Hướng dẫn ôn tập Chương I Hình học 11

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
I. Phép biến hình: * Nếu phép biến hình là F thì viết F(M) = hay = F(M), ta gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
* Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất
II. Phép tịnh tiến:
1. Lý thuyết:
* Nếu * Nếu và 
* Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất tức là 
* và cùng phương
* Biểu thức tọa độ: Nếu (xM + a; yM + b) hoặc = với 
* Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
 + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
 + Biến tam giác thành tam giác bằng nó
 + Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ biến D thành A.
C'
B'
D
C
B
A
G
Giải: * Dựng hình bình hành ABG 
 Dựng hình bình hành ACG 
. Vậy: 
* Ta có: . Dựng điểm D sao cho A 
là trung điểm của DG.
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép
tịnh tiến trong các trường hợp sau:
a) b) c) 
Giải: a) b) c) 
 a) b) c) 
Bài 3: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ của điểm B sao cho (tức là A là ảnh của B), biết:
a) b) c) 
Giải: Ghi nhớ: B(xA – a; yA – b) hay với 
a) B(-1; 7) b) B(4; 3) c) B(1; 4)
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ sao cho , biết:
a) M(-1; 0), (3; 8) 	b) M(-5; 2), (4; -3)	c) M(-1; 2), (4; 5)
Giải: a) Ghi nhớ: 
a) 	 b) 	c) 
Bài 5: a) Tìm tọa độ của C” là ảnh của điểm C(3; -2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ và phép vị tự tâm O, tỉ số 2
b) Tìm tọa độ ảnh của điểm D(-5; 1) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ và phép quay tâm O, góc 900.
c) Tìm tọa độ của E” là ảnh của điểm E(5; 2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 và phép quay tâm O, góc - 900.
Giải: a) Gọi C” là điểm cần tìm. Ta có: và 2; 4)
 b) Gọi D” là điểm cần tìm. Ta có: và 
 c) Gọi E” là điểm cần tìm. Ta có: và 
Bài 6: Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo , biết:
a) d: x + 3y – 1 = 0 với b) d: 2x – y – 1 = 0 với 
Giải: a) * Cách 1: Gọi . Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = 0
Chọn A(1; 0) d. Khi đó: d’ nên 3 – 3 + C = 0 C = 0. Vậy: d’: x + 3y = 0
* Cách 2: Chọn A(1; 0) d d’ và chọn B(-2; 1) d’
Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là: 
x – 3 = -3y – 3 x + 3y = 0
* Cách 3: Gọi M(x; y)d, 
Ta có: Md x + 3y – 1 = 0 x’ – 2 + 3y’ + 3 – 1 = 0 x’ + 3y’ = 0 M’d’: x + 3y = 0
b) * Cách 1: Gọi . Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = 0
Chọn A(0; -1) d. Khi đó: d’ nên 4 + 2 + C = 0 C = -6. Vậy: d’: 2x – y – 6 = 0
* Cách 2: Chọn A(0; -1) d d’ và chọn B(1; 1) d’
Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là: 
2x – 4 = y + 2 2x – y – 6 = 0
* Cách 3: Gọi M(x; y)d, 
Ta có: Md 2x – y – 1 = 0 2x’ – 4 – y’ – 1 – 1 = 0 2x’ – y’ – 6 = 0 M’d’: 2x – y – 6 = 0
Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với 
Giải: * Cách 1: Gọi . Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0
Chọn A’(2; -1) d’. Khi đó: A(4; 0)d nên 8 + 0 + C = 0 C = -8
Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0
* Cách 2: Chọn A’(2; -1)d’, A(4; 0)d và chọn B’(-1; 1)d’, B(1; 2)d
Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là: 
 2x – 8 = -3y 2x + 3y – 8 = 0
* Cách 3: Gọi M’(x’; y’) d’, M = 
Ta có: M’ d’ 2x’ + 3y’ – 1 = 02x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0 2x + 3y – 8 = 0
 Md: 2x + 3y – 8 = 0
Bài 8: Tìm tọa độ vectơ sao cho với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0
Giải: Chọn A(0; 1)d và B(0; -7)d’. Khi đó: 
Bài 9: Tìm tọa độ vectơ sao cho 
a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 và (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = 0
Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)
Khi đó: 
b) Từ (C), ta có: tâm I(1; -2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)
