Giải tích (cơ bản) - Phần 1: Không gian metric

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 1. Không gian metric
Phiên bản đã chỉnh sửa - có phần bổ sung của bài trước
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
Nội dung chính của môn Cơ sở
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Phương pháp Giảng dạy Toán
Phần 1: Không gian metric
1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ. Không gian đầy đủ.
2. Tập mở. Tập đóng. Phần trong, bao đóng của tập hợp.
3. Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric. Các tính chất:
• Liên hệ với sự hội tụ
• Liên hệ với ảnh ngược của tập mở, tập đóng.
• Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôi.
4. Tập compắc. Các tính chất căn bản:
• Hệ có tâm các tập đóng.
• Tính chất compắc và sự hội tụ.
• Ảnh của tập compắc qua ánh xạ liên tục.
Phần 2: Độ đo và tích phân.
1. σ–đại số trên tập hợp.
Độ đo và các tính chất căn bản.
2. Các tính chất của độ đo Lebesgue trên R (không xét cách xây dựng).
3. Hàm số đo được. Các tính chất căn bản.
1
• Các phép toán số học, lấy max,min trên 2 hàm đo được.
• Lấy giới hạn hàm đo được (không xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin).
4. Tích phân theo một độ đo. Các tính chất căn bản (không xét tính liên tục tuyệt đối).
5. Các định lý Levi, Lebesgue về qua giới hạn dưới dấu tích phân.
Phần 3: Giải tích hàm.
1. Chuẩn trên một không gian vectơ. Chuẩn tương đương. Không gian Banach.
2. Ánh xạ tuyến tính liên tục. Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục (không xét ánh
xạ liên hợp, ánh xạ compắc, các nguyên lý cơ bản).
3. Không gian Hilbert. Phân tích trực giao. Chuổi Fourier theo một hệ trực chuẩn. Hệ trực
chuẩn đầy đủ.
§1 Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ.
Không gian đầy đủ
Phần này có thêm phần bổ sung của bài trước
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1 Cho tập X 6= ∅. Một ánh xạ d từ X ×X vào R được gọi là một metric trên
X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X:
i. d(x, y) > 0
d(x, y) = 0⇔ x = y
ii. d(x, y) = d(y, x)
iii. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác)
Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) gọi là một không gian metric.
Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau
|d(x, y)− d(u, v)| 6 d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác)
Ví dụ. Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định bởi
d(x, y) =
[
m∑
i=1
(xi − yi)2
]1/2
, x = (x1, x2, . . . , xm), y = (y1, y2, . . . , ym)
2
là một metric trên Rm, gọi là metric thông thường của Rm.
Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x− y|. Trên Rm ta cũng có các metric khác như
d1(x, y) =
m∑
i=1
|xi − yi|
d2(x, y) = max
16i6m
|xi − yi|
Ví dụ. Ký hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b]. Ánh xạ
d(x, y) = sup
a6t6b
|x(t)− y(t)|, x, y ∈ C[a,b]
là metric trên C[a,b], gọi là metric hội tụ đều.
1.2 Sự hội tụ
Định nghĩa 2 Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {xn} ⊂ X hội tụ (hội tụ
theo metric d, nếu cần làm rõ) về phần tử x ∈ X nếu lim
n→∞
d(xn, x) = 0.
Khi đó ta viết
lim
n→∞
xn = x trong (X, d)
xn
d→ x
xn → x
limxn = x
Như vậy, lim
n→∞
limxn = x trong (X, d) có nghĩa
∀ε > 0,∃n0 : ∀n ∈ N∗, n > n0 ⇒ d(xn, x) < ε
Ta chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau.
Tính chất.
1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
2. Nếu dãy {xn} hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.
3. Nếu lim
n→∞
xn = x, lim
n→∞
yn = y thì lim
n→∞
d(xn, yn) = d(x, y)
Ví dụ. Trong Rm ta xét metric thông thường. Xét phần tử a = (a1, . . . , am) và dãy {xn} với
xn = (xn1 , x
n
2 , . . . , x
n
m). Ta có
d(xn, a) =
√√√√ m∑
i=1
(xni − ai)2 > |xni − ai|, ∀i = 1, 2, . . . ,m
Từ đây suy ra:
lim
n→∞
xn = a trong (Rm, d)⇐⇒ lim
n→∞
xni = ai trong R, ∀i = 1, 2, . . . , n
3
Ví dụ. Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ đều. Ta có
xn
d→ x⇐⇒ (∀ε > 0,∃n0 : ∀n > n0 ⇒ sup
a6t6b
|xn(t)− x(t)| < ε)
⇐⇒ dãy hàm {xn(t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t)
=⇒ lim
n→∞
xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b]
Như vậy, lim
n→∞
xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] là điều kiện cần để limxn = x trong C[a,b] với metric hội
tụ đều. Chú ý này giúp ta dự đoán phần tử giới hạn.
