Giải các bài toán về Tỉ số phần trăm bằng phương pháp cụ thể hóa

giải 12 bài toán lớp 5 về tỉ số phần trăm
bằng giải pháp “ cụ thể hóa”
I Giới thiệu 
 Khi học sinh giải các bài toán liên quan đến “Tỉ số phần trăm”, đặc biệt là những bài toán khó, có tính trừu tượng cao thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng . 
 Việc đưa các bài toán liên quan đến Tỉ số phần trăm (%) từ các dạng toán lạ thành các dạng toán quen thuộc bằng giải pháp đưa những dữ liệu “Cụ thể hóa” hay như có GV đặt tên là “lượng hoá” (*) giúp học sinh dễ hiểu từ đó giải nhanh chóng, chính xác hơn khi gặp những bài toán đó.
II Các dạng bài toán 
 Dạng 1. Tìm tỉ số phần trăm của hai số.
Tổng quát. Muốn tìm tỉ số phần trăm của A so với B
Cách giải. Tìm thương của hai số đó bằng cách lấy A : B
 Nhân thương đó với 100 và viết kí hiệu % vào bên phải tích tìm được
Dạng 2. Tìm giá trị phần trăm của một số.
Tổng quát. Muốn tìm A% của B
Cách giải. Ta lấy B x A : 100 ( hoặc B : 100 x A )
Dạng 3. Tìm một số khi biết giá trị phần trăm của số đó.
Tổng quát. Muốn tìm một số khi biết A% của nó là B
Cách giải. Ta lấy B : A x 100 ( hoặc B x 100 : A )
 Ví dụ : qua hai bài toán trong sách giáo khoa, các bài toán có số liệu cụ thể.
Ví dụ 1. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 18m, chiều rộng 15m. Người ta dành 20% diện tích mảnh đát để làm nhà. Tính diện tích phần đất dùng làm nhà.
 (Bài 3 trang 77, SGK Toán 5)
Phân tích. Ta có 20% = , vì vậy nêu ta coi diện tích mảnh đất là 100 phần thì diện tích làm nhà là 20 phần như thế : từ % cụ thể hóa thành phân số ( số pần được chia ra ) ==> tính được diện tích phần đất làm nhà.
Bài giải.
Diện tích mảnh đất là:
18 x 15 = 270 ( m2)
Diện tích phần đất làm nhà là:
 270 : 100 x 20 = 54 (m2)
 Đáp số: 54 m2
Ví dụ 2. Số học sinh khá giỏi của trường Vạn Thịnh là 552 em, chiếm 92 % số học sinh toàn trường. Hỏi trường Vạn Thịnh có bao nhiêu học sinh?
Phân tích. Đây là dạng toán tìm một số khi biết giá trị phần trăm của số đó
Ta có: 92% = . 
Bài này đã chia học sinh của trường là 100 phần, thì học sinh khá giỏi là 92 phần 
Bài giải.
Một phần số học sinh toàn trường là:
552 : 92 = 6 ( học sinh )
Số học sinh của trường Vạn thịnh là:
6 x 100 = 600 ( học sinh )
 Đáp số: 600 học sinh
 Đối với các bài toán trên mối quan hệ trong các bài toán ( các dữ kiện ) được nêu ra một cách tường minh thì học sinh lựa chon các phép tính khá dễ dàng. Tuy nhiên trong thực tế, không phải các dữ kiện trong một bài toán cũng thể hiện rõ ràng như vậy mà chúng ẩn sau những tình huống thực tế của bài toán.
 Vì vậy giải pháp “ cụ thể hóa” các số liệu đã cho để đưa các bài toán đó về dạng toán quen thuộc.
Ví dụ 3. So với năm học 2006- 2007, số học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 của một trường tiểu học tăng 25%. Hỏi so với năm học 2007 - 2008 số học sinh giỏi năm học 2006 - 2007 chiếm bao nhiêu phần trăm? 
