Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 môn Đại số

ft e " t
l
' \ ) * - { . * ? e
e0 ctAo DUc vA oao rAo
DAr HQC HU6
Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV rnr ruyiN srNH sAU o4l Hec NAnn zoor
M6n thi: DAI SO
(dd,nh, cho Cao hoc)
TlLdi gian ld,m bd,i: 180 phrit
Cdu f.
1. Cho nrtfr2t...tnn Ib cri,c vecto khdc kh6ng crla m6t kh6ng gian vecto vh, A th, mQt
ph6p bi6n ddi tuydn tfnh cria kh6ng gian vectcr d6 sao cho
An1 : 11 , Ann : f r k * rn - r , k : 2 ,3 r . . . r f l .
Chfrng minh rH,ng c6c vecto nttn2r...,tfrn dgc 16,p tuy6n tfnh.
2. Cho B Ie ma tr$n vu6ng cdp n x6c dinh tr6n trudng F sao cho Bk:0, v6i k th
mQt s6 tu nhi6n ni,o d6. Tim (E^ - B)-1, trong d6 En lir, ma trAn vu6ng dsn vi
cd,p n.
t l a . 1 2 0 0 0 / n
g.T fn r (0 1 \ - - - - - t - : (0 1 \ Lnxdcd inh t r6n t . rbnsF.o ( _, 0 ) v6i ( _, 0 ) lb, ma 
trdn xac dinh tran trulng F.
Ciu II.
1. Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria mQt kh6ng gian vectcr hfru han chibu
tr6n lrubng s6 phirc C sao cho po{s : tog. Chfrng -Ln rXng p ve 4t cd chung
mQt vects ri€ng,
2. Cho E lb m6t kh6ng gian vectcr Euclid htru han chibu vh (u1 ,...,un) lb, m6t hO
trgc chudn trong A.-CA*ng minh rXng n6u vcri ngi u e E tu dbu c6'-'
rur'- iro,,,r'
'i,:L
thi (u1,. .., or) lb mQt ccr s& a3,a E.
C6.u IU. Cho G th mQt nh6m nh6,n hfru hg,o sao cho G c6 mQt tu d8ng c6,u g th6a
p(a) # o,Va t' 16. Chfrng minh rB,ng:
1. vcri m.oi a e G tbn tq,i g e G sao cho d': g-Lp(g);
2. ndu g c6 cdp bXng 2,tftcIi, p+i,d,vdp2 - id, thi p(.q) : g-L v6i moi g 
€ 
G vb,
G te mQt nh6m aben c6 cd,p 14, m6t sd 16.
C6.u IV.
1. Cho E le mQt vh,nh Biao hod,n v6i don vi 1 I 0 vA, / lb mQt id€an crla E. Chfrng
minhrXng v6i m5i a 
€ 
R, t6,p con J - {ar* I | * € l?} C RlI lh, m6t id6an cda
Rl I sinh bdi o + f € R/1. Tri d6 suy ra rXng khi f ld, id6an t6i dai crla vA,nh R
thi moi phb,n trl kh6c kh6ng c,la RII dEu khd, nglrieh.
2. Chirng minh rXng t$p hqp c6c s6 hfru tj dang ? usimAu sd Ih, mQt s6 nguyOn 16
n
tao thb,nh m6t mibn nguy6n chfnh.
Ghi chri: Cd,n b6 coi, th,i, kh,6ng gi,di, th{ch gi, th€,m.