Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2011 - 2012 môn: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
 Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
 Đề CHíNH THứC
	 Môn : Toán 
 (dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)
 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011
Câu I (2,5 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Chứng minh rằng: 
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: 
Câu IV : (3 điểm)
	Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc DBE cắt cạnh BC tại I. CMR :
Tam giác DIE vuông
Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
 --------------- Hết---------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: . Số báo danh
Chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 2: ..
 tự giải -Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
 Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
 Đề CHíNH THứC
	 Môn : Toán 
 (dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: 
a)Giải phương trình
Đặt t = x2 (t0)
Ta cú phương trình; t2 + 12t – 13 = 0
phương trình cú hai nghiệm phõn biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)
 t=1x2 = 1x=+_1 
b) Chứng minh rằng: 
= 
=
vậy : (đpcm)
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
( x2 +5 x - 6) ( x2 + x - 6) = 12 x2 ta thấy x =0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh chia 2 vế cho x2 ta cú = 12 (1) 
đặt : a = = a +2 và = a -2 
thỡ (1) sẽ là (a +2)(a - 2) = 12 a2 - 4 = 12 a2 = 16 
với a= 4 ta cú = 4 = 1 x2 – x - 6 = 0 giải ra ta cú x1= 3 và x2 =-2 
với a= - 4 ta cú = -4 = -7 x2 +7x - 6 = 0 giải ra ta cú phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= vậy nghiệm của phương trỡnh là S = 
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: 
 2y2x-2y2+ xy – y +1 + 2 – x2 –x = 0
 2y2( x-1) + y(x-1) + 1- x2 +1-x + 1 = 0 
 2y2( x-1) + y(x-1) - ( x-1) ( x+1) -( x-1) +1=0
 ( x-1)(2y2 + y –x-1-1) +1 = 0 
 ( x-1)(2y2 + y –x-2) +1 = 0 
 ( x-1)(2y2 + y –x-2) = -1 vỡ x ; y là số nguyờn 
vậy nghiệm của phương trỡnh là : S = 
Câu IV: (3 điểm):
a/ Tam giác DIE vuông
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt DI kéo dài tại F và cắt AB tại K
Dễ thấy
D EKC cân tại E => EK = EC
D EDF cân tại E => ED = EF
Mà ED = DB + EC => EF = BD + EK, mặt khác EF = EK + KF
Suy ra : BD//=FK => Tứ giác BDKF là hình bình hành
=> BK cắt DF tại trung điểm của BK và DF(t/c)
Gọi O là trung điểm của DE => OI là đường TB của hình thangBDEK
=> => Tam giác DIE vuông tại E
b/ Ta chứng minh DI luôn đi qua điểm F cố định, Thật vậy
Tương tự , ta gọi giao của phân giác góc DEC và BC là K, ta chứng minh được  ; Gọi giao điểm của DI và EK là F => AF là đường phân giác của => AF cố định (1)
Ta dễ dàng chứng minh được : FB ^ AB thật vậy :
Tứ giác DIKE nội tiếp đường tròn đường kính DE
=> 
 (Kề bù)
 (đối đỉnh)
Từ 4 đẳng thức trên => => tứ giác BDKF nội tiếp
=> => FB ^ AB
AB cố định => BF cố định (2)
Từ (1) và (2) => F là điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
GIẢI:
ta cú = = (1)
ỏp dụng bu nhi a copxky cho hai bộ số : b ; a 
 1 ; 1 
(12+12)(a2+b2) ( a.1+b.1)2 hay 2 (a2+b2) ( a+b)2 dấu = khi a =b =
16 (a2+b2) 8.( a+b)2
 ta cú a > 0 ; b > 0 nờn ab > 0 ; a2+b2 > 0 ỏp dụng so si ta cú 
 dấu = khi a= b =
= = 88 dấu = khi a= b =
Mà a4 + b4 (a2 + b2)2 dấu = khi a= b =
tương tự : a2 + b2 (a+ b)2 nờn a4 + b4 = (a+ b)4= 
dấu = khi a= b =
Vậy T 88 +.2011 khi va chỉ khi khi a= b =