểm trên (P) có hoành độ bằng – 2. Viết phương trình đường thẳng qua A và điểm B(2; 4). 
 b> Tìm trên trục tung điểm C sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 
 c> Đường thẳng y = mx – 4 cắt (P) tại 2 điểm, tìm hệ số góc của đường thẳng. 
Bài 8: Giải các phương trình sau: 
a> 0166 24 =−− xx b> 3
1
)4)(3(
7
4 −
=
+−
+
+ xxxx
x
c> 222 )1(9)13(16 +=+− xxx d> 04)21(5)2( 22 =+−+− xxxx 
- 2 - 
Bài 9: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 0352 2 =−− xx . 
Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau: 22
2
1 xxA += ; 
1
2
2
1 11
x
x
x
x
B
+
+
+
= ; 21 xxC −= 
Bài 10: Cho phương trình (ẩn x): 056)25(2 =−+−− mxmmx . (1) 
 a> Giải phương trình khi m = 0. 
 b> Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm. 
 c> Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. 
Bài 11: Cho phương trình 0142 =++− mxx . (1) 
 a> Giải phương trình khi m = – 22. 
 b> Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 
 c> Khi phương trình có nghiệm, tính giá trị biểu thức 2 21 2E x x= + theo m. 
 d> Tìm m để 10=E . 
Bài 12: Cho phương trình 22x 6x m 0− + = . 
 a> Giải phương trình khi m = 4. 
 b> Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm dương. 
 c> Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho: 1 2
2 1
x x 3
x x
+ = . 
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. 
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. 
b/ Tìm biểu thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m. 
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 1 2
2 1
x x 5
x x 2
+ = − . 
Bài 14: Cho phương trình ( )2x 2 m 1 x m 0− − − = 
a/ Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. 
b/ Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y có hai nghiệm là 1 1
2
1y x
x
= + và 2 2
1
1y x
x
= + . 
Bài 15: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ 
hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe ô tô. 
Bài 16: Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ cũng đi từ bến A dọc theo bờ sông về hướng 
bến B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay trở lại gặp người đi bộ tại một địa điểm D cách bến A một khoảng 8 km. Tính 
vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc của dòng nước đều bằng nhau và bằng 4 km/h. 
Bài 17: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi 
thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? 
Bài 18: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra, những 
ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày 
cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? 
Bài 19: Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền là 13m. Tính mỗi cạnh góc vuông. 
Bài 20: Một hình chữ nhật có đường chéo 13m và chiều dài hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật. 
Bài 21: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành đoàn xe được 
giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu 
biết số xe của đội không quá 12 xe. 
II. Phần Hình học: 
Bài 1: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có AB < AC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 
 a> Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
 b> Vẽ đường kính AK của đường tròn. Chứng minh: AD . AK = AB . AC 
 c> Chứng minh: bốn điểm D, F, E, I cùng thuộc một đường tròn. 
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung AC không chứa điểm B; kẻ MH vuông góc 
với AC; MK vuông góc với BC. 
 a> Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp. 
 b> Chứng minh 
 
AMB HMK= . 
 c> Chứng minh ∆AMB ∼ ∆HMK. 
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A có AB > AC, vẽ AH ⊥ BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, nửa đường tròn đường 
kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng: 
 a> AH = EF. 
 - 3 - 
 b> AE . AB = AF . AC 
 c> Tứ giác BEFC nội tiếp. 
 d> Xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 
Bài 4: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có ba góc nhọn. BH, CI là 
hai đường cao của ∆ABC. 
 a> Chứng minh 4 điểm B, I, H, C cùng nằm trên một đường tròn. 
 b> Chứng minh: AB . AI = AC . AH 
 c> M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của (O). Tìm quỹ tích trung điểm N của AM khi A di động. 
Bài 5: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường 
tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE. 
 a> CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. 
 b> CMR: HA là tia phân giác của 
BHC . 
 c> Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB2 = AI . AH 
 d> BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE // CK. 
Bài 6: Cho ∆ABC nhọn có  0A 45= , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. 
b/ Chứng minh: HD = DC. 
c/ Tính tỉ số 
DE
BC
. 
d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OA ⊥ DE. 
Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông 
góc với AD. Chứng minh: 
a) Các tứ giác ABEF và DCEF nội tiếp. 
b) Tia CA là phân giác của 
BCF và tia FE là phân giác của 
BFC . 
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp. 
Bài 8: Cho tam giác ABC có 
ACB tù, H là chân đường cao vẽ từ A. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại điểm thứ hai 
D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại điểm thứ hai E. 
a> Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp. 
b> Chứng minh 
 
