Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi cấp huyện môn: Toán 9 (Trường THCS Triệu Thanh)

 PhòngGD Huyện Thiệu Hoá Đề thi chon học sinh giỏi cấp huyện 
 Trường THCS Thiệu Thành Năm học 2006 - 2007
Môn : Toán học Lớp 9
Đề bài :
I. Phần trắc nghiệm :
 Câu1 (1đ): Cho phương trình 
 Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau :
A/ Phương trình vô nghiệm 	 B/ Phương trình có duy nhất một nghiệm 
C/ Phương trình có đúng hai nghiệm	 D/ Phương trình có vô số nghiệm.
 Câu2 (1,5đ): Cho a,b,c là các số dương ( a ạ b ) với A = 
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước khẳng định đúng :
a/ A ³ B 	b/ B > > A 	 c/ B < < A
 Câu3 (1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng :
 Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 
d1: y = x và d2 : y = là:
A/ 450 	 B/ 600 	 C/ 750 	 D/ 900 
 Câu4 ( 1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng :
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho cả hai số n và n + 1001 đều là các số chính phương :
 A/ 1024 B/ 1600 C/ 4624 D/ 250000 E/ các câu trên đều sai
 Câu5 ( 1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng : 
 Diện tích của một tam giác ba đỉnh có toạ độ lần lượt (0 , 0) ; (-1 , 3) ; (3 , 1) là:
A/ 4 ; B/ 4 ; C/ 4 ; D/ 5 ; E/ các câu trên đều sai
II. Phần tự luận :
 Câu6 (3đ): Cho biểu thức A = ( - ) : 
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để 0 < A < 2
c/ Với những giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên.
 Câu7 (1,5đ): 1/ Cho hai số x, y thảo mản đẳng thức: 8x2 + y2 + = 4
 Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 
 2/ Giải phương trình : x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
Câu8 (2,5đ): 1/ Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố 
 2/ Tìm x, y nguyên dương sao cho: + = 
 Câu9 (4đ): Cho ∆ AHC có 3 góc nhọn, đường cao HE , trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với HE. Hai trung tuyến AM và BK của ∆ ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O
a/ Chứng minh : ∆ ABH ഗ ∆ MKO 
b/ Chứng minh : 
 Câu10 (2đ): Cho a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 
 abc ( b + c - a )( a + c - b )( a + b - c )
Hướng dẫn chấm:
I/ Trắc nghiệm:
Câu1 (1,5đ): Đáp án : C đúng
Câu2 (1,5đ): Mỗi ý đúng cho 0,5 điểm : a/ Đúng ; b/ Sai ; c/ Đúng
Câu3 (1,5đ): Đáp án : C đúng
Câu4 (1,5đ): Giả sử n = h2 và n + 1001 khi đó k2 - h2 = ( k - h )( k + h ) = 1 + 1001 
 => h = 500 vậy đáp án đúng là D
Câu5 (1,5đ): Đáp án D
II/ Tự luận :
 Câu6 (3đ):
 Điều kiện: x ; -2003 ( 0,5đ)
 a. (1,5) A = 
 b.(1đ) 0 x < - 2003
 c. (1đ) x = 2003 và x = - 2003 
Câu 7(2đ) 
1/ (1đ) 8x2 + Y2 + = 4
 (4x2 + - 2) + (4x2 + y2 + 4xy) - 4xy - 2 = 0 (0,25đ)
 => 4xy = (2x - )2 + (2x + y )2 - 2 - 2 (0,25đ)
 => xy - 2x - = 0 và 2x + y = 0 (0,25đ) 
Vậy Min xy - (x; y) { (; -1) , (- ; 1)} (0,25đ)
 2/ (1đ) Ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT => x - 1 0 (0,5đ)
 Nhân hai vế của PT với x - 1 ta được x5 - 1 = 0 x = 1 không thoả mản điều kiện trên.
Vây PT vô nghiệm (0,5đ) 
Câu 8(2đ):
1/ (1đ) Với P = 2 và P = 3 không thảo mản bài toán
 Giả sử P = 5k + r , k Z và r là một trong các số: 0, 1, 2, 3, 4 (0,25đ)
 4p2+1 = 100k2 + 40kr + 4r2+1
 6p2+1 = 150k2 + 60kr + 6r2+1 (0,25đ)
Từ đó ta có nhận xét sau:
- Nếu r = 0 suy ra p phải chia hết cho 5, 4p2+1 và 6p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 1 suy ra 4p2+1 chia hết cho 5, 6p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 2 suy ra 6 p2+1chia hết cho 5 , p và 4p2+1chia hết cho 5
- Nếu r =3 suy ra 6p2+1 chia hết cho 5 ; p và 4p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 4 suy ra 4p2+1 chia hết cho 5 ; p và 6p2+1 không chia hết cho 5 (0,25đ)
Chứng tỏ: trong 3 số p; 4p2+1; 6p2+1 có đúng một nghiệm chia hết cho 5 mà p là số nguyên tố nên p =5. Khi đó 4p2+1 = 101 ; 6p2+1 = 151 là số nguyên tố 
Vậy có duy nhất một số nguyên tố p =5 (0,25đ) (1đ)
2/(1đ) + = 
 + = 
Vì x, y nguyên dương và vai trò như nhau. (0,25đ)
Giả sử x và có dạng = , = b với a + b = 4( 0,25đ)
(a, b N, ab) => a = 1 và b = 3 hoặc a =2 và b = 2 (0,25đ)
Vậy giá trị x, y nguyên dương cần tìm là ( 3; 27), (12; 12). (0,25đ) 
Câu 9(4đ): Vẽ hình, viết giả thiết kết luận (0,5đ) 
A
 ∆ AHC nhon, HE AC (E AC); 
 GT CB AH (B HE); BM = MC; AK = KC;
E
 AM cắt BK tại I; OK AC; OM BC
 KL a/ ∆ ABH ഗ ∆ MKO 
H
 b/ 
C
 Chứng minh
a/(2đ) Ta có :MO// HA (vì cùng BC); OK// BE (vì cùng AC) 
 =>KOM = BHA (góc nhọn có cạnh tương ứng song song) (1) (0.75đ)
MK//AC (vì M là trung điểm của BC, K là trung điểm của AC. Nên MK là đường trung bình của ∆ ABC) => HAB = KMO (góc nhọn có cạnh tương ứng song song) (2) (0.75đ)
Từ (1) và (2) => ∆ ABH ഗ ∆ MKO (0.5đ)
b/(1,5đ) Theo câu (a) ta có ∆ ABH ഗ ∆ MKO => (0.25đ)
Xét ∆ AIH và ∆ MIO có : (do I là trọng tâm của ∆ ABC ) và OMI = HAI (so le trong) (0.25đ)
 => ∆ AIH ഗ ∆MIO => (0.25đ) 
Do đó : (0.25đ) 
 => = (0.25đ)
 => = (0.25đ)
Câu 10(2đ): 
Vì a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác nên: (0.3đ) 
 = = = b (1) (0.4đ)
Tương tự: c (2) (0.3đ)
 a (3) (0.3đ)
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. (0.3đ)
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức là tam giác đều (0.4đ)