Cách 1. Ta coi số học sinh năm học 2006-2007 là 100%
 Khi đó, số học sinh giỏi năm học 2007-2008 chiếm.
 100% + 25% = 125%
So với năm học 2006-2007, số học sinh gỏi năm học 2007-2008 chiếm số phần trăm là: 100% : 125% = 0,8 = 80%
 Đáp số: 80%
Học sinh có thể tìm ra các cách giải khác .
Phân tích. Giả sử số học sinh giỏi năm học 2006-2007 là một số cụ thể . Tính số học sinh giỏi năm học 2007-2008 tăng lên so với năm học 2006-2007. Từ đó tìm số học sinh năm học 2007-2008 rồi tính tỉ số phần trăm của số học sinh giỏi năm học 2006-2007 so với năm học 2007-2008.
Bài giải.
Ta giả sử số học sinh giỏi năm học 2006-2007 là 100 học sinh.
Số sinh giỏi năm học 2007- 2008 tăng thêm so với năm học 2006-2007 là:
100 : 100 x 25 = 25 ( học sinh ) 
Số học sinh gỏi năm học 2007- 2008 là:
100 + 25 = 125 ( học sinh )
So với năm học 2007 – 2008, số học sinh giỏi năm học 2006 - 2007 chiếm:
100 : 125 = 0.8 
 0.8 = 80%
 Đáp số : 80%
 Qua ví dụ trên cho học sinh so sánh hai cách giải, cách giải nào các em thấy quen thuộc hơn và cụ thể, dễ hiểu hơn. Để giúp học sinh trả lời cho câu hỏi đó, ta tiếp tục tìm hiểu các ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 4. Một người mua một cái áo ấm được hạ giá 20% so với giá niêm yết. Người đó lại bán cái áo ấy bằng với giá niêm yết thì người đó được lãi bao nhiêu phần trăm?
Phân tích. Tương tự với bài toán trên, giả sử giá niêm yết là một số cụ thể nào đó . Từ đó tính giá mua áo, số tiền lãi thu được khi bán áo theo giả sử rồi tính số phần trăm tiền lãi.
Bài giải. 
 Giả sử giá niêm yết của cái áo là 100 000 đồng
 Giá mua cái áo đó là: 
100000 – (100000 x 20 : 100) = 80000 ( đồng ) *
 Người đó bán cái áo với số tiền lãi là: 
 100000 – 80000 = 20000 ( đồng )
 Người ấy lãi số phần trăm là: 
 20000 : 80000 = 0,25 **
 0,25 = 25% 
 Đáp số : 25%
Để giải bài toán trên học sinh phải huy động các kiến thức:
Tìm giá trị phần trăm của một số ( bước *)
Tìm tỉ số phần trăm của hai số ( bước ** )
Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 5. Nhân dịp ngày lễ 1- 6 một cửa hàng sách giảm giá 10% giá bìa. Tuy vậy của hàng vẫn lãi 12,5% so với giá mua. Hỏi thường ngày cửa hàng lãi bao nhiêu phần trăm so với giá mua?
Phân tích, hướng dẫn học sinh giải: 
- Coi giá bìa quyển sách là một số cụ thể ( với đơn vị đồng)
- Từ đó tính giá bán khi hạ giá 10%
- Tính giá vốn quyển sách 
- Tìm số tiền lãi có được khi bán theo giá bìa.
- Tìm tỉ số phần trăm mà cửa hàng được lãi.
Bài giải.
Giả sử, giá bìa của quyển sách là 10000 đồng thì giá bán ngày lễ 1 – 6 là:
10000 – (10000 x 10 : 100 ) = 9000 ( đồng ) *
Giá vốn của quyển sách là:
9000 : ( 100 + 12,5 ) x 100 = 8000 ( đồng )
Nếu bán theo giá bìa thì lãi được số tiền là:
10000 – 8000 = 2000 ( đồng )
Ngày thường cửa hàng lãi số phần trăm so với giá mua là:
2000 : 8000 = 0,25 **
 0,25 = 25%
 Đáp số : 25 %
Để giải bài toán trên học sinh phải huy động các kiến thức:
Tìm giá trị phần trăm của một số ( bước *)
Tìm tỉ số phần trăm của hai số ( bước ** )
Trừ các số tự nhiên, tính giá trị biểu thức
Ví dụ 6. Giá bán xe máy tháng 2 tăng 11% so với tháng 1, giá bán xe máy tháng 3 giảm 11% so với tháng 2. Hỏi giá xe máy tháng 3 tăng hay giảm như thế nào so với tháng 1?