Khi đó: 
Bài 10: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo , biết:
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 với 
Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) và bán kính R = 
Khi đó: và R’ = R =. Vậy: 
* Cách 2: Gọi M(x; y) (C), 
Ta có: M(C) x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 (x’ – 3)2 + (y’ + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + 8 – 3 = 0
M’: x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = 0
b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2
Khi đó: và R’ = R = 2. Vậy: 
* Cách 2: Gọi M(x; y) (C), 
Ta có: M(C) (x’ + 3 + 3)2 + (y’ – 1 – 1)2 = 4 M’: (x + 6)2 + (y – 2)2 = 4
Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ . Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ 
Giải: Từ đt d VTCP của d là: 
Để cùng phương 12 = -6m m = -2
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm F sao cho phép tịnh tiến theo vectơ biến F thành A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, MN. Hãy tìm một phép tịnh tiến biến AFM thành ENF
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết:
a) A(2; -3) với . ĐS: A’(9; -1) b) B(8; 2) với . ĐS: B’(1; 6)
c) C(1; 2) với . ĐS: C’(-3; 5) d) D(-5; -6) với . ĐS: D’(-1; -15)
Bài 4: a) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A(3; 5) là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ 
b) Tìm tọa độ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết và N(-7; 2)
c) Cho điểm D(-5; 6). Tìm tọa độ của điểm E sao cho D là ảnh của E qua phép tịnh tiến theo vectơ 
d) Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho với 
ĐS: a) C(4; 3) b) M(-10; 7) c) E(-3; 14) d) B(4; -5)
Bài 5: Tìm tọa độ của vectơ sao cho , biết:
a) A(-10; 1), B(3; 8) b) A(-5; 2), B(4; -3) c) A(-1; 2), B(4; 5)
d) A(0; 0), B(-3; 4) e) A(5; -2), B(2; 6) f) A(2; 3), B(4; -5)
ĐS: a) b) c) 
 d) e) f) 
Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ 
b) Cho đt d: x – 4y – 2 = 0. Tìm PT đt d’ sao cho với 
c) Cho đt d: 5x + 3y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ 
d) Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết: đt d: 4x – y – 3 = 0
ĐS: a) 2x – y – 6 = 0 b) x – 4y – 20 = 0 c) 5x + 3y + 18 = 0 d) 4x – y – 8 = 0
Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ : d biến thành d’:
a) d’: 2x + 3y – 1 = 0 với b) d’: 2x – 4y – 1 = 0 với 
c) d’: x – 6y + 2 = 0 với d) d’: 5x – 3y + 5 = 0 với 
ĐS: a) 2x +3y – 8 = 0 b) 2x – 4y + 9 = 0 c) x – 6y – 24 = 0 d) 5x – 3y + 4 = 0
Bài 8: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ , biết:
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với . ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = 8 
b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + 1 = 0 với . ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12
c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với . ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16
d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9 với . ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9
Bài 9: Tìm tọa độ của vectơ sao cho và , biết:
a) d: 3x – 2y + 1 = 0 và d’: 3x – 2y – 4 = 0 b) d: 2x + y – 5 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0
c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 và (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 4
d) (C): (x – 5)2 + (y + 4)2 = 8 và (C’): (x + 2)2 + (y – 9)2 = 8
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ . Tìm m để đt d: 4x + 2y – 7 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ . ĐS: m = -4
III. Phép quay
1. Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: =
 * Phép quay tâm O, góc -900: =
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:
a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5)
Giải: a) (4; 3) b) (-1; -2)