1.3 Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 3 Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ
bản) nếu
lim
n,m→∞
d(xn, xm) = 0
hay
∀ε > 0,∃n0 : ∀n,m > n0 ⇒ d(xn, xm) < ε
Tính chất.
1. Nếu {xn} hội tụ thì nó là dãy Cauchy.
2. Nếu dãy {xn} là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì {xn} cũng hội tụ về x.
Định nghĩa 4 Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là
dãy hội tụ.
Ví dụ. Không gian Rm với metric d thông thường là đầy đủ.
Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {xn}, xn = (xn1 , . . . , xnm).
• Vì
{
d(xn, xk) > |xni − xki | (i = 1, . . . ,m)
lim
n,k→∞
d(xn, xk) = 0 ⇒ limn,k→∞ |x
n
i − xki | = 0,
nên ta suy ra các dãy {xni }n (i = 1, . . . ,m) là dãy Cauchy trong R, do đó chúng hội tụ vì R
đầy đủ.
• Đặt ai = lim
n→∞
xni (i = 1, 2, . . . ,m) và xét phần tử a = (a1, . . . , am), ta có lim
n→∞
xn = a
trong (Rm, d).
Ví dụ. Không gian C[a,b] với metric hội tụ đều d là đầy đủ.
Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong (C[a,b], d).
Với mỗi t ∈ [a, b], ta có |xn(t) − xm(t)| 6 d(xn, xm). Từ giả thiết lim
n,m→∞
d(xn, xm) = 0 ta
cũng có lim
n,m→∞
|xn(t)− xm(t)| = 0.
Vậy với mỗi t ∈ [a, b] thì {xn(t)} là dãy Cauchy trong R, do đó là dãy hội tụ.
4
Lập hàm x xác định bởi x(t) = limxn(t), t ∈ [a, b]. Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] và
lim d(xn, x) = 0.
Cho ε > 0 tùy ý. Do {xn} là dãy Cauchy, ta tìm được n0 thỏa
∀n,m > n0 ⇒ d(xn, xm) < ε
Như vậy ta có
|xn(t)− xm(t)| n0,∀m > n0, ∀t ∈ [a, b]
Cố định n, t và cho m→∞ trong bất đẳng thức trên ta có
|xn(t)− x(t)| ≤ ε, ∀n > n0, ∀t ∈ [a, b]
Như vậy, ta đã chứng minh rằng
∀ε > 0,∃n0 : ∀n > n0 ⇒ sup
a6t6b
|xn(t)− x(t)| 6 ε
Từ đây suy ra:
• Dãy hàm liên tục {xn(t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t), do đó hàm x(t) liên tục trên
[a, b].
• lim
n→∞
d(xn, x) = 0.
Đây là điều ta cần chứng minh.
2. Bài tập
Bài 1 Cho không gian metric (X, d). Ta định nghĩa
d1(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
, x, y ∈ X
1. Chứng minh d1 là metric trên X.
2. Chứng minh xn
d1−→ x ⇐⇒ xn d−→ x
3. Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1) đầy đủ.
Giải.
1. Hiển nhiên d1 là một ánh xạ từ X ×X vào R. Ta kiểm tra d1 thỏa mãn các điều kiện của
metric
(i) Ta có: d1(x, y) > 0 do d(x, y) > 0
d1(x, y) = 0⇔ d(x, y) = 0⇔ x = y
5
(ii) d1(y, x) =
d(y, x)
1 + d(y, x)
=
d(x, y)
1 + d(x, y)
= d(x, y)
(iii) Ta cần chứng minh
d(x, y)
1 + d(x, y)
6 d(x, z)
1 + d(x, z)
+
d(z, y)
1 + d(z, y)
Để gọn, ta đặt a = d(x, y), b = d(x, z), c = d(z, y).
