Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Hà Nội (Có lời giải)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 NĂM HỌC: 2019 – 2020 
 HÀ NỘI 
 Môn thi: TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 02 tháng 6 năm 2019 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1. (2,0 điểm) 
 41 x 15 xx 2 1
 Cho hai biểu thức A và B : với xx 0, 25 . 
 25 x x 25 xx 55
 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . 
 2) Rút gọn biểu thức B . 
 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức PAB . đạt giá trị nguyên lớn nhất. 
Bài 2. (2,5 điểm) 
 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 
 Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất 
 làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai 
 đội hoàn thành được 25 % công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới 
 xong công việc trên? 
 2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1, 75 m và diện tích đáy là 0,32 m2. 
 Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). 
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Giải phương trình xx42 7180. 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng dy:2 mxm2 1 và parabol 
 Pyx: 2 . 
 a) Chứng minh d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. 
 b) Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x12, x thỏa 
 11 2
 mãn 1. 
 xx12 xx 12
Bài 4. (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao BE 
 và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . 
 1) Chứng minh bốn điểm B,,,CEF cùng thuộc một đường tròn. 
 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . 
 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm 
 I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng 
 với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . 
Bài 5. (0,5 điểm) 
 Cho biểu thức Pa 44 b ab, với ab, là các số thực thỏa mãn abab22 3 . Tìm giá trị 
 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 
 ---------- HẾT ---------- HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1. (2,0 điểm) 
 41 x 
 1) A với xx 0, 25 
 25 x
 Thay x 9 (tmđk) vào biểu thức A ta được: 
 491 4.4
 A 1. 
 25 9 16
 Vậy với x 9 thì A 1. 
 15 xx 2 1
 2) B : với xx 0, 25 
 xx 25 5 x 5
 15 xx 2 5 x 1
 B : 
 xx 55 x 5
 15 xx 2 10 x 5
 B . 
 xx 55 x 1
 xx 55
 B . 
 xx 55 x 1
 1
 B 
 x 1
 1
 Vậy B . 
 x 1
 3) PAB . với xx 0, 25 
 41 x 14
 P . 
 25 x x 1 25 x
 4
 Để P nguyên nguyên 25 x Ư 4 25 x 4; 2; 1 . 
 25 x
 Ta có bảng sau: 
 25 x 4 4 2 2 1 1 
 x 29 21 27 23 26 24 
 P 1 1 2 2 4 4 
 Vậy P nguyên lớn nhất bằng 4 khi x 24 . 
Bài 2. (2,5 điểm) 
 1) Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là x (ngày) xx 15; 
 Gọi thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là y (ngày) yy 15; 
 Hai đội làm chung công việc thì trong 15 ngày là xong nên ta có phương trình 
 11 1
 1 
 xy15 Vì đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 
 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25 % công việc nên ta có phương trình 
 35 25
 2 
 xy100
 11 1
 xy15
 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình 
 351
 xy4
 11
 x 24 x 24
 (tmđk) 
 11 y 40
 y 40
 Vậy đội thứ nhất làm một mình trong 24 ngày thì xong công việc, đội thứ hai làm một mình 
 trong 40 ngày thì xong công việc. 
 2) 
 Số mét khối nước bồn nước đựng được là: 1,75.0,32 0,56 m3 . 
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) xx42 7180 xxx 422 29180 xx 22 29 x 2 20 
 x2 2( loai )
 xx22290 x 3. 
 2
 x 9
 Vậy x 3 là nghiệm của phương trình đã cho. 
 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm: xmxm2222 21210 xmxm 
 '2mm 2 110 m . 
 d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. 
 x12 xm2
 Theo Vi-et ta có: 2 
 xx12 m 1
 2
 Điều kiện: xx12 01 m m 1. 
 11 2
 Ta có: 12x12xxx 12 
 xx12 xx 12
 22mm22 1 mm 2303 mmm 2 30 
 mm 330310 m m m 
 mtm 3 
 m 1 loai
 Vậy m 3 . 
 Bài 4. (3,0 điểm) 
 A
 E
 J
 P
 F O
 H
 I C
 K
 B M
 D
 1) Ta có BEC BFC 900 . 
 Do đó tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (theo dấu hiệu: tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh 
 đối diện các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp). 
 2) Kẻ đường kính AOD , gọi J AO FE . 
 Tứ giác BCEF nội tiếp nên AFE ACB . 
 Mà ACB ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB của O ). 
 Suy ra AFE AFJ ADB . 
 Do đó FAJ AFJ BAD ADB 900 . Suy ra AJF 900 hay OA FE . 
 * Cách khác: Vẽ xy là tiếp tuyến tại A của O . 
 3) 
 +) Ta có APE AIB (vì cùng phụ với góc PAJ ). 
 Lại có tứ giác BCEF nội tiếp nên AEP ABI . 
 Do đó tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB (g – g). 
 +) 
 * Dễ dàng chứng minh được tứ giác BDCH là hình bình hành, suy ra H ,,KD thẳng hàng. * Vì BAI PAE PAF EAJ . 
 AH AF
 Do đó tam giác ACD đồng dạng với tam giác AFH (g – g), suy ra 1 . 
 ADAC
 AP AF
 Tam giác AFP đồng dạng với tam giác ACI (g – g) nên 2 
 AIAC
 AH AP AP AI
 * Từ 1, 2 suy ra IPHD// hay IP// HK . 
 ADAIAHAD
Bài 5. (0,5 điểm) 
 * Tìm Min: 
 Ta có ab22 2 ab Dấu “=” xảy ra ab 
 a22 b ab333 ab ab ab 1 
 2
 ab22 
 ab44 
 2
 Dấu “=” xảy ra ab22 
 222 2 2
 ab 3 ab ab22 692 ab ab ab 47
 Aabab 
 22 2 2
 ab 14349 ab ab 2 
 97 
 A 1 
 2
 ab 11 a b
 Dấu “=” xảy ra 
 ab ab 1
 ab 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất là 1 khi và chỉ khi 
 ab 1
 * Tìm Max 
 ab x 2
 Đặt x 4y 
 ab y
 1333 ab 2 ab x22y x y 
 2
 A a2 b 2232 a 22 b ab ab2 a 22 b ab 
 ab22692 ab ab 22 ab ab 22 79 ab 2
 22 49 49 7 85
 yy 79 yy 7 9 y 
 44 2 4
 xy2 3 771
 y 3 y 3 
 2
 x 0 222
 22
 71 785185
 yy 21 
 24 2444
 yababab 30 3;3 
Dấu “=” xảy ra 
 xabab 033 ab 3; 3
 ab 3; 3
Vậy giá trị lớn nhất của A là 21 khi . 
 ab 3; 3
 ---------- HẾT ----------