c) (-5; 4) d) (3; -2) e) (5; 0)
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:
a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1)
Giải: a) (5; -2) b) (2; 4) c) (-1; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm A sao cho , biết:
a) B(3; -5) b) B(-2; 7) c) B(-3; -1) d) B(4; 6)
Giải: a) A(-5; -3) b) A(7; 2)
c) A(-1; 3) d) A(6; -4)
Bài 4: Tìm tọa độ của điểm C sao cho D là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết:
a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8)
Giải: a) C(-1; -5) b) C(7; -4)
c) C(-3; 2) d) C(8; 4)
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – 2 = 0 
Giải: * Cách 1: Gọi 
Chọn A(0; -1)d (1; 0) d’ và B(2; 4) (-4; 2) d’
Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: 2x + 5y – 2 = 0
* Cách 2: Gọi nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = 0
Chọn A(0; -1)d (1; 0)d’. Khi đó: 2 + C = 0 C = -2. Vậy: d’: 2x + 5y – 2 = 0
* Cách 3: Gọi M(x; y)d 
Ta có: Md: 5x – 2y – 2 = 0 5y’ – 2(-x’) – 2 = 0 2x’ + 5y’ – 2 = 0
M’d’: 2x + 5y – 2 = 0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + 1 = 0
Giải: * Cách 1: Gọi 
Chọn A(2; 1)d (1; -2) d’ và B(-3; -1) (-1; 3) d’
Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: 5x + 2y – 1 = 0
* Cách 2: Gọi nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = 0
Chọn A(2; 1)d(1; -2) d’. Khi đó: 5 – 4 + C = 0C = -1 
Vậy: d’: 5x + 2y – 1 = 0
* Cách 3: Gọi M(x; y)d 
Ta có: Md: 2x – 5y + 1 = 0 2(-y’) – 5x’ + 1 = 0 –5x’ – 2y’ + 1 = 0
M’d’: 5x + 2y – 1 = 0
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết 
a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 b) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) và bán kính R = 3
Khi đó: (5; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: : (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
* Cách 2: Gọi M(x; y)(C) 
Ta có: M(C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = 9 (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = 9
M’(C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) và bán kính R = 3
Khi đó: (1; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9
* Cách 2: Gọi M(x; y)(C) 
Ta có: M(C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0(y’)2 + (-x’)2 – 4y’ + 2(-x’) – 4 = 0
 M’(C’): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16
Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4
Khi đó: (1; 4) và bán kính R’ = R = 4. Vậy: : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
G
C"
B'
A'
B"
C'
C
B
A
* Cách 2: Gọi M(x; y)(C) 
Ta có: M(C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 (–y’ + 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16
M’(C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G
a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900
c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 900
Giải: a) Dựng AB = AB’ và (AB, AB’) = 900
 Khi đó: B’ là ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Dựng AC = AC’ và (AC, AC’) = 900
Khi đó: B’C’ là ảnh của BC qua phép quay tâm A, góc quay 900
c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB” 
và (GB, GB”) = 900, GC = GC” và (GC, GC”) = 900
Khi đó: Tam giác A’B”C” là ảnh của tam giác ABC qua
phép quay tâm G, góc quay 900
Bài 10: Cho ABC đều có tâm O và phép quay tâm O, góc quay 1200.
a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay 
120
120
120
O
C
B
A
b) Tìm ảnh của ABC qua phép quay 
Giải: a) Ta có: (A) = B; 
(B) = C; (C) = A
b) Vậy: (ABC) = BCA
Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O
O
E
D
C
B
A
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900
Giải: 
a) Dựng AE = AC và (AE, AC) = 900
Vậy: (C) = E
b) Ta có: (B) = C; (C) = D
Vậy: (BC) = CD
N'
M'
N
M
O
D
C
B
A
Bài 12: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900.