Ta có a 6 b+ c; a, b, c > 0 (do tính chất của metric d)
⇒ a
1 + a
6 b+ c
1 + b+ c
(
do hàm
t
1 + t
tăng trên [0,∞))
⇒ a
1 + a
6 b
1 + b+ c
+
c
1 + b+ c
6 b
1 + b
+
c
1 + c
(đpcm)
2. • Giả sử xn d−→ x. Ta có
lim d(xn, x) = 0
d1(xn, x) =
d(xn, x)
1 + d(xn, x)
Do đó, lim d1(xn, x) = 0 hay xn
d1−→ x
• Giả sử xn d1−→ x. Từ
lim d1(xn, x) = 0
d(xn, x) =
d1(xn, x)
1− d1(xn, x)
ta suy ra lim d(xn, x) = 0 hay xn
d−→ x.
3. Xét tùy ý dãy Cauchy {xn} trong (X, d1), ta cần chứng minh {xn} hội tụ trong (X, d1).
• Ta có
lim
n,m→∞
d1(xn, xm) = 0
d(xn, xm) =
d1(xn, xm)
1− d1(xn, xm)
⇒ lim
n,m→∞
d(xn, xm) = 0 hay {xn} là dãy Cauchy trong (X, d)
⇒ {xn} là hội tụ trong (X, d) (vì (X, d) đầy đủ)
• Đặt x = lim
n→∞
xn (trong (X, d)), ta có x = lim
n→∞
xn trong (X, d1) (do câu 2).
Bài 2 Cho các không gian metric (X1, d1), (X2, d2). Trên tập X = X1 ×X2 ta định nghĩa
d ((x1, x2), (y1, y2)) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2)
6
1. Chứng minh d là metric trên X.
2. Giả sử xn = (xn1 , x
n
2 ), (n ∈ N∗), a = (a1, a2). Chứng minh xn d→ a⇐⇒
{
xn1
d1→ a1
xn2
d2→ a2
3. Giả sử (X1, d1), (X2, d2) đầy đủ. Chứng minh (X, d) đầy đủ.
Giải.
1. Ta kiểm tra tính chất i), iii) của metric. Giả sử x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2), ta
có:
i) d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) > 0
d(x, y) = 0⇐⇒
{
d1(x1, y1) = 0
d2(x2, y2) = 0
⇐⇒
{
x1 = y1
x2 = y2
⇐⇒ x = y
iii) Cộng từng vế các bất đẳng thức:
d1(x1, y1) 6 d1(x1, z1) + d1(z1, y1)
d2(x2, y2) 6 d2(x2, z2) + d2(z2, y2)
ta có
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)
2. Ta có
d1(x
n
1 , a1), d2(x
n
2 , a2) 6 d(xn, a) = d1(xn1 , a1) + d2(xn2 , a2)
Do đó:
lim d(xn, a) = 0⇐⇒
{
lim d1(x
n
1 , a1) = 0
lim d2(x
n
2 , a2) = 0
3. Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong (X, d), xn = (xn1 , xn2 ). Ta có {xni } là dãy Cauchy trong
(Xi, di) (vì di(x
n
i , x
m
i ) 6 d(xn, xm)). Suy ra
∃ai ∈ Xi : xni di−→ ai (do (Xi, di) đầy đủ)
⇒ xn d−→ a := (a1, a2) (theo câu 2))
Bài 3 Ký hiệu S là tập hợp các dãy số thực x = {ak}k. Ta định nghĩa
d(x, y) =
∞∑
k=1
1
2k
.
|ak − bk|
1 + |ak − bk| , x = {ak}, y = {bk}
1. Chứng minh d là metric trên X.
2. Giả sử xn = {ank}k, n ∈ N∗, x = {ak}k. Chứng minh
xn
d−→ x ⇐⇒ lim
n→∞
ank = ak , ∀k ∈ N∗
7
3. Chứng minh (S, d) đầy đủ.
Giải.
1. Đầu tiên ta nhận xét rằng chuỗi số định nghĩa số d(x, y) là hội tụ vì số hạng thứ k nhỏ
hơn 1/2k.
Với x = {ak}, y = {bk}, z = {ck}, các tính chất i), iii) kiểm tra như sau:
i) Hiển nhiên d(x, y) > 0,
d(x, y) = 0⇔ ak = bk ∀k ∈ N∗ ⇔ x = y
iii) Từ lý luận bài 1 ta có
|ak − bk|
1 + |ak − bk| 6
|ak − ck|
1 + |ak − ck| +
|ck − bk|
1 + |ck − bk| ∀k ∈ N
∗
Nhân các bất đẳng thức trên với 1/2k rồi lấy tổng, ta có
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)
2. Ta có
d (xn, x) =
∞∑
k=1
1
2k
.
|ank − ak|
1 + |ank − ak|
n ∈ N∗
• Giả sử xn −→ x. Ta có: ∀k ∈ N∗
1
2k
.
|ank − ak|
1 + |ank − ak|
6 d(xn, x) (∗)
⇒ |ank − ak| 6
2kd (xn, x)
1− 2kd (xn, x)
(
khi n đủ lớn để d (xn, x) <
1
2k
)
Do đó lim
n→∞
ank = ak.