Phân tích. 
- Coi giá bán xe máy tháng 1 là một số cụ thể. ( nên coi giá bán là số tròn nghìn )
- Tính giá bán xe máy tháng 2 so với tháng 1
- Tính giá xe máy tháng 3 so với tháng1
- So sánh giá bán xe tháng 3 so với tháng1
Bài giải.
Coi giá bán xe máy tháng 1 là: 10000000 ( đồng )
 Giá bán xe máy tháng 2 so với tháng 1 là:
 10000000 + 10000000 x 11 : 100 = 11100000 ( đồng )
 Giá bán xe máy tháng 3 so với tháng 2 là:
 11100000 – 11100000 x 11 : 100 = 9879000 ( đồng )
Vì 9879000 < 10000000, nên giá bán xe máy tháng 3 giảm so với tháng 1.
 So với tháng 1 thì giá bán xe tháng 3 giảm:
10000000 – 9879000 = 121000 ( đồng )
So với tháng 1, giá bán xe máy tháng 3 giám số phần trăm so với tháng 1 là:
121000 : 10000000 = 0,0121
 0,0121 = 1,21%
 Đáp số : 1,21%
Ví dụ 7. Giá vé vào cửa vào cửa của một sân vận động là 20000 đồng sau khi hạ giá vé vào cửa thì số người vào xem tăng lên 25% và doanh thu tăng 12,5%. Hỏi sau khi hạ giá vé thì giá vé vào cửa là bao nhiêu?
Phân tích. 
- Giả sử coi số người vào xem là một số cụ thể.
- Tính số tiền bán vé thu được theo giá vé 2000 đồng
- Tính số người vào xem khi hạ giá vé ( số người vào xem tăng lên 25% )
- Tính doanh thu khi hạ giá vé ( doanh thu tăng lên 12,5% )
- Từ đó tính giá vé sau khi hạ giá
Bài giải.
Giả sử lúc đầu lúc đầu khi chưa hạ giá vé có 80 người vào xem.
Khi đó, số tiền thu được từ bán vé là:
20000 x 80 = 1600000 ( đồng )
Khi hạ giá vé, số người vào xem tăng thêm là
80 x 25 : 100 = 20 ( người )
Tổng số người vào xem khi hạ giá vé là:
80 + 20 = 100 ( người )
Khi hạ giá vé doanh thu từ bán vé tăng thêm số tiền là;
1600000 x 12,5 : 100 = 200000 ( đồng )
Tổng số tiền thu được từ bán vé khi hạ giá vé là:
1600000 + 200000 = 1800000 ( đồng )
Giá vé sau khi hạ là:
1800000 : 100 = 18000 ( đồng )
 Đáp số: 180 00 đồng
Ví dụ 8. Khối lượng công việc tăng 80% nhưng năng suất lao động chỉ tăng 20%. Hỏi phải tăng số công nhân thêm bao nhiêu phần trăm để hoàn thành công việc ấy?
Phân tích. Ta coi công việc được giao và năng suất của mỗi công nhân là một số cụ thể nào đó, từ đó ta tính khối lượng công việc khi khối lượng tăng lên 80%, tính 
năng suất mỗi công nhân khi năng suất tăng lên 20% từ đó ta sẽ tính được số phần trăm công nhân tăng lên tương ứng.
Bài giải.
Giả sử, công việc mà công nhân được giao là đào 100m mương, năng suất mỗi công nhân là 10 m/ngày.