Giải: Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của OA và OD
Ta có: (A) = D; (M) = N
(M’) = N’
Vậy: (AMN) = DM’N’
Bài 13: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm
ảnh của OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 600 và qua phép tịnh tiến theo vectơ 
O
B
C
D
E
F
A
Giải: Ta có: * (O) = O; (A) = B; (B) = C
 (OAB) = OBC
* (O) = E; (B) = O; (C) = D
Vậy: (OBC) = EOD
J
I
O
F
E
D
C
B
A
Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của AIF qua phép quay 
b) Tìm ảnh của AOF qua phép quay 
Giải: a) Gọi J là trung điểm của CD
Ta có: (A) = C; (I) = J; (F) = B
Vậy: (AIF) = CJB
b) Ta có: (A) = C; (O) = D; (F) = O
Vậy: (AOF) = CDO
G
F
E
D
C
B
A
Bài 15: Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (hình bên). Tìm ảnh của ABG trong phép quay tâm B, góc quay -900.
Giải: 
Ta có: (A) = C; (B) = B; (G) = E
Vậy: (ABG) = CBE
D
C
B
A
O
F
E
Bài 16: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm một phép quay biến AOF thành CDO
Giải: Ta thấy: * = C
* = D; * = O
Vậy: = CDO 
Bài 17: Cho hai tam giác đều ABD và CBE (hình bên). Tìm một phép quay biến ACD thành BCE. 
E
D
C
B
A
Giải: Ta thấy: * = C
* = B * = E
Vậy: = CBE 
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:
a) A(4; -2) b) B(-5; 3) c) C(-6; -7) d) D(2; 9)
ĐS: a) A’(2; 4) b) B’(-3; -5) c) C’(7; -6) d) D’(-9; 2)
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:
a) E(3; 5) b) F(-4; 6) c) M(7; -2) d) N(-3; -8)
ĐS: a) E’(5; -3) b) F’(6; 4) c) M’(-2; -7) d) N’(-8; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm M sao cho , biết:
a) N(-3; 2) b) N(4; -7) c) N(-5; -1) d) N(5; 9)
ĐS: a) M(2; 3) b) M(-7; -4) c) M(-1; 5) d) M(9; -5)
Bài 4: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết:
a) F(4; 7) b) F(3; -2) c) F(5; -6) d) F(-3; -8)
ĐS: a) E(-7; 4) b) E(2; 3) c) E(6; 5) d) E(8; -3)
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết :
a) d: 2x – 3y + 2 = 0 b) d: 3x + y = 0 c) d: y – 3 = 0 d) d: x + 1 = 0
e) d: – 4x + 2y + 3 = 0 f) d: 2x + 5y – 2 = 0 g) d: x – 7y – 3 = 0
ĐS: a) d’: 3x + 2y + 2 = 0 b) d’: x – 3y = 0 c) d’: x + 3 = 0 d) d’: y + 1 = 0
e) d’: 2x + 4y – 3 = 0 f) d’: 5x – 2y – 2 = 0 g) d’: 7x + y – 3 = 0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết :
a) d: x + 3y – 1 = 0 b) d: 2x – y + 5 = 0 c) d: 3x – 2y = 0
ĐS: a) d’: 3x – y – 1 = 0 b) d’: x + 2y – 5 = 0 c) d’: 2x + 3y = 0 
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết 
a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) (C): x2 + (y – 2)2 = 4
c) (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = 9 b) (C’): (x + 2)2 + y2 = 4
c) (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết 
a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25
c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – 8 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16 b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25
c) (C’): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49
Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua phép quay tâm O góc 600.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và tâm O. 
a) Tìm ảnh của OC qua phép quay tâm B, góc quay 900
b) Tìm ảnh của AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900
Bài 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm
a) Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900
b) Tìm ảnh của đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900
Bài 12: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm một phép quay biến ABC thành chính nó.
Bài 13: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm một phép quay biến hình vuông ABCD thành chính nó.