• Giả sử lim
n→∞
ank = ak ∀k ∈ N∗.
Cho ε > 0 tùy ý. Ta chọn số k0 sao cho
∞∑
k=k0+1
1
2k
< ε
2
. Xét dãy số:
sn =
k0∑
k=1
1
2k
.
|ank − ak|
1 + |ank − ak|
, n ∈ N∗
Do lim sn = 0 nên có n0 sao cho sn <
ε
2
∀n > n0.
Với n > n0, ta có
d(xn, x) = sn +
∞∑
k=k0+1
(. . . ) 6 sn +
∞∑
k=k0+1
1
2k
< ε
8
Như vậy ta đã chứng minh
∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ d(xn, x) < ε
hay lim d(xn, x) = 0.
3. Xét tùy ý dãy Cauchy {xn} trong (S, d), xn = {ank}k. Lý luận tương tự ở (∗) ta có
|ank − amk | 6
2kd(xn, xm)
1− 2kd(xn, xm) −→ 0 khi m,n −→∞
Suy ra {ank}n là dãy Cauchy trong R, do đó hội tụ.
Đặt ak = lim
n→∞
ank và lập phần tử a := {ak}. Áp dụng câu 2) ta có xn −→ a trong (S, d).
Bài 4 Trên X = C[0,1] xét các metric
d(x, y) = sup
06x61
|x(t)− y(t)|
d1(x, y) =
1∫
0
|x(t)− y(t)| dt
1. Chứng minh: (xn
d−→ x) ⇒ (xn d1−→ x)
2. Bằng ví dụ dãy xn(t) = n(t
n − tn+1), chứng minh chiều “⇐” trong câu 1) có thể không
đúng.
3. Chứng minh (X, d1) không đầy đủ.
Giải.
1. Ta có
|x(t)− y(t)| 6 d(x, y) ∀t ∈ [0, 1]
⇒
∫ 1
0
|x(t)− y(t)| dt 6 d(x, y)
∫ 1
0
dt = d(x, y)
⇒d1(x, y) 6 d(x, y) ∀x, y ∈ C[0,1]
Do đó, nếu lim d(xn, x) = 0 thì cũng có lim d1(xn, x) = 0.
2. Ký hiệu x0 là hàm hằng bằng 0 trên [0, 1]. Ta có:
• d1(xn, x0) =
∫ 1
0
|xn(t)− x0(t)| dt =
∫ 1
0
n (tn − tn+1) dt = n
(n+1)(n+2)
→ 0 khi n→∞.
9
• d(xn, x0) = sup
06t61
n(tn − tn+1) = n ( n
n+1
)n
. 1
n+1
(hãy lập bảng khảo sát hàm n(tn − tn+1)
trên [0, 1]). Do đó
lim
n−→∞
d(xn, x0) = lim
n−→∞
(
n
n+ 1
)n
.
n
n+ 1
=
1
e
6= 0
Suy ra xn
d
−→/ x0.
3. Xét dãy {xn} ⊂ C[0,1] xác định như sau:
xn(t) =

0 t ∈ [0, 1
2
]
n(t− 1
2
) t ∈ [1
2
, 1
2
+ 1
n
]
1 t ∈ [1
2
+ 1
n
, 1]
(n > 2)
• Trước tiên ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy trong
(
C[0,1], d1
)
.
Thật vậy, với m < n, ta có:
d1(xn, xm) =
∫ 1
0
|xn(t)− xm(t)| dt
=
∫ 1/2+1/m
1/2
|xn(t)− xm(t)| dt
6
∫ 1/2+1/m
1/2
1.dt = 1
m
Do đó lim
m,n−→∞
d1(xn, xm) = 0
• Ta chứng minh {xn} không hội tụ trong
(
C[0,1], d1
)
.
Giả sử trái lại:
∃x ∈ C[0,1] : lim d1(xn, x) = 0
Khi đó
d1(xn, x) >
∫ 1/2
0
|xn(t)− x(t)| dt =
∫ 1/2
0
|x(t)| dt , ∀n ∈ N∗
⇒
∫ 1/2
0
|x(t)| dt = 0 ⇒ x(t) ≡ 0 trên [0, 1
2
].