EBH EDC= . 
c> Cho BH 3a= , CH a= , 
 0ABC 45= . Tính diện tich hình quạt tròn giới hạn bởi cung EC và hai bán kính đi 
qua E và C của đường tròn đường kính CH. 
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O ; R) có đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn sao cho AC < BC. Kẻ CH ⊥ AB 
tại H, đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC, BC lần lượt tại D và E đồng thời cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. 
a/ Chứng minh: CH = DE và CA.CD = CB.CE 
b/ Chứng minh: tứ giác ABED nội tiếp và OC ⊥ DE. 
c/ Đường thẳng CF cắt đường thẳng AB tại Q. Chứng minh: Q là giao điểm của DE và đường tròn ngoại tiếp ∆OKF. 
d/ Biết SAHC = 54cm2 và SCBH = 96cm2. Tính R. 
Bài 10: Cho đường tròn (O; 3cm). 
 a> Tính 
AOB , biết độ dài cung AmB tương ứng là pi
3
4
 (cm). 
 b> Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ AB và hai bán kính OA, OB. 
Bài 11: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, chiều cao của thùng bằng 6dm. Hỏi thùng 
chứa được bao nhiêu lít nước? 
Bài 12: Cho ∆ABC vuông tại A quanh một vòng quanh cạnh AB. Biết rằng BC = 6cm, 
 0ACB 30= . 
 a> Tính bán kính đáy, đường cao của hình nón tạo thành. 
 b> Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón. 
---o0o--- 
- 4 - 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KHÁNH HÒA 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012 
MÔN TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể giao đề) 
Bài 1. (2đ) (Không dùng máy tính cầm tay) 
a) Giải phương trình 4 22 8 0x x− − = 
b) Giải hệ phương trình 3 2
3 4
x y
x y
+ =

− =
Bài 2. (2đ) Cho phương trình bậc hai ( )2 22 1 3 0x m x m+ + + + = (m là tham số) 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho 1 2 1 2 1x x x x+ + = 
Bài 3. (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): 21
2
y x= − 
a) Vẽ đồ thị (P). 
b) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ là xM = 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt hai trục tọa 
độ tại 2 điểm A và B sao cho OA = OB. 
Bài 4. (4đ) Từ điểm M ngoài (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của (O); MO cắt cung lớn AB tại C và cắt AB tại H. 
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên MA, MB. 
a) Chứng minh tứ giác CHBE nội tiếp. 
b) Chứng minh 
 
CBE CDH= . 
c) Chứng minh: CH2 = CD.CE 
 d) Giả sử OM = 2R. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DHE theo R. 
---o0o--- 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KHÁNH HÒA 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012 - 2013 
MÔN TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể giao đề) 
Bài 1. (2đ) (Không dùng máy tính cầm tay) 
a) Giải phương trình 24 7 2 0x x+ − = 
b) Giải hệ phương trình 3 5
2 5 9
x y
x y
+ =

+ =
Bài 2. (2đ) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): 2y x= và đường thẳng (d): 3 4y x= − + . 
a) Vẽ đồ thị (P). 
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) và (P). Tính độ dài đoạn thẳng AB. 
Bài 3. (2đ) Cho phương trình ( )2 2 2 1 4 8 0x m x m− − + − = (m là tham số) (1) 
a) Chứng tỏ rằng (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt và khác 1 với mọi số thực m. 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm các giá trị của m để 
1 2
1 1 1
x x
+ > . 
Bài 4. (4đ) Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, 
kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. 
Đường tròn đường kính IC cắt IK ở P. 
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp. 
b) Chứng minh AI.BK = AC.BC 
c) Chứng minh tam giác APB vuông. 
d) Giả sử các điểm A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI 
có diện tích lớn nhất.