Bài 14: Cho ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1 
a) Tìm một phép quay biến AC1C thành ABB1
b) Tìm một phép quay biến ACA1 thành B1CB
IV. Phép vị tự:
1. Lý thuyết: 
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’. Ký hiệu: 
b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Viết: 
Gọi I, R và I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) và (C’)
Khi đó: và R’ = R
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 
a) A(-3; 4), k = -2 b) B(2; -6), k = c) C(4; 5), k = 3 d) D(-3; -12), k = 
Giải: a) (6; -8) b) (1; -3)
c) (12; 15) d) (2; 8)
Bài 2: Tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) B(-2; 6), k = 2 b) B(0; 3), k = c) B(3; -1), k = -3 d) B(-5; -2), k = 
Giải: a) A(-1; 3) b) A(0; 9)
c) A(-1; ) d) A(10; 4)
Bài 3: Tìm tỉ số k, biết :
a) A(-2; 4), A’(1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10) c) A(-3; -8), A’(-9; -24)
Giải: a) k = b) k = c) k = 3
Bài 4: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 
a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3 b) d: x – 4y + 2 = 0, k = 
Giải: a) * Cách 1: Gọi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 4x – 3y + C = 0
Chọn A(2; 3)d (-6; -9) d’. Khi đó: -24 + 27 + C = 0 C = -3
Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0
* Cách 2: Chọn A(2; 3)d (-6; -9) d’ và B(-1; -1) d (3; 3) d’
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: 12x – 9y – 9 = 0
 4x – 3y – 3 = 0
b) * Cách 1: Gọi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = 0
Chọn A(-2; 0)d (-1; 0) d’. Khi đó: -1 + C = 0 C = 1
Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + 1 = 0
* Cách 2: Chọn A(-2; 0)d (-1; 0) d’ và B(6; 2) d (3; 1) d’
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là: x – 4y + 1 = 0
Bài 5: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
Giải: a) Gọi . Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) và bán kính R = 1
Khi đó: (-1; 2) và bán kính R’ = R = . Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 
b) Gọi . Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
Khi đó: (12; -8) và bán kính R’ = R = 16. Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
Bài 6: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết:
N
M
E
P
D
C
Q
B
A
a) k = b) k = 2 c) k = 
Giải: a) Dựng , và 
b) Dựng , 
 và 
c) Dựng , và 
D'
C'
B'
A'
O
D
C
B
A
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O. Tìm ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2
Giải: a) Dựng 
; 
. 
Vậy: A’B’C’D’ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị 
tự tâm O, tỉ số k = 2
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 
a) A(-3; 5), tỉ số k = -3 b) B(4; -1), tỉ số k = 2 c) C(-1; 3), tỉ số k = 4
d) D(-2; -8), tỉ số k = e) E(3; 9), k = f) F(3; -7), tỉ số k = 
ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2) c) C’(-4; 12) d) D’(1; 4) e) E’(2; 6) f) F’(1; ) 
Bài 2: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) F(-2; 8), tỉ số k = 2 b) F(3; -2), tỉ số k = c) F(5; 1), tỉ số k = 
ĐS: a) E(-1; 4) b) E(6; -4) c) F(-20; -4)
Bài 3: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 
a) d: 5x – 2y + 2 = 0, tỉ số k = 3 b) d: 3x + y – 4 = 0, tỉ số k = -2
c) d: 4x – y = 0, tỉ số d) d: x + 3y – 2 = 0, tỉ số k = 
ĐS: a) d’: 5x – 2y + 6 = 0 b) d’: 3x + y + 8 = 0 c) d’: 4x – y = 0 d) d’: 3x + 9y + 4 = 0
Bài 4: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3 b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0, tỉ số k = 4
c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k = d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + 3 = 0, tỉ số k = 
ĐS: a) (C’): (x + 9)2 + (y – 3)2 = 4 b) (C’): (x – 4)2 + (y + 12)2 = 12
c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 9 d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k = b) Tâm G, tỉ số k = 2 c) Tâm A, tỉ số k = -2
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k =