Mặt khác, với mỗi a ∈ (1
2
, 1
)
ta có 1
2
+ 1
n
< a khi n đủ lớn.
Do đó
d1(xn, x) >
∫ 1
a
|xn(t)− x(t)| dt =
∫ 1
a
|1− x(t)| dt
⇒ x(t) = 1 ∀t ∈ [a, 1] (lý luận như trên)
Do a > 1
2
tùy ý, ta suy ra x(t) = 1 ∀t ∈ (1
2
, 1].
Ta gặp mâu thuẫn với tính liên tục của hàm x.
10
§2 Tập mở, tập đóng. Phần trong, bao
đóng của một tập hợp
1. Tập mở. Phần trong
Cho không gian metric (X, d).Với x0 ∈ X, r > 0, ta ký hiệu B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}
gọi là quả cầu mở tâm x0, bán kính r.
Định nghĩa 1 Cho tập hợp A ⊂ X.
1. Điểm x được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A
2. Tập hợp tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A, ký hiệu IntA hay
◦
A. Hiển
nhiên ta có IntA ⊂ A.
3. Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó là điểm trong. Ta qui ước ∅ là mở. Như vậy,
A mở ⇔ A = IntA ⇔ (∀x ∈ A ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A)
Tính chất.
1. Họ các tập mở có ba tính chất đặc trưng sau:
i) ∅, X là các tập mở.
ii) Hợp của một số tùy ý các tập mở là tập mở.
iii) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở.
2. Phần trong của A là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Như vậy:
(B ⊂ A,B mở)⇒ B ⊂ IntA
Ví dụ. Quả cầu mở B(x0, r0) là tập mở.
Thật vậy, ∀x ∈ B(x0, r0) ta có r = r0 − d(x, x0) > 0. Ta sẽ chỉ ra B(x, r) ⊂ B(x0, r0). Với
y ∈ B(x, r), ta có d(y, x0) 6 d(y, x) + d(x, x0) < r + d(x, x0) = r0 nên y ∈ B(x0, r0).
Ví dụ. Trong R với metric thông thường, các khoảng mở là tập mở.
Thật vậy, trong R ta có B(x, r) = (x− r, x+ r).
• Mỗi khoảng hữu hạn (a, b) là quả cầu tâm a+b
2
, bán kính b−a
2
nên là tập mở.
• (a,+∞), (a ∈ R) là tập mở vì ∀x ∈ (a,+∞) ta đặt r = x−a thì (x− r, x+ r) ⊂ (a,+∞).
Ví dụ. Trong R2 với metric thông thường mỗi hình chữ nhật mở A = (a, b)× (c, d) là tập mở.
Thật vậy, xét tùy ý x = (x1, x2) ∈ A. Ta đặt r = min{x1 − a, b− x1, x2 − c, d− x2} thì có
B(x, r) ⊂ A.
Định lí 1
1. Mỗi tập mở trong R là hợp của không quá đếm được các khoảng mở đôi một không giao
nhau.
2. Mỗi tập mở trong R2 là hợp của không quá đếm được các hình chữ nhật mở.
11
2. Tập đóng. Bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa 2
1. Tập hợp A ⊂ X gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở.
2. Điểm x được gọi là một điểm dính của tập A nếu A ∩B(x, r) 6= ∅,∀r > 0.
3. Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A hay ClA.
Hiển nhiên ta luôn có A ⊂ A.
Tính chất.
1. ∅, X là các tập đóng.
Giao của một số tùy ý các tập đóng là tập đóng.
Hợp của hữu hạn tập đóng là tập đóng.
2. A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
Như vậy (B ⊃ A,B đóng)⇒ B ⊃ A
3. A đóng ⇔ A = A.
Định lí 2
1. x ∈ A⇔ (∃{xn} ⊂ A : limxn = x)
2. Các tính chất sau là tương đương:
a) A là tập đóng;
b) ∀{xn} ⊂ A (limxn = x⇒ x ∈ A).
Ví dụ. Quả cầu đóng B∗(x0, r) := {x ∈ X : d(x, x0) 6 r} là tập đóng.
Chứng minh. Do sự tương đương của tính chất a), b) nên ta chứng minh B∗(x0, r) có tính
chất b). Xét tùy ý dãy {xn} mà {xn} ⊂ B∗(x0, r), xn −→ x, ta phải chứng minh x ∈ B∗(x0, r).