	Số mét mương mà công nhân cần đào khi tăng lên 80% là:
100 + 100 x 80 : 100 = 180 ( m )
Năng suất tăng thêm 20% nên năng suất của công nhân là:
10 + 10 x 20 : 100 = 12 ( m/ngày )
Với năng suất và khối lượng không thay đổi thì số công nhân cần để hoàn thành công việc là:
100 : 10 = 10 ( công nhân )
Khi thay đổi khối lượng và năng suất thì số công nhân cần để hoàn thành công việc là: 180 : 12 = 15 ( công nhân )
 Số công nhân tăng thêm là:
 15 – 10 = 5 ( công nhân )
Để hoàn thành công việc thì số công nhân phải tăng thêm là:
5 : 10 = 0,5
 0,5 = 50%
 Đáp số: 50%
Ví dụ 9. Một cửa hàng còn một số mứt không bán hết trong Tết. Cửa hàng bèn hạ giá 15%, vẫn không bán được cử hàng lại hạ giá 15% và đã bán hết số mứt ấy. Tuy vậy cửa hàng vãn lãi 15,6%. Hỏi trong Tết cửa hàng lãi bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn học sinh giải tương tự các ví dụ trên.
- Giả sử số tiền thu được khi bán hết mứt là một số cụ thể
- Tính số tiền thu được sau các lần hạ giá.
- Tính số tiền thu được với số lãi 15,6%
- Từ đó tính số tiền lãi trong Tết.
Bài giải.
Giả sử, số tiền thu được khi bán hết mứt mà không hạ giá là: 100000 đồng
Số tiền thu được khi bán hết mứt khi hạ giá lần thứ nhất là:
100000 – 100000 x 15 : 100 = 85000 ( đồng )
Số tiền có được khi bán hết mứt sau khi hạ giá lần thứ 2 là:
85000 – 85000 x 15 : 100 = 72250 ( đồng )
Với số lãi 15,6% cửa hàng thu về số tiền khi bán hết mứt là:
100000 + 100000 x 15,6 : 100 = 115600 ( đồng)
Số tiền thu thêm được so với lần hạ giá lần 2 là:
115600 -72250 = 43350 ( đồng
 Trong Tết cửa hàng lãi :
43350 : 72250 = 0,6 ==> 0,6 = 60%
Đáp số: 60%
 Một số bài Toán về hình học có liên quan đến tỉ số phần trăm ta cũng có thể áp dụng cách giải trên để giải một cách đơn giản, dễ hiểu.
Ví dụ 10. Có một mảnh đất hình chữ nhật nêu ta tăng chiều dài 20%, giảm chiều rộng 20% thì diện tích của mảnh đất ấy tăng hay giảm và tăng giảm và tăng giảm bao nhiêu phần trăm?
Phân tích. Để giải bài toán này ta cũng gán số đo chiều dài, số đo chiều rộng là một số cụ thể nào đó từ đó ta sẽ dễ dàng tính được diện tích cũ, diện tích mới rồi so sánh.
Bài giải.
 Giả sử, chiều dài của mảnh đất đó là 20m, chiều rộng là 15m
Diện tích của mảnh đất khi chưa thay đổi chiều dài chiều rộng là:
20 x 15 = 300 (m2)
Chiều dài của mảnh đất khi tăng 20% là:
20 + 20 x 20 : 100 = 24 (m)
Chiều rộng của mảnh đất ấy khi giảm 20% là:
15 – 15 x 20 : 100 = 12 ( m )
Diện tích của mảnh đất mới là:
24 x 12 = 288 ( m2 )
288 < 300, nên diện tích mảnh đất sẽ giảm.
