Đềkiểm tra học kỳ 2 (2008 – 2009) môn toán lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trung tâm Bồi Dưỡng Kiến Thức Quang Minh 
1
Sở Giáo dục – Đào tạo 
 TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 (2008 – 2009) 
 MÔN TOÁN LỚP 9 
Đề chính thức Thời gian làm bài: 90 phút 
Bài 1. (3 điểm) 
 Giải các phương trình và hệ phương trình: 
 a) 25 6 0x x− − = 
 b) 22 2 3. 0x x− = 
 c) 4 23 54 0x x− − = 
 d) 
3 7 7
2 5 5
x y
x y
+ =⎧⎨ + = −⎩ 
Bài 2. (2 điểm) 
 Cho phương trình: 2 22 2 0x mx m+ − = ( x là ẩn số) 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có ngiệm với mọi giá trị của m 
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m 
c) Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 1 2 1 2.x x x x+ = 
Bài 3. Cho hàm số ( )2
2
xy P−= 
a) Vẽ đồ thị ( )P của hàm số trên. 
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị ( )P có tung độ bằng – 5 
Bài 4. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có 3 đường cao là , ,AD BE CF cắt nhau tại H . 
a) Chứng minh rằng các tứ giác ,BCEF AEHF là các tứ giác nội tiếp. 
b) Chứng minh . .EH EB EA EC= . 
c) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 
d) Cho 5, 3, 4AD BD CD= = = . Tính diện tích tam giác BHC . 
Hướng dẫn giải 
Câu 1. 
a) 25 6 0x x− − = 
( )21 4.5.6 121 0 11Δ = − + = > ⇒ Δ = 
Phương trình có hai nghiệm 
1
2
1 11 6
2.5 5
1 11 1
2.5
x
x
+⎡ = =⎢⎢ −⎢ = = −⎢⎣
Nguyễn Tăng Vũ – Trung tâm Bồi Dưỡng Kiến Thức Quang Minh 
2
Vậy 61;
5
S ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭ 
( Chú ý: Còn các cách làm khác) 
b) Ta có 
( )
22 2 3 0
2 2 3 0
0
0
2 3 62 2 3 0
2
x x
x x
x
x
xx
− =
⇔ − =
=⎡=⎡ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢ = =− =⎣ ⎢⎣
Vậy { }0; 6S = 
c) 4 23 54 0x x− − = 
Đặt ( )2 0t x t= ≥ . Phương trình trở thành: 
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
2
3 54 0
9 6 54 0
9 6 9 0
9 6 0
9
6
t t
t t t
t t t
t t
t n
t l
− − =
⇔ − + − =
⇔ − + − =
⇔ − + =
=⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣
Với 9t = ta có 2 39
3
x
x
x
= −⎡= ⇔ ⎢ =⎣ 
Vậy phương trình có hai nghiệm và { }3;3S = − 
d) Ta có: 
3 7 7 6 14 14
2 5 5 6 15 15
29 29
5 5 70
2
x x x y
x y x y
y y
y xx
+ = + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = − + = −⎩ ⎩
= −⎧ = −⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− − == ⎩⎪⎩
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm ( );x y là ( )70; 29− 
Bài 2. 2 22 2 0x mx m+ − = 
a) Ta có 2 2 22 3 0m m m m′Δ = + = ≥ ∀ ∈\ 
Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m∈\ 
b) Phương trình có hai nghiệm 1 2,x x . Theo định lý Viet ta có: 
1 2
2
2
1 2
2 2
1
2 2
1
mS x x m
mP x x m
−⎧ = + = = −⎪⎪⎨ −⎪ = = = −⎪⎩
Nguyễn Tăng Vũ – Trung tâm Bồi Dưỡng Kiến Thức Quang Minh 
3
c) Ta có: 
( )
1 2 1 2
2
2
2 2
2 2 0
2 1 0
0
1
x x x x
m m
m m
m m
m
m
+ =
⇔ − = −
⇔ − =
⇔ − =
=⎡⇔ ⎢ =⎣
Vậy các giá trị m cần tìm là 0 và – 1 
Bài 3. 
a) Bảng giá trị 
x 2− 1− 0 1 2 
y 2− 1
2
− 0 1
2
− 2− 
Đồ thị hàm số 
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 5 10 15
y
x
b) Gọi điểm thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng 5− là ( ); 5M m − 
Ta có ( ) ( ); 5M m P− ∈ suy ra 2 2 105 10
2 10
mm m
m
⎡ = −−− = ⇔ = ⇔ ⎢ =⎢⎣
Vậy có hai điểm thuộc đồ thị ( )P có tung độ bằng – 5 là ( )1 10; 5M − − và ( )2 10; 5M − 
Nguyễn Tăng Vũ – Trung tâm Bồi Dưỡng Kiến Thức Quang Minh 
4
Bài 4. 
a) Chứng minh các tứ giác ,BCEF AEHF nội 
tiếp 
Xét tứ giác BCEF có 
+ n 090BEF = (do BE là đường cao của ABCΔ ) 
+ n 090BFC = ( do CF là đường cao của ABCΔ ) 
Suy ra n n 090BEC BFC= = . 
Suy ra tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (Hai 
đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc 
vuông) 
Xét tứ giác AEHF có n n0 090 , 90AEH AFH= = 
Suy ra n n 0 0 090 90 180AEH AFH+ = + = . Do đó tứ 
giác AEHF nội tiếp (hai góc đối bù nhau) 
b) Chứng minh . .EH EB EA EC= 
Xét tam giác AEH và tam giác BEC có: 
+ n n ( )090AEH BEC= = 
+ n nHAE CBE= (cùng phụ với nACB ) 
Suy ra: 
( ).
. .
AEH BEC g g
AE EH AE CE EH EB
BE EC
∩∪Δ Δ
⇒ = ⇒ = 
c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của DEFΔ 
Xét tứ giác AFDC có n n 090AFC ADC= = nên AFDC là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một 
cạnh dưới một góc vuông) 
Suy ra n nDFC DAC= (1) 
Hơn nữa, tứ giác AEHF nội tiếp (cmt) nên n nDAC CFE= (2) 
Từ (1) và (2), suy ra n nDFC CFE= , suy ra DC là phân giác của góc nDFE . 
Chứng minh tương tự ta cũng có EB là phân giác của góc nDEF . 
Xét tam giác DEF có ,DC EB là hai phân giác trong và chúng cắt nhau tại H nên H là tâm đường 
tròn nội tiếp của tam giác DEF . 
d) Tính diện tích tam giác BHC 
Xét tam giác DHB và tam giác DCA có: 
H
F
D
E
A
B C
Nguyễn Tăng Vũ – Trung tâm Bồi Dưỡng Kiến Thức Quang Minh 
5
+ n n ( )090HDB CDA= = 
+ n nDBH DAC= (cùng phụ với nACB ) 
Suy ra: 
( ).
. 3.4 12. .
5 5
DHB DCA g g
DH DB
DC DA
DB DCDH DA DB DC DH
DA
∩∪Δ Δ
⇒ =
⇒ = ⇒ = = =
Và do tam giác ABC nhọn nên D nằm giữa ,B C , suy ra 3 4 7BC DB DC= + = + = 
Vậy ( )1 1 12 42. . .7.
2 2 5 5BHC
S BC HD dvdt= = = 
Hết