Thật vậy: {
d(xn, x0) 6 r ∀n = 1, 2, . . .
lim d(xn, x0) = d(x, x0) (do tính chất 3) của sự hội tụ)
⇒ d(x, x0) 6 r (đpcm)
12
Bài tập
Bài 1 Chứng minh rằng trong một không gian metric ta có
1. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B;
2. A ∪B = A ∪B;
3. A = A
Giải.
1. Ta có: (B là tập đóng, B ⊃ A)⇒ B ⊃ A.
2. Ta có: A ⊂ A ∪B,B ⊂ A ∪B (do câu 1)) nên A ∪B ⊂ A ∪B
Mặt khác: {
A ∪B là tập đóng (do A,B đóng)
A ∪B ⊃ A ∪B
⇒ A ∪B ⊃ A ∪B (do tính chất “nhỏ nhất” của bao đóng)
3. Ta có A là tập đóng nên nó bằng bao đóng của nó.
Bài 2 Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ đều. Giả sử x0 ∈ C[a,b]. Ta xét các tập sau:
M1 ={x ∈ C[a,b] : x(t) > x0(t)∀t ∈ [a, b]}
M2 ={x ∈ C[a,b] : x(t) > x0(t)∀t ∈ [a, b]}
M3 ={x ∈ C[a,b] : ∃t ∈ [a, b] : x(t) > x0(t)}
Chứng minh M1 mở, M2 và M3 đóng.
Giải.
• Chứng minh M1 mở. Xét tùy ý x ∈M1, ta có
x(t)− x0(t) > 0 ∀t ∈ [a, b]
⇒ r := inf
a6t6b
[x(t)− x0(t)] > 0 (vì ∃t0 ∈ [a, b] : r = x(t0)− x0(t0) > 0)
Ta sẽ chứng minh B(x, r) ⊂M1. Thật vậy, với y ∈ B(x, r) ta có:
sup
a6t6b
|y(t)− x(t)| < r
⇒|y(t)− x(t)| < r ∀t ∈ [a, b]
⇒y(t) > x(t)− r ∀t ∈ [a, b]
⇒y(t)− x0(t) > x(t)− x0(t)− r > r − r = 0 ∀t ∈ [a, b]
⇒y ∈M1
13
• Chứng minh M2 đóng.
Giả sử {xn} ⊂M2, xn d−→ x, ta cần chứng minh x ∈M2. Ta có limn→∞xn(t) = x(t) ∀t ∈ [a, b]
(
do xn
d−→ x
)
xn(t) > x0(t) ∀t ∈ [a, b], ∀n ∈ N∗ (do xn ∈M2)
Suy ra x(t) > x0(t)∀t ∈ [a, b] , do đó x ∈M2.
• Chứng minh M3 đóng.
Cách 1. Đặt M4 =
{
x ∈ C[a,b] : x(t) < x0(t) ∀t ∈ [a, b]
}
. Ta có M3 = C[a,b] \M4 và M4 là
tập mở (chứng minh tương tự M1 mở) nên M3 đóng.
Cách 2. Giả sử {xn} ⊂M3, xn d−→ x ta cần chứng minh x ∈M3.
Do xn ∈M3 nên tồn tại tn ∈ [a, b] thỏa xn(tn) > x0(tn). Dãy {tn} bị chặn nên có dãy con
{tnk}k hội tụ về một t0 ∈ [a, b]. Ta sẽ chứng minh x(t0) > x0(t0). Đầu tiên ta chứng minh
lim
k→∞
xnk(tnk) = x(t0) (1)
Thật vậy:
|xnk(tnk)−x(t0)| 6 |xnk(tnk)−x(tnk)|+ |x(tnk)−x(t0)| 6 d(xnk , x)+ |x(tnk)−x(t0)| (2)
và vì vế phải của (2) hội tụ về 0 khi k →∞ nên (1) đúng.
Từ xnk(tnk) > x0(tnk) và (1) ta có x(t0) > x0(t0). Ta đã chứng minh ∃t0 ∈ [a, b] : x(t0) >
x0(t0) hay x ∈M3.
Bài 3 Trong C[a,b] với metric hội tụ đều ta xét các tập hợp sau:
M1 =
{
x ∈ C[a,b] : x là đơn ánh, 0 6 x(t) 6 1 ∀t ∈ [a, b]
}
M2 =
{
x ∈ C[a,b] : x là toàn ánh, 0 6 x(t) 6 1 ∀t ∈ [a, b]
}
Chứng minh M1 không là tập đóng, M2 là tập đóng.
14