So với diện tích cũ diện tích mới giảm
300 – 288 = 12 ( m2 )
Vậy diện tích của mảnh đất mới giảm số phần trăm là:
12 : 300 = 0,04
 0,04 = 4%
 Đáp số: 4%
Cách 2. Ta coi chiều dài của mảnh đất là a, chiều rộng của mảnh đất là b thì diện tích mảnh đất đó là: a x b
Chiều dài mảnh đất khi tăng lên 20% là: a
Chiều rộng mảnh đất khi giảm 20% là: b
Diện tích mảnh đất mới là: a x b = a x b
Diện tích mảnh đất mới giảm số phần trăm là: a x b – a x b = 4 % 
 Đáp số: 4%
 Trong hai cách giải trên ta thấy giải theo cách 2 tuy ngắn gọn hơn nhưng khá trừu tượng đối với học sinh tiểu học. Vì vậy tôi đã chọn giải pháp “ lượng hoá” để hướng dẫn học sinh giải như cách 1.
Ví dụ 11. Đáy của một tam giác tăng lên 15%, chiều cao tương ứng giảm đi 15% thì diện tích hình tam giác tăng hay giảm và tăng giảm bao nhiêu phần trăm?
Bìa giải.
Giả sử, độ dài cạnh đáycủa tam giác đó là 20cm, chiều cao tương ứng là 12cm
Diện tích của tam giác cũ là:
 = 120 ( cm2)
Độ dài cạnh đáy khi tăng lên 15% là:
20 + 20 x 15 : 100 = 23 (cm )
Chiều cao tương ứng khi giảm 15% là:
12 – 12 x 15 : 100 = 10,2 ( cm )
Diện tích hình tam giác mới là:
 = 117,3 ( cm2 )
117,3 < 120, nên diện tích hình tam giác mới giảm so với diện tích hình tam giác cũ.
Diện tích mới giảm số xăng-ti-mét vuông là:
120 – 117,3 = 2,7 ( cm2 )
So với diện tích hình tam giác cũ diện tích hình tam giác mới giảm số phần trăm là:
2,7 : 120 = 0,0225
 0,0225 = 2,25% Đáp số: 2,25%
*
Ví dụ12: Có một mảnh đất hình thang nếu người ta tăng chiều cao lên 10%, giảm độ dài đáy bé 5%, đáy lớn 5%. Hỏi diện tích mảnh đất đó tăng hay giảm và tăng giảm bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn học sinh giải.
- Giả sử chiều cao, đáy bé, đáy lớn là một số cụ thể.
- Từ đó tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu.**
- Tính diện tích mảnh đất sau khi thay đổi
- So sánh diện tích mảnh đất trước và sau khi thay đổi.
Bài giải.
Giả sử, chiều cao mảnh đất hình thang là 20m, đáy bé mảnh đất 10m, đáy lớn mảnh đất 16m.
Diện tích mảnh hình thang đất ban đầu là:
( 10 + 16 ) x 20 : 2 = 260 ( m2 )
Chiều cao mảnh đất khi tăng lên 10% là:
20 + ( 20 x 10 : 100 ) = 22 (m)
Đáy bé khi giảm đi 5% là:
10 - ( 10 x 5 : 100 ) = 9,5 (m )
Đáy lớn khi giảm 5% là:
16 – ( 16 x 5 : 100 ) = 15,2 (m)
Diện tích mảnh đất khi thay đổi là;
( 9,5 + 15,2 ) x 22 : 2 = 271,7 ( m2 )
Vì: 271,7 m 2 > 260 m2, nên diện tích mảnh đất tăng so với ban đầu.
Diện tích mảnh đất mới hơn diện tích mảnh đất cũ số mét vuông là:
271,7 – 260 = 11, 7 (m2)
Diện tích mảnh đất mới tăng lên số phần trăm so với diện tích cũ là:
11,7 : 260 = 0,045
 0,045 = 4,5%
 Đáp số: 4,5%
 III. Kết luận: 
 Không có phương pháp là vạn năng, với cách giải các bài toán bằng giải pháp “ cụ thể hóa/lượng hoá” tỉ số phần trăm phù hợp với trình độ của các HS tư duy toán hoc trừ tương chưa nhiêu, giúp các em thấy dễ hiểu và biết cách tư duy phù hợp khi giải các bài toán.