Đề thi tuyển vào lớp kĩ sư tài năng năm 2011 môn Toán - Đại học bách khoa Hà Nội

Đại học Bách khoa Hà Nội
ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP KĨ SƯ TÀI NĂNG NĂM 2011
Môn Toán. Thời gian: 120 phút.
www.VNMATH.com
Câu I.
1. Tính
I = lim
n→+∞
n
√
n2012 + 2012n.
2. Cho cấp số cộng a1, a2, . . . , an, . . . và cấp số nhân b1, b2, . . . , bn, . . . thỏa mãn ak > 0,∀k và
a1 = b1 6= a2012 = b2012. Chứng minh rằng ak > bk,∀1 < k < 2012.
Câu II.
1. Giải phương trình √
2x2 + 10x+ 12−
√
x2 + 2x− 3 = 2√x+ 2.
2. Hàm số y = sin
(
x2 + 4x+ 4
)
có phải là một hàm số tuần hoàn không?
3. Tìm điều kiện của a, b để phương trình x3 + ax+ b = 0 có nghiệm duy nhất.
Câu III. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta luôn có
sin4
A
2
+ sin4
B
2
+ sin4
C
2
≥ 3
16
.
Câu IV. Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 3 phương án trả lời, trong đó chỉ
có một phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Hỏi xác suất thí sinh đó đạt
điểm nào là cao nhất, biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và trả lời sai không được điểm
nào.
1